江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在空间直角坐标系中,已知点,,,若A,B,C三点共线,则t的值为( )
A.-2 B.-7 C.10 D.13
2．设函数在处存在导数为2,则( )
A.2 B. 1 C. D.4
3．重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日,某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是( )
A.35 B.40 C.50 D.70
4．如图,已知M是四面体的棱的中点,点N在线段上,点P在线段上,且,,以,,为基底,则可以表示为( )
A. B.
C. D.
5．江苏海安是江海文明的发源地,物华天宝,人杰地灵。海安曾有名胜“三塘十景”,可惜时光变迁,战火摧残,多数已面目全非。随着海安城市人文建设的深化,“三塘十景”逐一复原重建。海中高二年级几名同学打算利用周末时间寻访“十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠柏、双桥曲径、桂岭秋香。因时间有限,计划从中随机选取4个依次游览,若选中东郊文社,则东郊文社不是第一个游览的情况有( )
A.2016种 B.1512种 C.1426种 D.1362种
6．在三棱锥中,,,两两垂直,且,,,三角形重心为G,则点P到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7．某运动队的7名队员合影留念,计划站成一横排,但甲不站最左端,乙不站最右端,丙不站正中间。则理论上他们的排法有( )
A.3864种 B.3216种 C.3144种 D.2952种
8．古代城池中的“瓮城”,又叫“曲池”,是加装在城门前面或里面的又一层门,若敌人攻入瓮城中,可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体,若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面,,,,E为弧的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.若空间向量,,则在上的投影向量为
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.若空间向量,满足,则与夹角为锐角
D.若直线l的方向向量为,平面的一个法向量为,则
10．用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数和五位数,则( )
A.可组成360个四位数
B.可组成216个是5的倍数的五位数
C.可组成270个比1325大的四位数
D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列,则第85个数为2301
11．如图,在正四棱锥中,,,E是的中点.设棱锥与棱锥的体积分别为,,,与平面所成的角分别为,,则( )
A.平面 B.平面
C. D.
三、填空题
12．空间四边形中,,,,且异面直线与成,则异面直线与所成角的大小为________________.
13．若曲线（a为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是_____________.
14．将“用一条线段联结两个点”称为一次操作,把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后,从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意点,就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”,并将所有满足“条件T”的图形个数记为,则________________.
四、解答题
15．已知向量,,
（1）求的值;
（2）求;
（3）求的最小值.
16．若函数,在处切线方程为：.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最大值、最小值.
17．在如图所示的五面体中,共面,是正三角形,四边形为菱形,,平面,,点M为中点.
（1）证明：平面;
（2）已知,求平面与平面所成二面角的正弦值.
18．如图,是半球O的直径,,M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,P是半球面上一点,且.
（1）证明：平面;
（2）若点P在底面圆内的射影恰在上,求直线与平面所成角的正弦值.
19．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如,我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近,如图所示,然后在点处作的切线,切线与x轴交点的横坐标就是,用代替重复上面的过程得到;一直继续下去,得到,,,……、从图形上我们可以看到较接近r,较接近r,等等.显然,它们会越来越逼近r.于是,求r近似解的过程转化为求,若设精度为,则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数,.
（1）当时,试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取,且结果保留小数点后第二位）;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,且A,B,C三点共线,
所以存在实数, 使得,
解得 .
故选：B.
2．答案：D
解析：
3．答案：C
解析：名学生分成两组, 每组不少于两人的分组, 一组2人另一组4人, 或每组3人,
所以不同的分配方案为,
故选：C.
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：先排东郊文社,有种,再从另外九景中选3景依次游览,
有种,所以共有种游览的情况.
故选：B.
6．答案：D
解析：
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：BCD
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：125
解析：
15．答案：（1）-6
（2）
（3）
解析：（1）因为,,
所以,又因为,
所以.
（2）因为,,所以.
（3）因为,,所以,
所以,
当时,取得最小值28,则最小值为.
16．答案：（1）
（2）最大值,最小值-19
解析：（1）,
因为函数在处切线方程为：,
所以,解得,
所以;
（2）,
当或时,,当时,,
所以函数在,上递增,在上递减,
又,,,,
所以,.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接交与点O,连接,,
由于平面,平面,
平面平面,故,
O为的中点,点M为中点,故,
,则四边形为平行四边形,
则,而平面,平面,
故平面;
（2）由（1）知,取中点为N,连接,,,
由题意知是边长为2的正三角形,在中,,,,
则,故,
是边长为2的正三角形,则,
又,,平面,则平面,
平面,故,
, ,则为正三角形,故,
而,,平面,故平面：
以N为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,,
设平面的法向量为,则,
则,令,则;
,,设平面的法向量为,
则,即,令,则,
故,
设平面与平面所成二面角为,,
故,故平面与平面所成二面角的正弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接,,,因为M,N是底面半圆弧上的两个三等分点,
所以有,又因为,
所以,都为正三角形,所以,四边形是菱形,
记与的交点为Q,Q为和的中点,因为,,
所以三角形为正三角形,所以,所以,
因为P是半球面上一点,是半球O的直径,所以,因为,,平面,
所以平面.
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在上,由（1）知Q为的中点,为正三角形,
所以,所以底面,因为四边形是菱形,
所以,即、、两两互相垂直,以点Q为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,则,所以,取,
则,设直线与平面的所成角为,
所以,
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）-1.35
（2）
解析：（1）当时,,则,
曲线在处的切线为,且
曲线在处的切线为,且
故,用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为-1.35.
（2）由,得,
设,
则
当时,,单调递增,由于时,,不合题意;
当时,则有,,单调递减,,,单调递增,
即,即
易知单调递增,且,故.
