2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022广东汕头金山中学月考)若M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.(2024陕西咸阳永寿中学月考)双曲线C:=1(a>0)的两个焦点分别是F1,F2,焦距为8,M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|等于( )
A.9 B.9或1 C.1 D.6
3.(2024四川成都第七中学月考)设F1,F2分别是双曲线=1的下、上焦点,P是该双曲线上一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积为( )
A.14
题组二 双曲线的标准方程
4.经过点P(-3,2)和点Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是( )
A.=1
C.=1
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的标准方程是 ( )
A.-y2=1
C.=1
6.(2022河北张家口四中期中)已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是 .
7.(2024上海大学附属中学诊断)在△ABC中,A(-3,0),B(3,0),
3sin B-3sin A=sin C,则顶点C的轨迹方程是 .
题组三 双曲线的标准方程的应用
8.(2024江西新余第六中学统考)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线,当0
A.(0,8) B.(8,+∞)
C.(0,5) D.(5,+∞)
9.图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
A.10米 B.20米 C.10米 D.10米
能力提升练
题组一 双曲线的方程及其应用
1.(2024广东调研)若椭圆=1与双曲线=1(a>0)有公共的左焦点F,两曲线在第一、三象限内的公共点分别为P,Q,则
cos∠PFQ的值为( )
A.-
2.(2023北京二中段考)已知A(0,4),双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线右支上一点,则|PA|+|PF1|的最小值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
3.(2022四川成都外国语学校期中)已知点P在双曲线C1:=1上,点Q在圆C2:(x+5)2+y2=1上,点R在圆C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
4.(2024辽宁六校协作体联考)双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支
交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=( )
A. B.26 C.25 D.23
5.(多选题)(2023山东菏泽期中)已知点P在双曲线=1上,且点P不在x轴上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( )
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|+|PF2|=
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2=
6.(多选题)(2023江苏盐城期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且与x轴分别交于点A1,A2,下列说法正确的是( )
A.双曲线C上存在点P,使得|PF1|+|PF2|=2a
B.双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在以F1F2为直径的圆上
C.双曲线C上有且仅有4个点P,使得△PF1F2是直角三角形
D.若点P在双曲线上,且不在x轴上,则
7.(多选题)(2024辽宁省实验中学期中)已知P为双曲线-y2=1右支上的一个动点(点P不在x轴上),F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,△PF1F2的内切圆圆心为I,过F2作F2A⊥PI,垂足为A,则下列结论正确的是( )
A.I的横坐标为2
B.
C.|OA|=2
D.
8.已知点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.
9.(2023江西临川二中月考)已知点F(0,),直线l:y=,动点P与F的距离与到直线l的距离的比为∶2.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设点M是轨迹C上一点,在直线y=2x,y=-2x上分别取点A,B,当A,B分别位于第一、二象限时,若,λ∈,求△AOB的面积的取值范围.
附:在△ABC中,若=(x2,y2),则△ABC的面积为|x1y2-x2y1|.
题组二 双曲线的实际应用
10.(2024安徽江淮名校联考)地震定位对地震救援具有重要意义,根据双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A,B在公路l上(l为直线),且A,B相距28 km,地震局以AB的中点为原点O,直线l为x轴,1 km为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后,根据A,B两站收到的信息,通过计算发现震中P在双曲线=1(a>0)的右支上,且∠APB=,则P到公路l的距离为( )
A. km B. km
C. km D. km
11.(2024辽宁大连十二中月考)如图所示,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点与A的距离比其与B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/km,求修建这两条公路的最低总费用.
答案
2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
基础过关练
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 8.C 9.B
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
2.A 由题意得2c=8,所以c=4,所以a2=c2-b2=16-12=4,解得a=2.
根据双曲线定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4,
所以|5-|MF2||=4,解得|MF2|=1或|MF2|=9.
当|MF2|=1时,|MF1|+|MF2|=6<8,不合题意;
当|MF2|=9时,|MF1|+|MF2|=14>8,满足题意.
综上,|MF2|=9.故选A.
3.D 由题意可知|F1F2|=2×
|PF2|,所以|PF1|=10,|PF2|=6.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,
所以sin∠F1PF2=,
所以△PF1F2的面积S=.故选D.
4.B 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则
故双曲线的标准方程为=1.故选B.
5.A 由椭圆的方程可得焦点坐标为(±,0),设与椭圆共焦点的双
曲线的标准方程为=1(0
解析 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),易知c=,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(-,0),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.
7.答案 x2-=1(x>1)
解析 由题意得|AB|=6,
∵3sin B-3sin A=sin C,∴由正弦定理得3|CA|-3|CB|=|AB|,即|CA|-|CB|==2<|AB|,∴C点轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点).所以点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).
易错警示 构成△ABC的前提条件为A,B,C三点不共线,所以求点的轨迹方程时要根据去除的点来限定变量的范围.
8.C 由题意及m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2可知m>0,
所以=|2x-y+3|,
所以,即动点(x,y)到定点(0,-1)的距离与到定直线2x-y+3=0的距离的比为常数.
由题意得>1,即,解得0
易知D(10,-60).
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则所以最细部分处的直径为2a=20米.故选B.
能力提升练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.BC 6.BD 7.ABC 10.D
1.C 设右焦点为F2,则F(-2,0),F2(2,0),a=1.
连接PF2,则|PF|+|PF2|=8,|PF|-|PF2|=2,
故|PF|=5,|PF2|=3,又|FF2|=4,
所以|PF2|2+|FF2|2=|PF|2,
所以PF2⊥FF2,
所以cos∠PFQ=-cos∠FPF2=-.
故选C.
2.C 由双曲线方程得a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以F1(-3,0),
F2(3,0).连接PF2,AF2,如图.
则|PA|+|PF1|=|PA|+2a+|PF2|≥|AF2|+2a=+4=9,当且仅当A,P,F2共线时,等号成立.故|PA|+|PF1|的最小值为9.故选C.
3.C 不妨设C1:=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8.
易知点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=
8+2=10.故选C.
4.B 连接BF1,则|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10.
令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10.
在△ABF1中,cos∠F1AB=,即,解得x=3,故|AF1|=8,则|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
5.BC 设P(xP,yP).易得c==5,
所以×10×|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误.
将P(xp,yp)代入=1,得=1,解得|xP|=.不妨取点P的坐标为,易知F2(5,0),则|PF2|=.
由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=,
所以|PF1|+|PF2|=,故B正确.
在△PF1F2中,因为|PF1|=,所以|PF1|>|F1F2|>|PF2|,
因为cos∠PF2F1=<0,
所以∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故C正确.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,所以∠F1PF2≠,故D错误.故选BC.
6.BD 对于A,不妨设|PF1|-|PF2|=2a,与|PF1|+|PF2|=2a联立,解得|PF1|=2a,|PF2|=0,所以不存在点P,使得|PF1|+|PF2|=2a,故A错误;
对于B,易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线=1(a>0,b>0)的焦点为(0,±c),显然(0,±c)在圆x2+y2=c2上,故B正确;
对于C,以F1F2为直径的圆x2+y2=c2与双曲线有4个交点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线有2个交点,过点F2且垂直于x轴的直线与双曲线也有2个交点,所以双曲线C上有且仅有8个点P,使得
△PF1F2是直角三角形,故C错误;
对于D,设P(x0,y0),其中x0≠±a,不妨设A1(-a,0),A2(a,0),所以
,所以,故D正确.故选BD.
7.ABC 由双曲线方程可得a=2,b=1,c=.
设△PF1F2的内切圆在PF1,PF2,F1F2上的切点分别为M,N,T,T(t,0),则2a=|PF1|-|PF2|=|MF1|-|NF2|=|TF1|-|TF2|=2t=4,所以t=2,连接IT,易知IT⊥F1F2,故I的横坐标为2,A正确.
设△PF1F2的内切圆半径为r,则
,B正确.
延长F2A,交PF1于点E,由PA平分∠F1PF2,PA⊥AF2,得|PF2|=|PE|,A为F2E的中点,所以2|OA|=|EF1|=|PF1|-|PF2|=4,所以|OA|=2,C正确.
,D错误.
故选ABC.
8.解析 (1)设动点P的坐标为(x,y).
∵点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6>|MN|,
∴点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其方程为=1(a>b>0),易知a=3,c=2,∴b2=9-4=5,∴点P的轨迹方程为=1.
(2)在△MPN中,cos∠MPN==
=.
∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,
∴·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,
由得||PM|-|PN||=2<4,
∴点P在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线-y2=1上,
联立椭圆与双曲线方程可得
解得点P的坐标为.
9.解析 (1)设P(x,y),由题意得,两边平方并整理,得-x2=1,所以动点P的轨迹C的方程为-x2=1.
(2)设M(x0,y0),A(x3,2x3),B(x4,-2x4),其中x3>0,x4<0,则=(x4-x0,-2x4-y0).
因为,λ∈,
所以
将M(x0,y0)代入-x2=1,得=1,化简,得x3x4=
-,
所以S△AOB=|x3·(-2x4)-x4·2x3|=2|x3x4|=,
因为λ∈,所以由对勾函数的性质,得2≤λ+,
所以S△AOB=.
故△AOB的面积的取值范围是.
10.D 由题意得|AB|=28=2c,所以a2+132=c2=196,解得a=8,所以|PA|-|PB|=2a=16.
由余弦定理得|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos=|AB|2,即(|PA|-|PB|)2+3|PA|·|PB|=|AB|2,所以|PA|·|PB|=176,所以S△APB=|PA|
·|PB|·sin.
设P到公路l的距离为h km,则|AB|·h=44,所以h=,即P到公路l的距离为 km.故选D.
11.解析 由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点与A的距离比其与B的距离远2 km,可得|MA|-|MB|=2,
因为2<|AB|=4,所以由双曲线的定义可得,M在以A,B分别为左、右焦点的双曲线的右支上,且a=1,c=2,∴b=,
∴点M所在的曲线的方程为x2-=1(x>0).
设修建这两条公路的总费用为s万元,则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|
+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,当且仅当A,M,C三点共线时,取等
号.
故修建这两条公路的最低总费用为(2-2)m万元.
