2.4 曲线与方程
基础过关练
题组一 曲线与方程的关系及其应用
1.“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在直线l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是( )
A.直线l
B.与l垂直的一条直线
C.与l平行的一条直线
D.与l平行的两条直线
3.方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲线为( )
A.一条线段和半个圆
B.一条线段和一个圆
C.一条直线和半个圆
D.两条线段
4.(2024河南名校联盟段考)笛卡儿在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传,其实能画出心形曲线的方程有很多种.心形曲线如图所示,其方程为x2+y2=1+|x|y,若A为曲线上一点,则|OA|的取值范围为( )
A.
题组二 求曲线的方程
5.(2024湖南湘潭大学附属实验学校期中)已知圆O:x2+y2=3,点
A(-2,0),线段AB的端点B在圆O上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为( )
A.(x-1)2+y2=
C.x2+(y-1)2=
6.(2023辽宁省实验中学期中)如图①,曲线四叶玫瑰线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用,苜蓿叶型立交桥有两层,将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现,即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路,四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列方程能表达图②中的曲线的是( )
A.(x2+y2)3=16x2y2 B.(x2+y2)3=16x2y3
C.(x2+y3)3=16x2y2 D.(x3+y3)3=16x2y2
7.与圆x2+y2-4x=0外切且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程为( )
A.y2=8x(x>0)
B.y2=8x(x>0)或y=0(x<0)
C.x2=8y(y>0)
D.x2=8y(y>0)或x=0(y<0)
8.已知方程①x-y=0;②=1.其中能表示平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是 .
9.已知线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x轴、y轴上移动,若点M在线段AB上,且=0,则点M的轨迹方程是 .
10.(2024北京大兴期中)已知等腰三角形ABC的顶点为A(4,2),底边的一个端点为B(5,3),则底边的另一个端点C的轨迹方程为 .
11.(2024北京第三十五中学期中)已知两定点M(1,3),N(3,1),动点P满足 ,求动点P的轨迹方程.
请从下列条件中任选一个补充到横线上,并解答.
条件①:直线PM与直线PN垂直;
条件②:点P与M,N两点的距离的平方之和为20;
条件③:直线PM与直线PN的斜率之积为4.
题组三 根据曲线方程研究曲线的性质
12.(2024上海进才中学月考)已知曲线C:x2+xy+y2=4,命题①:曲线C恰好经过8个整点(横、纵坐标均为整数的点);命题②:曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2.下列判断正确的是( )
A.①为真命题,②为假命题
B.①为假命题,②为真命题
C.①②均为假命题
D.①②均为真命题
13.(多选题)(2023重庆八中期中)已知在平面直角坐标系xOy中,M(-3,0),N(3,0),动点P满足|PM|·|PN|=12,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于y轴对称
B.曲线C与x轴的交点为(-2,0)
C.△PMN的面积的最大值为6
D.|OP|的取值范围是[]
14.(2023北京昌平期中)星形线又称为四尖瓣线,是数学中的瑰宝,在生产和生活中有很大应用,=1便是它的一种表达式.
①星形线关于直线y=x对称;
②星形线围成的图形的面积小于2;
③星形线上的点到x轴,y轴的距离的乘积的最大值为;
④星形线上的点与原点之间的距离的最小值为.
以上说法正确的是 .(填序号)
15.已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.
(1)请写出曲线W的一条对称轴的方程;
(2)求曲线W上的点的横坐标x的取值范围.
答案
2.4 曲线与方程
基础过关练
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 12.B
13.ACD
1.B 若点M在曲线x2=4y上,则x=±2;当点M的坐标满足方程x=2时,必有x2=4y,即点M在曲线x2=4y上,故应为必要不充分条件.
2.C 因为点M(x0,y0)不在直线l上,所以f(x0,y0)是不为0的常数,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线l平行的一条直线.故选C.
3.A 由方程(3x-y+1)(y-)=0得y=(y≥0)或3x-y+1=0
(-1≤x≤1),即x2+y2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),所以方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲线为一条线段和半个圆.故选A.
4.A 由题图得,心形曲线关于y轴对称,所以不妨取-≤θ≤.
设点A(x0,y0),则x0=|OA|cos θ,y0=|OA|sin θ,
代入曲线方程可得|OA|2=1+|OA|2|cos θ|sin θ,
所以|OA|2=.
因为-≤θ≤,所以-π≤2θ≤π,
所以-≤-sin 2θ≤,所以≤1-sin 2θ≤,
所以≤2,即|OA|2∈,
所以|OA|∈.故选A.
5.B 设M(x,y),B(x0,y0),则所以
因为点B在圆O上运动,所以=3,即(2x+2)2+(2y)2=3,化简并整理得(x+1)2+y2=.故选B.
6.A 由题图②知,曲线关于两坐标轴成轴对称图形,关于坐标原点成中心对称图形.
将x换成-x,y换成-y,A中方程不变,故A符合;
将y换成-y,B中方程变为(x2+y2)3=-16x2y3,C中方程变为(x2-y3)3=
16x2y2,D中方程变为(x3-y3)3=16x2y2,均与原方程不相同,故B,C,D不符合.
故选A.
7.B 将圆的方程化为标准方程,得(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2.
设动圆圆心坐标为(x,y),由题意可得-2=|x|,即=|x|+2.
①当x=0时,y=0,此时动圆圆心为坐标原点,不符合题意;
②当x>0时,=x+2,等式两边平方并化简,得y2=8x;
③当 x<0时,=2-x,等式两边平方并化简,得y=0.
因此,动圆圆心的轨迹方程为y2=8x(x>0)或y=0(x<0).
8.答案 ①
解析 根据题意可知,C的方程为y=x.
由x-y=0得y=x,故①满足题意;
点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程=0,故②不满足题意;
点(-1,1)满足方程x2-y2=0,但它不在曲线C上,故③不满足题意;
点(0,0)在曲线C上,但其坐标不满足方程=1,故④不满足题意.
9.答案 16x2+y2=64
解析 设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以=10,即a2+b2=100.因为=0,所以,所以代入a2+b2=100,可得25x2+=100,即16x2+y2=64.
10.答案 x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0)
解析 设底边的另一个端点C的坐标为(x,y),则,化简得x2+y2-8x-4y+18=0.
因为A,B,C三点构成三角形,所以三点不共线且B,C不重合.
当A,B,C三点共线时,kAB==1,所以直线方程为y-2=1×(x-4),即x-y-2=0,所以点C的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0).
11.解析 选择条件①:设点P的坐标为(x,y).
解法一:当x≠1且x≠3时,kPM=.
由题意得kPM·kPN=-1,即=-1,化简得x2+y2-4x-4y+6=0.
当x=1时,点P的坐标为(1,1),满足上述方程,
当x=3时,点P的坐标为(3,3),满足上述方程,
所以点P的轨迹方程为x2+y2-4x-4y+6=0(除去点(1,3)和(3,1)).
解法二:因为直线PM与直线PN垂直,所以=0.易得=(x-3,y-1),则(x-1)(x-3)+(y-3)(y-1)=0,化简得x2+y2-4x-4y+6=0,所以点P的轨迹方程为x2+y2-4x-4y+6=0(除去点(1,3)和(3,1)).
选择条件②:设点P的坐标为(x,y).
由题意得|PM|2+|PN|2=20,即(x-1)2+(y-3)2+(x-3)2+(y-1)2=20,化简得x2+y2-4x-4y=0,所以所求轨迹方程为x2+y2-4x-4y=0.
选择条件③:设点P的坐标为(x,y)(x≠1且x≠3),
则kPM=.
由题意得kPM·kPN=4,即=4,化简得4x2-y2-16x+4y+9=0,所以所求轨迹方程为4x2-y2-16x+4y+9=0(x≠1且x≠3).
12.B x2+xy+y2==4,所以≤4,所以-≤y≤,同理,得-≤x≤.
当x=0时,y=±2;当x=2时,y=-2或0;当x=-2时,y=2或0;当x=1时,y2+y-3=0,此时不存在y∈Z满足方程;当x=-1时,y2-y-3=0,此时不存在y∈Z满足方程.因此,曲线C恰好经过(2,0),(2,-2),(0,2),
(0,-2),(-2,0),(-2,2)这6个整数点,故命题①为假命题.
因为x2+y2≥2|xy|,所以-≤xy≤,所以≤4=x2+y2+xy≤,所以≤x2+y2≤8,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2,故命题②为真命题.故选B.
13.ACD 设P(x,y),由题意得=12,整理,得x4+(2y2-18)x2+y4+18y2-63=0.(*)
因为点(x,y),(-x,y)都满足(*)式,
所以曲线C关于y轴对称,故A正确;
对于(*)式,令y=0,得x4-18x2-63=0,
即(x2-21)(x2+3)=0,解得x=±,故B错误;
由(*)式,知Δ=(2y2-18)2-4×(y4+18y2-63)≥0,即y2≤4,所以|y|≤2,所以△PMN的面积的最大值为×6×2=6,故C正确;
由(*)式,得(x2+y2)2+18(x2+y2)+81=36x2+144,
即(x2+y2+9)2=36x2+144,
所以x2+y2=-9,
由y2=6-9-x2≥0,得x4-18x2-63≤0,
即(x2-21)(x2+3)≤0,所以0≤x2≤21,所以4≤x2+4≤25,即2≤≤5,所以3≤6-9≤21,
又|OP|2=x2+y2=6-9,
所以≤|OP|≤,故D正确.
故选ACD.
14.答案 ①②④
解析 对于①,把方程=1中的x与y互换,方程不变,所以星形线关于直线y=x对称,故①正确;
对于②,易知曲线|x|+|y|=1所围成的图形的面积为2,而|x|+|y|>|x,所以星形线围成的图形在曲线|x|+|y|=1围成的图形的内部,所以星形线围成的图形的面积小于2,故②正确;
由≥2,得|xy|≤,当且仅当|x|
=|y|时,等号成立,所以星形线上的点到x轴,y轴的距离的乘积的最大值为,故③错误;
因为x2+y2=(≥1-3,所以星形线上的点到原点的距离的最小值为,故④正确.
15.解析 (1)由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,易知直线x=也是曲线W的一条对称轴.
(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,
因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,
解得0≤x≤5.
