2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
基础过关练
题组一 认识圆的方程
1.已知一个圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( )
A.(1,0),4 B.(-1,0),2
C.(0,1),4 D.(0,-1),2
2.(2022吉林辽源五中月考)方程|x-1|=表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个半圆
C.两个圆 D.半圆
3.方程x=表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
题组二 确定圆的标准方程
4.圆心为(-3,1),半径为5的圆的方程是( )
A.(x+3)2+(y+1)2=5 B.(x+3)2+(y-1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25
5.(2024山东普高联考)已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=8
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32
D.(x+1)2+(y+1)2=32
6.(2024四川绵阳南山中学实验学校期末)若圆C经过点A(2,5),
B(4,3),且圆心在直线l:3x-y-3=0上,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+(y-3)2=4
B.(x-2)2+(y-3)2=8
C.(x-3)2+(y-6)2=2
D.(x-3)2+(y-6)2=10
7.(多选题)(2024福建福州山海联盟教学协作校期中)圆M与y轴相切,且经过A(1,0),B(2,1)两点,则圆M的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=4
B.(x-5)2+(y+3)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y+1)2=9
8.(2024辽宁协作校期中)求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上;
(2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为C(-2,1).
题组三 点与圆的位置关系
9.(2022吉林白城一中段考)点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
10.(2023浙江浙东北联盟期中)若点A(a,2)不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部,则实数a的取值范围为( )
A.[1,5] B.[2,5] C.[3,5] D.[4,5]
11.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25 C.26 D.36
能力提升练
题组 圆的标准方程及其应用
1.已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
2.若圆(x-1)2+(y-1)2=5关于直线y=kx+2对称,则k=( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
3.(2023山东潍坊期中)在圆的方程的探究中,四位同学分别给出了
一个结论,甲:圆的半径为;乙:圆经过点(3,3);丙:圆的圆心为
(2,1);丁:圆经过点(7,0).如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.圆C:(x+3)2+(y-6)2=45关于直线l:x-y+13=0对称的圆C'的标准方程为( )
A.(x+7)2+(y-10)2=45
B.(x+7)2+(y+10)2=45
C.(x-7)2+(y-10)2=45
D.(x-7)2+(y+10)2=45
5.(2022山东潍坊期中)圆C上的点(1,2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C上,且该圆的半径为,则圆C的方程为( )
A.x2+y2=5
B.(x+1)2+(y-1)2=5
C.x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5
D.x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5
6.(2022辽宁省实验中学月考)点A(2sin θ,2cos θ)总在圆C:(x-3)2+(y-4)2=m内,则实数m的取值范围是( )
A.(5,+∞) B.[5,+∞)
C.(25,+∞) D.(49,+∞)
7.(2024浙江温州十校联合体联考)几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是锐角∠AQB的边QA上的两点,当点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点时,∠MPN最大.”根据上述结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-2)2=2
B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4
D.(x+7)2+(y-10)2=10
8.(2023浙江绍兴期中)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点,直线l1:kx-y-2k=0与直线l2:x+ky+2=0相交于点P,则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为( )
A.72 B.80 C.88 D.100
9.(2024江苏南京第一中学月考)在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从点A(-2,-3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y-2)2=2上,则它爬过的最短路程是 .
10.已知a∈N*,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(a,0),B(-2,2),C(-3,3).设△ABC的外接圆为M.
(1)若a=2,求圆M的标准方程;
(2)求圆M面积最小时a的值.
答案
2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
基础过关练
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.BC 9.C
10.B 11.D
1.D
2.A 原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,表示的曲线是一个圆.故选A.
3.D 根据题意,得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定表示的图形为半圆.故选D.
4.B
5.B 由题意得圆心为(-1,-1),半径r=,所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选B.
知识拓展 以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.A 易得线段AB的中点为(3,4),又kAB==-1,所以线段AB的中垂线的方程为y-4=x-3,即x-y+1=0.
由即C(2,3),
所以圆C的半径r==2,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=4.故选A.
7.BC 设圆M的圆心为M(a,b),则半径r=|a|.
因为点A(1,0),B(2,1)在圆M上,所以|MA|=|MB|,即
,整理得a+b=2.
由|MA|=r=|a|,得=|a|,整理得b2-2a+1=0.
由所以圆心坐标为(1,1)或(5,
-3).
当圆心坐标为(1,1)时,r=1,则圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
当圆心坐标为(5,-3)时,r=5,则圆M的方程为(x-5)2+(y+3)2=25.
综上,圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y+3)2=25.故选BC.
8.解析 (1)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
则
所以圆的标准方程为x2+y2=13.
(2)由所以两直线的交点为(-3,0),所以圆的半径为,所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2.
9.C 因为sin230°+cos230°=,所以点在圆外.
10.B 由题意得(a-1)2+(2+1)2≤5a且a>0,即a2-7a+10≤0且a>0,解得2≤a≤5.故选B.
11.D (x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)与点Q(5,-4)之间的距离的平方.因为点P在圆C:(x-2)2+y2=1上,所以所求最大值为(|QC|+1)2=36.
能力提升练
1.C 2.D 3.D 4.A 5.D 6.D 7.C 8.C
1.C 依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).故选C.
2.D 由题意得圆心(1,1)在直线y=kx+2上,所以1=k+2,解得k=-1.故选D.
3.D 记A(3,3),B(2,1),C(7,0).
假设甲的结论是错误的,那么乙、丙、丁的结论是正确的.易得|AB|=,因为|AB|≠|BC|,所以假设不成立,故甲的结论是正确的.
假设乙的结论是错误的,那么甲、丙、丁的结论是正确的.由甲、丙的结论可得圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5,但C(7,0)不满足上式,所以假设不成立,故乙的结论是正确的.
假设丙的结论是错误的,那么甲、乙、丁的结论是正确的.由乙、丁的结论可得|AC|=,与半径为矛盾,所以假设不成立,故丙的结论是正确的.
综上,结论错误的同学是丁.故选D.
4.A 圆C:(x+3)2+(y-6)2=45的圆心为(-3,6),半径r=3,则圆C'的半径为3.
设C'(a,b),则
所以圆C'的标准方程为(x+7)2+(y-10)2=45.
故选A.
5.D 因为圆C上的点(1,2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C上,所以圆心在直线x+y=0上.
设圆心的坐标为C(a,-a),
因为圆的半径为,所以,
解得a=0或a=-1.所以圆心为(0,0)或(-1,1).
所以圆C的方程为x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5.
故选D.
6.D 由题意得(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2
(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2=4sin2θ-12sin θ+9+4cos2θ-16cos θ+16=29-12sin θ-16cos θ=29-20sin(θ+φ),其中tan φ=.
∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴9≤29-20sin(θ+φ)≤49,
∴m>49.故选D.
7.C 易知线段MN的中点的坐标为(0,3),又kMN==1,所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x,所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上.
设圆心为C(a,3-a),则半径r=|3-a|,又|CN|=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7.
当a=-7时,∠MQP是钝角,所以a=1,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.故选C.
8.C 由得x2+y2=4,
所以P是以(0,0)为圆心,2为半径的圆上一点.
设P(x,y),-2≤y≤2,则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+
(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68=12-4y+68=80-4y∈[72,88],
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88.故选C.
9.答案 4
解析 由圆的方程得圆心C(-3,2),半径为.
易得点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A'(2,-3).
设A'C与圆C交于点P,则蚂蚁爬过的最短路径为|A'P|=|A'C|-.
10.解析 (1)当a=2时,A(2,0),∴线段AB的中点坐标为(0,1),∴线段AB的中垂线方程为y-1=-x,即y=2x+1.
易知线段BC的中点坐标为,则线段BC的中垂线方程为y-,即y=x+5.
由即圆心M(4,9),
∴|BM|=,
∴圆M的标准方程为(x-4)2+(y-9)2=85.
(2)∵A(a,0),B(-2,2),∴线段AB的中点坐标为,∴线段AB的中垂线方程为y-1=-,即y=.
由(1)知线段BC的中垂线方程为y=x+5.
由
即圆心M,
∴|BM|2=,
∴圆M的面积S=π|BM|2=+10a++26.
∵a+≥4 ,当且仅当a=2时,等号成立,a∈N*,∴当a=3或a=4时,a+有最小值,此时S最小.
