江苏省2024年高考数学模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．2014 B．2015 C．2023 D．2024
2．设复数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若b是a与c的等比中项，则的零点个数为（ ）
A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或2
6．函数f(x)=cos(x-)ln()的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，...，且它的二阶商数列是常数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆，，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆，的离心率分别是，，则（ ）
A．且 B．且．
C．且 D．且
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若且则
B．若则
C．若则
D．若则
10．将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则函数 具有性质（ ）
A．在 上单调递增，为偶函数
B．最大值为1，图象关于直线 对称
C．在 上单调递增，为奇函数
D．周期为 ，图象关于点 对称
11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)
13．已知直线与曲线相切，则的值为 .
14． 已知四面体中，，则四面体的体积为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
16．（本题15分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
17．（本题15分）如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．
18．（本题17分）某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．
（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）
（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过万人？
19．（本题17分）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的大小；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】；6876
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得：，
因为，所以，即，
由余弦定理可得，
在中，，
所以.
（2）解：由（1）问可知，，
所以，解得，
设，由平分，所以，
即，
解得：，
故的长度为.
16．【答案】（1）解：由题意得，①
当时，，②
由①-②得，即，
又时，，满足上式，
综上，.
（2）解：由（1）可得，
故，
设数列的前项和为，
所以
.
17．【答案】（1）证明：是圆的直径，
，
又平面，平面，
，
又，平面，
平面，
又平面，．
（2）解：设，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，．
由（1）可得，平面，
平面的一个法向量是，
设为平面的一个法向量，
由条件得，．
即，
不妨令，则，，
．
又二面角所成角的正切值是2，
．
，
，解得（负值舍去）．
．
该几何体的体积是．
18．【答案】（1）解：样本中“阅读爱好者”出现频率为，
“阅读爱好者”的人数为（万），
“读书迷”人数为（万），
所以万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有万人．
（2）解：由题意知至多有的成年人每天读书时长少于，
即找到分位数，
又，，
所以，可得，
即参考标准不能高于小时（分钟）．
（3）解：“阅读爱好者”中非“读书迷”约有万人，
“读书迷”约有万人，
令，
化简得：，
解得：或，所以，
所以会费参数至少定为时，才能使入会的人员不超过万人．
19．【答案】（1）解：由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：；
（2）解：因为，所以，且，
所以，
所以的大小为；
（3）解：假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，由解得，
所以，所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
