泸县五中高2023级2024年春期201次学月考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，结合交集运算即可求解.
【详解】．
故选：B
2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标.
【详解】向量，，
所以与向量同向的单位向量为.
故选：B
3. “”是“为第四象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义结合充分必要条件定义可判断.
【详解】当时，成立，所以由成立不能推出是第四象限角；
若是第四象限角，则，，则成立，
故是为第四象限角的必要不充分条件.
故选：B.
4. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】选项A，利用排除法，当时，；
选项B，由配方法，可得；
选项C，利用基本不等式，可得解；
选项D，采用换元法，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，得解．
【详解】选项A，当时，，即A不符合题意；
选项B，，即B不符合题意；
选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意；
选项D，令，则在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意．
故选：C．
5. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A. B. 97 C. D. 61
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的定义可得，进而求出的值.
【详解】∵
，
∴，
故选：C.
6. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将圆心角化为弧度角，再利用扇形面积公式直接求解即可.
【详解】扇形OAB的圆心角为，又因为，，
所以该扇环形木雕的面积为.
故选：B
7. 点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可知不妨设点所对应的角为，再利用诱导公式求出，，即可得解.
【详解】因为，所以不妨设点所对应的角为，
则，，，
所以点的坐标为即.
故选：C.
8. 在平行四边形中，，则（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】选取为基向量，将用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积.
【详解】因为，
所以
.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C. 的充要条件是且
D. 已知λ，μ为实数，若，则与共线
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量共线的定义以及命题的充分必要条件的定义一一判断求解.
【详解】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，
但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以＝且，
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，
所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当时，与可以为任意向量，满足，
但与不一定共线．
故选:ACD.
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确．
对于C，，C错误；
对于D，，D错误；
故选：AB．
11. 已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称 B.
C. 在区间上单调递增 D. 在处取得最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性、单调性的定义和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由，得的图象关于直线对称；
又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；
由对称性可知，函数的图象关于点中心对称，
再根据是奇函数可得，函数的图象关于点中心对称，A错误；
对B：由与，
得，所以，B正确；
对C：因为对于任意的，，都有，所以在上单调递减，
又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，
因为的图像关于直线对称，则在区间上单调递增，C正确；
对D：由C可知，在处取得最大值，，
则在处取得最大值，D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】由图可得：，
又，
，又，
，
将代入得，
即，，
即，，
，
对于A，最小正周期，故正确；
对于B，令，，解得，，
可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；
对于D，，
令，所以，
故最小值为，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，为与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义即可得解.
【详解】因为，，为与同向的单位向量，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
14. 已知，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】整理已知，再两边平方结合同角基本关系式可解.
【详解】根据已知，，
两边平方得，
即
所以.
故答案为：
15. 已知是上的单调函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】函数分单调递增和单调递减两种情况结合分段函数单调性列不等式求解.
【详解】若在上单调递增，则解得.
若在上单调递减，则解得.
故的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数在区间上没有零点，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由函数在区间上没有零点，得到，从而求得，然后根据余弦函数的性质，即可求解.
【详解】由函数在区间上没有零点，
可得，解得，
因为，可得，
则满足，即，
当时，显然不符合题意；当时，可得；当时，不符合题意，
综上可得，满足题意的的取值范围为，即的最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解.
【小问1详解】
因为，，,
所以
【小问2详解】
，，
因为，
所以，
解得.
18. （1）已知，求的值.
（2）已知角的终边过点，，，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）化简已知式，求得的值，将利用弦的齐次式化弦为切代入即得；
（2）由条件分别求出的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由可得： ；
（2）角终边过点，则．
由，可知：
则.
19. 已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
详解】解：（1）
则∵，
∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时.
【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
20. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
（1）求函数的解析式；
（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树单株年利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）施肥量为时，单株年利润最大为元
【解析】
【分析】（1）利用利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可得解；
（2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，从而得解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，开口向上，其对称轴为，
所以其最大值为，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，施肥量为时，单株年利润最大为元.
21. 函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【小问1详解】
由图可知，，
∵ ， ∴ ， ，
又， ∴ ，，
解得 ，，由可得，
∴．
【小问2详解】
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴ ，∴，
∴ .
22. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若对任意t∈R，不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）f(x)＝；(2) f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数； （3）k≤－.
【解析】
【分析】（1）当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.即得f(x)的解析式. (2)先分析得到 f(x)在[0，＋∞)上是增函数.又f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.（3）利用函数的奇偶性和单调性得到k－3t2≤－t2－2t，即2t2－2t－k≥0，解Δ＝4＋8k≤0，即得解.
【详解】(1)因为当x≥0时，f(x)＝，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.
所以f(x)＝
(2)当x≥0时，f(x)＝＝2－，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数.
又f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
(3)由题知不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0等价于
f(k－3t2)≤f(－t2－2t)，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以k－3t2≤－t2－2t，即2t2－2t－k≥0，
即对一切t∈R，恒有2t2－2t－k≥0，
所以Δ＝4＋8k≤0，解得k≤－.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明运用、奇偶性的运用和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.泸县五中高2023级2024年春期201次学月考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“为第四象限角”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A. B. 97 C. D. 61
6. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平行四边形中，，则（ ）
A 16 B. 14 C. 12 D. 10
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C. 的充要条件是且
D. 已知λ，μ为实数，若，则与共线
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称 B.
C. 在区间上单调递增 D. 在处取得最大值
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，为与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.
14 已知，则________．
15. 已知是上单调函数，则的取值范围是__________.
16. 已知函数在区间上没有零点，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
18. （1）已知，求值.
（2）已知角的终边过点，，，求的值．
19. 已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
20. 丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”.该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）.
（1）求函数的解析式；
（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
21. 函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
22. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0恒成立，求k的取值范围.
