机密★启用前
2024 年广东省初中学业水平考试（模拟卷）
数 学
【参考答案】
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D A A D C C D
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
题号 11 12 13 14 15
5
答案 ( 2,0) 7×105 1 15
3
三、解答题（一）：本题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分．
（这里仅给出一种方法，使用其他方法解答可酌情赋分）
x + y = 5 ①
解：16．（1）{ ，
x y = 1 ②
由①＋②得 2x＝6，解得 x＝3；
由① ②得 2y＝4，解得 y＝2；
x = 3
故原方程组的解是 { ．
y = 2
（2）x2 4x + 3 = 0 ，因式分解得 (x 1)(x 3) = 0 ，
所以 x 1 = 0 或 x 3 = 0 ，
解得 x = 1 或 x = 3 ，
故原方程的解是 x1 = 1 ，x2 = 3 ．
k + b = 0
解：17．（1）由题意可列方程组 { ，
0 + b = 2
k = 2
解得 { ，
b = 2
所以 k，b的值分别是 2，2．
（2）设坐标原点为 O，则 OA＝xA＝1，OB＝xB＝2，
在 Rt△OAB中，由勾股定理得 AB = √OA2 + OB2 = √5 ，
故 AB的长度为 √5 ．
数学【参考答案】 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
解：18．（1）由题意，在△ADE和△ABC中，
AD = AB
∵ {∠ADE = ∠ABC ，
DE = BC
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED＝∠ACB，AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AED＝∠ACE，
故 EA平分∠CED．
（2）∠BED＝180° ∠CED＝180° 2∠AEC，
∠CAE＝180° ∠AEC ∠ACE＝180° 2∠AEC，
∴∠BED＝∠CAE．
四、解答题（二）：本题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
（这里仅给出一种方法，使用其他方法解答可酌情赋分）
解：19．（1）如右答图所示，点 D即为所求．
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴△CAD∽△ABC，
CA CD 4 CD
∴ = ，即 = ，
AB AC 6 4
8
解得 CD＝ ．
3
题 19 答图
5
解：20．（1）设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格为 x 元，则市场上每捆 A 种菜苗的价格为 x
4
元，
由题意可列分式方程
300 300
+ 3 =
5
x x
4
解得 x＝20，
经检验，x＝20 是原方程的解，
故菜苗基地每捆 A种菜苗的价格为 20 元．
（2）设购买 A种菜苗 m捆，总花费为 W元，则购买 B种菜苗 (100 m) 捆，
由题意得， W = 20 × 0.9m + 30 × 0.9(100 m) = 9m + 2700 ，
∵A种菜苗的捆数不超过 B种菜苗的捆数，
∴ m ≤ 100 m ，
∴ m ≤ 50 ，
∵ 9 < 0 ，
∴W随 m增大而减小，
∴当 m＝50 时，W最小，最小值为 9 × 50 + 2700 = 2250 ，
∴本次购买最少花费 2250 元．
数学【参考答案】 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
解：21．（1）16 ÷ 40% = 40 ，
∴参与课后服务的教师共有 40 人，
∴40 6 16 8＝10，
补全统计图如下答图所示．
题 21 答图 1
（2）分别用 A、B表示两名男教师，用 C、D、E表示三名女教师，依题意列表如下：
A B C D E
A A，B A，C A，D A，E
B B，A B，C B，D B，E
C C，A C，B C，D C，E
D D，A D，B D，C D，E
E E，A E，B E，C E，D
题 21 答图 2
∴随机调查两名教师课后服务所有的等可能的结果数有 20 种；恰好选中一男一女
的情况数有 12 种，
12 3
∴恰好选中一男一女的概率是 = ．
20 5
（3）设购买一个 A品牌足球需要 x元，则购买一个 B品牌足球需要 (x + 30) 元，
由题意可列分式方程
2500 2000
= 2 ×
x x + 30
解得 x＝50，
经检验，x＝50 是原方程的解，且符合题意，
x + 30 = 50 + 30 = 80 ．
故购买一个 A品牌足球需要 50 元，购买一个 B品牌足球需要 80 元．
五、解答题（三）：本题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．
（这里仅给出一种方法，使用其他方法解答可酌情赋分）
证：22．（1）如右答图所示，连结 AP，
由旋转的性质知，AE＝AC，
在 Rt△APE和 Rt△APC中，
题 22 答图 1
数学【参考答案】 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
AP = AP
{ ，
AE = AC
∴Rt△APE≌Rt△APC（HL），
∴PE＝PC．
解：（2）如右答图所示，连结 AP，
在 Rt△ABC中，由勾股定理，
AB = √AC2 + BC2 = 10 ，
AD＝AB＝10，
设 AO＝x，则 BO＝10 x，
由（1）知 Rt△APE≌Rt△APC， 题 22 答图 2
∴PC＝PE，∠APE＝∠APC，
∵AD//BC，
∴∠DAP＝∠APC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴DP＝AD＝10，
∴PC＝PE＝10 8＝2，
∴BP＝BC PC＝8 2＝6，
∵AD//BC
∴△AOD∽△BOP，
AD AO 10 x
∴ = ，即 = ，
BP BO 6 10 x
25 25
解得 x＝ ，故 AO的长度为 ．
4 4
证：（ 3）如右答图所示，连结 AP，延长 AD和 CE
交于点 G．
由（1）知 AE＝AC，PE＝PC，
∴PA是 CE的垂直平分线，
∴PA⊥CG，
∵∠PAC＝90° ∠ACG＝∠G， 题 22 答图 3
∴Rt△ACP∽Rt△GAC，
AC AG 6 AG
∴ = ，结合（2）的数据即 = ，
PC AC 2 6
解得 AG＝18，
∴GD＝18 10＝8＝BC，
∵AD//BC，
∴∠G＝∠BCF，∠GDF＝∠CBF，
在△GDF和△CBF中，
∠GDF＝∠CBF
{ GD＝CB
∠DGF＝∠BCF
∴△GDF≌△CBF，
∴DF＝BF．
数学【参考答案】 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
证：23．（1）如右答图所示，连结 CM，
∵MC＝MA，
∴∠MCA＝∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC＝∠OAC，
∴∠MCA＝∠OAC，
∵∠OAC＋∠ACO＝90°，
∴∠MCO＝∠MCA＋∠ACO＝∠OAC＋∠ACO＝90°， 题 23 答图 1
∵MC是⊙M的半径，点 C在 x轴上，
∴⊙M与 x轴相切．
解：（2）如右答图所示，过点M作 MN⊥AB于 N，
由（1）知，∠MCO＝90°，
∵MN⊥AB于 N，
∴∠MNO＝90°，AB＝2AN，
又∵∠CON＝90°，
∴四边形 OCMN是矩形，
∴MN＝OC，ON＝CM＝5，
∵OA+OC＝6，
设 AN＝x，则 OA＝5 x，MN＝OC＝6 (5 x)＝1＋x， 题 23 答图 2
在 Rt△MNA中，由勾股定理得 AN2＋MN2＝AM2，即 x2＋(1＋x)2＝52，
解得 x1＝3，x2＝ 4（舍），
∴AN＝3，
∴AB＝2AN＝6．
（3）如右答图所示，连结 BC，CM，过点 D作 DP⊥CM于 P，
由（2）知 AB＝6，OA＝2，OC＝4，
∴OB＝8，C(4,0)，
在 Rt△BOC中，由勾股定理得
BC＝√OB2 + OC2 = √82 + 42 = 4√5 ，
∵BD是⊙M的直径， 题 23 答图 3
∴∠BCD＝90°，BD＝10，
在 Rt△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理，得
2
CD＝√BD2 BC2 = √102 (4√5) = 2√5 ，即 CD2＝20，
在 Rt△CPD中，由勾股定理，得 PD2＝CD2 CP2＝20 CP2，
在 Rt△MPD中，由勾股定理，得 PD2＝MD2 MP2＝MD2 (MC CP)2＝52 (5 CP)2
＝10CP CP2，
∴20 CP2＝10CP CP2，
解得 CP＝2，
∴PD2＝20 CP2＝20 4＝16，
∴PD＝4，即 D点横坐标为 OC＋PD＝4＋4＝8，
∴D(8, 2)，
4k + b = 0
设直线 CD解析式为 y＝kx＋b，代入 C(4,0)，D(8, 2)得 { ，
8k + b = 2
数学【参考答案】 第 5 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
1
解得 { k = 2 ，
b = 2
1
故直线 CD的解析式为 y＝ x＋2．
2
数学【参考答案】 第 6 页（共 6 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}机密★启用前
2024年广东省初中学业水平考试（模拟卷）
数 学
本试卷共 4页，23小题，满分 120分．考试用时 90分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考
场号和座位号填写在答题卡上，用 2B铅笔在 “ 考场号”和 “ 座位号”栏相应
位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡 条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答
在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1． 2024的相反数是
1 1
A． 2024 B．2024 C． D．
2024 2024
2．如题 2图，∠1＝132°，则∠2＝
A．36° B．66°
C．96° D．126° 题 2图
2．历史文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，要敬畏历史、敬畏文化、敬畏生态，全
面保护好历史文化遗产，守护好前人留给我们的宝贵财富．下列各博物馆的徽标图
案中，可看作轴对称图形的是
A． B．
C． D．
数学试题 第 1 页（共 4 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
x + 1 ≤ 4
4．不等式组 { 的解集是
x 1 > 0
A．1 ≤ x ≤ 4 B．1 < x < 4
C．1 ≤ x < 4 D．1 < x ≤ 4
1
5．已知点 ( ) 在反比例函数 = 上，则 ( )2023 2024a,b y a b 化简的结果是
x
A． b B．b C． a D．a
6．在直线 y＝kx＋b上，y 随着 x 的增大而增大，且其图象与 x 轴负半轴有交点，则点
(k,b)在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称 “ 岭南四大古镇”，是岭南文化的重
要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中 3 个去游玩，则同时选择梅县松
口和惠州博罗的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
8．我国魏晋时期的数学家刘徽首创 “ 割圆术”，用圆内接正多边形的面
积去无限逼近圆面积．如题 8图所示的⊙O的内接正十二边形，若
该⊙O的半径为 1，则这个圆的内接正十二边形的面积为
A．1 B．2
C．3 D．4
题 8图
9．如题 9图，点 P是△ABC的重心，过点 P作 AC的平行线，分
别交 AB，BC于点 D，E，若 AC＝6，则 DE的长为
A．2
B．3
C．4
D．5 题 9图
10．边长为 2的正方形 OABC的顶点 A在 x轴正半轴上．如题 10
图将正方形 OABC绕顶点 O顺时针旋转 75°，使点 B恰好落
在抛物线 y＝ax2上，则 a的值是
√2 √2
A． B．
2 3
√3 √2
C． D． 题 10图
3 6
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11．直线 y＝2x＋4与 x轴的交点坐标是_____．
12．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染 700,000升水，
该数据用科学计数法记作_____．
数学试题 第 2 页（共 4 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
x
13．若一元二次方程 x2＋c＝0有两个不等的实数根 x1，x2，且 x1x2＝ 1，则 1 ＝_____． x2
14．在科技周期间，某校组织开展与神舟飞船有关的知识竞赛，
共有 20道题，答对一道题得 5分，答错或不答一道题倒扣
3分．小明参加本次竞赛且他想得分不低于 60分，他至少
需要答对_____道题．
15．如题 15图，在 ABCD中，AB＝AC，BC＝10．⊙O与边
AB、BC、AD分别相切于点 E、C、F，与边 CD交于点 P，
则 DP的长度是_____． 题 15图
三、解答题（一）：本题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分．
16．解方程（组）：
x + y = 5
（1）{ ；
x y = 1
（2）x2 4x + 3 = 0 ．
17．已知直线 y＝kx＋b过点 A(1,0)，B(0,2)．
（1）求 k，b；
（2）求线段 AB的长度．
18．如题 18图，点 E在 BC边上，AD＝AB，DE＝BC，
∠ADE＝∠B．求证：
（1）EA平分∠CED；
（2）∠BED＝∠CAE．
题 18图
四、解答题（二）：本题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
19．已知△ABC如题 19图所示．
（1）用尺规作图法在边 BC上找一点 D，使得∠CAD＝
∠ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的作图下，若 AC＝4，BC＝6，求 BD的长
度．
题 19图
20．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植
活动．据了解，市场上每捆 A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用 300元在市场上购
买的 A种菜苗比在菜苗基地购买的少 3捆．
（1）求菜苗基地每捆 A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆 B种菜苗的价格是 30元．学校决定在菜苗基地购买 A，B两种
菜苗共 100捆，且 A种菜苗的捆数不超过 B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持
该校活动，对 A，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
数学试题 第 3 页（共 4 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
21．2021年 7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶
段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称 “ 双减”政策），某校为了落实 “ 双
减”政策，安排教师参与课后服务工作，在某个星期内，统计他们参与课后服务的
次数，并将结果绘制成两幅不完整的统计图（如题 21图）．
题 21图
（1）参与课后服务的教师共有_____人，并补全条形统计图；
（2）学校准备从两名男教师，三名女教师共 5 名辅导教师中，随机调查两名教师
课后服务效果，则选中一男一女的概率是_____；
（3）学校积极响应 双减”，并为加强学生体育锻炼，现决定购进 A、B 两种品牌
的足球，购买 A品牌足球花费了 2500元，购买 B品牌足球花费了 2000元，
且购买 A品牌足球数量是购买 B品牌足球数量的 2倍，已知购买一个 B品牌
足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元．求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的
足球各需多少元？
五、解答题（三）：本题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．
22．如题 22-1图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点 A顺时针旋转 α（“ 0<α<∠
BAC）得到△ADE，DE交 AB于点 O，DE的延长线交 BC于点 P．
（1）求证：PE＝PC；
（2）如题 22-2图，若 AC＝6，BC＝8，当 AD//BC时，求 AO的长度；
（3）如题 22-3图，在（2）的条件下，连接 CE，BD，延长 CE交 BD于点 F，求
证：DF＝BF．
题 22-1图 题 22-2图 题 22-3图
23．如题 23 图，半径为 5 的⊙M 经过 x 轴上一点 C，与 y
轴交于 A、B两点，连接 AM、AC，AC平分∠OAM．
（1）求证：⊙M与 x轴相切；
（2）若 AO＋CO＝6，求 sin∠ABM；
（3）在（2）的条件下，延长 BM交⊙M于另一点 D，
求直线 CD的解析式．
题 23图
数学试题 第 4 页（共 4 页）
{#{QQABCQaQogCAAoBAARgCQQXgCAMQkBAACCoGhAAAsAAASQNABAA=}#}
