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微专题3 一次函数与反比例函数综合问题
（三个类型、共计30题）
类型一 图象判断
（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象判定a、b的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：A、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；
B、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；
C、反比例函数中，一次函数中，与已知相矛盾，选项错误；；
D、反比例函数中，一次函数中且与y轴交于负半轴，选项正确．
故选：D．
（2024上·河北唐山·九年级统考期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数图象与一次函数的图象共存问题，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可
【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项D符合条件的；
当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，A、B、C、D都不符合条件的；
故选：D
（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
（2024上·上海·八年级校考期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意；
、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
故选：．
（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的大致位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象综合，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解．
【详解】解：假设正比例函数经过一、三象限，
则，即：；
∴，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，
故A不符合题意，C符合题意；
假设正比例函数经过二、四象限，
则，即：；
∴可能为正，也可能为负，
∴反比例函数的图象既可能经过一、三象限，也可能经过二、四象限，
故B、D不符合题意
故选：C．
（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数和反比例函数图象所在的象限即可．
【详解】解：如图所示，一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，，
正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，
综上所述，符合条件的图象是C选项，
故选：C．
（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，然后在判断一次函数的图象与轴的交点，最后判断反比例函数图象所在象限即可；关键是由的取值确定一次函数的图象与轴的交点位置．
【详解】解：①：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故错误，不符合题意；
②：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故正确，符合题意；
③：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故正确，符合题意；
④：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故错误，不符合题意；
故：②③正确，
故选：C．
类型二 面积问题
（2023上·山东青岛·九年级校考期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3．
(1)求k的值
(2)求A，B两点的坐标．
(3)连接与，求的面积．
【答案】(1)
(2)，
(3)8
【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的综合运用：
（1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；
（3）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积．
【详解】（1）解：由已知，，
解得；
（2）解：当时，一次函数为，反比例函数为，
由，
解得，
∴
故，；
（3）解：由（1）得直线解析式为，
令，则
解得，
∴直线与x轴交点坐标为，
∴．
（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．一次函数的图象与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若为轴上的一个动点，连接，的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）把分别代入反比例函数和一次函数求解即可；
（2）由图象即可得出答案；
（3）先求出，，表示出，根据得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵的图象经过点，
，
，
∴一次函数的解析式为，
把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：由图象可得：不等式的解集为：或；
（3）解：设直线交轴于点，
在中，当时，，
，
当时，得，
解得：，
，
，
，
，
，，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或．
（2024上·湖南永州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
【答案】(1)一次函数解析式，反比例函数解析式
(2)
【分析】（1）利用点的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）先求出点的坐标，根据轴对称变换得出点的坐标，进而求出，根据即可求解；
【详解】（1）解：将代入得，，
反比例函数的关系式为．
在反比例函数的图象上，
，
，
，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令，得，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
；
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的综合应用，轴对称的性质，以及利用图象法求不等式的解集，解题的关键是灵活运用数形结合思想．
（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围；
(2)若点在轴上，位于原点右侧，且，求．
【答案】(1)一次函数的关系式为；或
(2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．
（1）把点代入可求出的值，确定反比例函数关系式；进而求出点的坐标，再把点，点代入一次函数，求出，的值，进而确定一次函数关系式；然后根据两个函数的图象和交点坐标可直观得出一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）反比例函数的图象过，
，
反比例函数的关系式为，
又也在反比例函数的图象上，
，
点，
一次函数的图象过点，点，
，
解得，
一次函数的关系式为；
由两个函数图象和交点坐标可知，一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围为或；
（2）设直线与x轴的交点为C，连接，如图，
，
，
，
，
把代入得，，
解得，
，
，，
，，
．
（2024上·河北沧州·九年级校考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，点A的坐标为，．
(1)求直线的解析式；
(2)已知双曲线与折线的交点为E，与折线的交点为F．
①连接，当时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F的坐标；
②若双曲线与矩形各边和对角线的交点个数为3，请求k的取值范围．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)①，；②或．
【分析】此题主要考查了反比例函数综合题，运用待定系数法求函数关系式以及反比例函数的图象与性质是解答此题的关键．
（1）根据矩形的性质求出为B、点D的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可；
（2）①根据求出的长，进而求出点E的坐标，代入求出k的值，进一步得出结论；
②当双曲线平移经过B、D之间时，或者与相切时有三个交点，分别求出k的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
设直线的解析式为：，
把，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）解：①如图，
∵，且，
∴，
∴，
∵E在上，
∴，
∴，
令，得，
∴；
②当双曲线平移经过之间时，或者与相切时有三个交点，
过B时，，
过D时，，
经过B时有两个交点，经过D时有三个交点，
∴，
当与相切时，，
即：，
，
∴．
综上，或．
（2024上·广东清远·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，.
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)
(2)，点Q的坐标为，
(3)或
【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用即可得到答案；
（3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标.
【详解】（1）解：过点B作于点H，
∵是等腰直角三角形，，.
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）过点Q作轴于点M，
设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式是，
∵，
∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为，
∴，
∴
；
（3）∵是等腰直角三角形，，.
∴，
∵，
∴,
∴，
过点C作于点N，则，过点P作轴于点R，
∴点C的坐标是，
∴，解得，
∴反比例函数解析式为，
设点P的坐标为，
则,，
由（2）可知，，
解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去），
∴点P的坐标为或
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键.
（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点，过A作轴，垂足为C，连接OB．
(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；
(2)点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先把代入求出k，再把代入求出n，然后把，代入求解即可；
（2）过P作轴交于N，过B作轴交于M，先求出，再利用求出的长，进而可求出点P的坐标．
【详解】（1）反比例函数的图象上
，
∴
∵在反比例函数图象上
∴
∴
∴和两点在一次函数的图象上
∴
∴
∴
（2）过P作轴交于N，过B作轴交于M
当时，
当时，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴P的纵坐标为2或
∴当时，
当时，
∴，
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
（2024上·辽宁铁岭·九年级校考期末）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)直接写出的解集；
(3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)的解集为或
(3)点的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键．
（1）先由正方形的性质结合点的坐标为，点的坐标为，得出点的坐标，再由待定系数法计算即可得出答案；
（2）联立，求出，再结合图象即可得出答案；
（3）设点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积，得出，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，
，
，
的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为：；
一次函数的图象经过点和点，
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
，
由图象可得：的解集为或；
（3）解：设点的坐标为，
的面积恰好等于正方形的面积，
，
解得：，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数图像上点的坐标特征、三角形面积等知识点，掌握数形结合是解题得关键．
（1）先通过一次函数求出点A、点B坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式即可；
（2）根据（1）求得点A、点B坐标，再结合函数图像即可解答；
（3）根据图像求出，再根据求出，然后根据三角形面积公式及点的坐标即可解答．
【详解】（1）解：分别把点、代入直线可得：，
∴，，
∵反比例函数的图像过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为．
（2）解：由（1）得：，，
∴不等式的解集为或．
（3）解：把代入得：，即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得：，
当点P的纵坐标为时，则，解得．
∴点P的坐标为或．
（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点C、点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式，一次函数与几何的综合．
（1）把点代入反比例函数，求解m的值，即可得到反比例函数解析式；把，两点代入一次函数，得到关于a，b的方程，求解即可得到一次函数解析式；
（2）根据求不等式的解集，即求当反比例函数图象在一次函数图象的下方时，x的取值范围，结合图象和题意即可求解；
（3）由一次函数解析式可求出C点坐标，从而由，可求出的值，进而得出的值．再根据P在y轴上，结合三角形面积公式，即可求出的长，即得出P点坐标．
【详解】（1）将代入，得，
∴反比例函数为，
将，代入，得
，解得．
∴一次函数的表达式为；
（2）∵当反比例函数的图象在一次函数图象的下方时，成立，
由图象可知当时，函数的图象在函数图象的下方，
∴不等式的解集是；
（3）在中，当时，，
∴．
∴
∴，
∵P在y轴上，
∴，即
∴．
∴或．
类型三 等角、倍角问题
（2023上·广东江门·九年级统考期末）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足在第一象限内x的取值范围．
(3)点Q在x轴负半轴上，满足，求点Q的坐标．
【答案】(1)，反比例函数解析式为；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等角对等边和勾股定理等等：
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值，即求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）设交y轴于D，，先证明，进而由勾股定理得到，解得，则，求出直线的解析式为，在中，当时，，则．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当反比例函数在一次函数上方时，自变量的取值范围为，
∴满足在第一象限内x的取值范围为；
（3）解：设交y轴于D，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴
（2024上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答；
（2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．
【详解】（1）解：把点分别代入和中可得：
，，解得：
∴，．
（2）解：设，则，
∴，
∵四边形的面积等于24，
∴,即，
整理得：，解得：
检验：是原方程的解，
∵，
∴，则．
∴．
（3）解：由平移可得：,
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：或（不合题意，舍去）
经检验是方程组的解，
∴点
∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，
由 (2)可得：，
∴，
∵ ，
∴，
如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M，
∵，
∴,
∴ N为的中点，
∴，即，
设直线的解析式为，
将代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）
经检验是方程组的解，
∴；
如图，当点M位于外部时，作于，连接，
∵，
∴,
∵，
∴关于对称，，
设直线的解析式为:,
将代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则的中点在直线上，
∴在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，整理得：，解得:，
∴或，
经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）
经检验是方程组的解，
∴．
综上所述，M的坐标为或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．
（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】(1)根据直线与反比例函数的图象交于，B两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标；
(2) 过点作轴，交于，设点的坐标为，求出直线的解析式为 ，进而得到，根据列方程解题即可；
(3)如图，过点作轴于，过点作轴，过点作(于，证明 ，根据正切的定义可得，可得的解析式为，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
∴；
（2）解：如图, 过点作轴，交于，设点的坐标为，
∵，
∴的解析式为：，当时，，
∴
设的解析式为：，
则 ，解得：，
∴的解析式为: ，
，
∵四边形的面积为，
，
即 ，
，
解得： ；
或；
（3）解：存在,
如图, 过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是“垂等四边形”，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴, 即 ，
，
∴，
设直线的解析式为: ,将点的坐标代入得: ，
，
∴ 的解析式为: ，
，
解得: 或(舍)，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
同理得：的解析式为：，设，
∵，
∴，
解得：(舍)，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以．
【问题背景】
如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点．
【理解应用】
（1）求证：
（2）连接，若时，求点的坐标．
【拓展迁移】
（3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）或
【分析】（1）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据，即可求解；
（2）设，则，则，根据题意得出，设，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点作于点，∵，，设，则，设，根据建立方程，解得或，进而求得直线直线的解析式为或，联立反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
又
∴
又∵点，分别在与上，则
∴
∴；
（2）∵，
设，则，
∴，
∵，
∴
设
∴
解得：或（正值舍去）
∴或
（3）如图所示，过点作于点，∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
设，
，
解得：或，
∴或，
设直线的解析式为，
∴或，
解得：或，
∴直线的解析式为或，
∴或，
解得：或（负值舍去），
∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，正切的定义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
类型四 几何图形存在性问题
（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：
(3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：
(2)或
(3)存在，其坐标分别为
【分析】（1）把点的坐标代入，得出反比例函数解析式；把点的坐标代入，求出的值，得到一次函数的解析式；
（2）求出点，设，根据可得，由点是反比例函数图象上的一个动点，即可得点的坐标；
（3）分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点，
∴，，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；
（2）解：一次函数中，当 时，，
，
设，
，
∴，
，
点在上，
或1，
或；
（3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下：
①当点在轴上时，如图，设点的坐标为，
过点作轴于点，
，，
，
∴，
，，
，，
，
∴，
，
∴点的坐标为；
②当点在轴上时，过点作轴于点，如图，
设点的坐标为， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
∴存在点，，使得四边形是矩形，点的坐标分别为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（2024上·上海闵行·八年级统考期末）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点，已知，直线与轴的夹角为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或或或．
【分析】（）把点的坐标代入反比例函数即可得出答案；
（）分点在轴上和轴上两种情况，再分别分和两种情况考虑即可；
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，含角的直角三角形的性质，勾股定理，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）如图，过点作轴于，
∵，，
∴，
∴， 由勾股定理得：，
∴点的坐标为，
∵反比例函数 的图象过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）如图，
当点在轴上时，且，
又∵，
∴， ，
∴点 ；
当点在轴上，且，
又∵，
∴，
∴点；
当点在y轴上，且，
又∵，
∴，，
∴，∴点；
当点在x轴上，且，
∵，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点的坐标为或或或．
（2023上·广东东莞·九年级校联考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)直接写出_______； _______；
(2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
(3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，1；
(2)或；
(3)存在，点P的坐标为或或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
（2）根据图象即可求得；
（3）分，，三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得： ，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
（2023上·四川资阳·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)过点作于点，点是线段上的一点，是否存在点P，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为 ，反比例函数的表达式为；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】（）求出两点坐标，代入直线的解析式求出，再求出点的坐标，求出即可；
（）构建方程组求出点的坐标，再利用割补法求出三角形面积即可；
（）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴.，
∵两点在直线 上，
，
解得，
∴直线的解析式为 ，
过点作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：由，
解得或，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
∵，
∴，，
∵ ，与相似，
∴ 或，
若，则，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
若，则 ，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
综上，∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论是解题的关键．
（2023下·四川乐山·八年级统考期末）如图1，直线l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围；
(3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；
(4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
(4)图见解析，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）设，，根据题意分四边形或四边形为菱形两种情况讨论，然后根据菱形的性质列方程求解即可；
（4）首先尺规做出的平分线，画出图形，连结，首先求出，然后利用题意得到为直角三角形，然后结合角平分线的概念得到，然后得到，最后代入求解即可．
【详解】（1）∵直线l与反比例函数的图象交于，两点
∴将代入得，，解得
∴反比例函数；
将代入得，
∴
∴设直线l的解析式为，
将，代入
得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）∵，
∴由图象可得，
当或时，
直线l在反比例函数的图象上方；
（3）∵，，设，
∴，
如图所示，当四边形是菱形时，
∴
∴由菱形的性质可得，
∴
∴解得或
∴，
如图所示，当四边形是菱形时，
∴，
∴由菱形的性质可得，
∴
∴解得
∴；
综上所述，点N的坐标为或或；
（4）如图所示，连结，
∵直线l的解析式为：，
∴点D坐标为，
∴，
∵点E与点A关于原点对称，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数以及几何综合题，坐标与图形，直角三角形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式．
（2023上·山西晋中·九年级统考期末）综合与探究
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；
(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，求出点坐标，再代入反比例函数解析式，求解即可；
（2）求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可；
（3）分为菱形的边长，以及为菱形的对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵，当时间，，
∴，
作点关于轴的对称点，
则：，，
∴当三点共线时，的值最小，
连接，与轴的交点即为点，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴；
（3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，
∴点的纵坐标为，
∴，
设，设，
则：，，；
当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况：
①当为边时，则：，
当时：，，
则：，解得：，
当时：，，即：；
当时：，，即：；
当时，，，
则：，解得：或（舍掉），
当时，，，即：；
②当为对角线时：则，
∴，
此时，即：，解得：，
∴，即：；
综上：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，涉及求函数解析式，利用轴对称解决线段和最小问题，菱形的性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．属于压轴题．
（2024上·四川成都·九年级校考期末）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形；
（1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，，
∴，，
∴
∴，
把代入，得：；
把，代入，得：
解得：，
（2）存在；理由如下：
∵，
∴当时，
∴，
∴，
联立，，
解得：或，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
或
（3）存在；理由如下：
∵，
∴；
∴，
∴，
∴当与相似时，点在点上方，，有两种情况，
①，则：，
∴，
∴，
∴；
②，则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
（2023上·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D．
(1)求出点A，B的坐标；
(2)若，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的点Q的标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)存在，或或或．
【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可得到点A，B的坐标；
（2）分别过点B，C作轴于点M，轴于点N，证得，得到 ，由 及求出，利用点C在图象上，求出点C的坐标，由此求出，得到；
（3）分三种情况：①当为菱形的边，为边时，②当为菱形的边，为边时，③当为对角线时，，利用勾股定理及菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
整理，得
解得，，
，；
（2）分别过点B，C作轴于点M，轴于点N，则，
又，
，
，
由（1）得，，
，，
又，
，，
点C在图象上，
当时，，
，
∴，
，
，
，
；
（3）设，
①当为菱形的边，为边时，
∵，，
∴，
解得或，
∴或，
由平移得或；
②当为菱形的边，为边时，
∵，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴；
③当为对角线时，，
∴
∴
解得，
∴，
∴
点Q的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合知识是解题的关键．
（2023上·广东佛山·九年级佛山市南海石门实验中学校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．
回答下列问题：
(1)求的面积．
(2)求证：．
(3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或或或
【分析】（1）根据的解集为，，求出点F的坐标为，点E的横坐标为6，再求出反比例函数的解析式为，即可求出点E的坐标为，待定系数法求出所在直线的解析式为，即可求出D的坐标为，利用即可得到答案；
（2）求出点G的坐标为，由（1）可知：，，，，，得到，，，，求出，即可证明 ；
（3）分三种情况利用勾股定理列方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）∵的解集为，，
∴点F的坐标为，点E的横坐标为6，
将带入是，
∴反比例函数的解析式为，
将代入得：，
∴点E的坐标为
将、代入得，
解得，
∴所在直线的解析式为，
将代入得：，
∴点D的坐标为
∴
（2）将代入得，
∴点G的坐标为，
由（1）可知：，，，，，
∴，，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
（3）存在，点P的坐标是或或或
设点P点的坐标为，由（2）可知，，
则，，
，
当时，，
即，
即，
∴，
当时，，
即，
即，
∴，
当时，，
即，
∴，
即或，
∴或，
综上可知，点P的坐标是或或或
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的图象和性质、待定系数法求出函数解析式、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分类讨论是解题的关键．备战2024年中考微专题提升训练集
微专题3 一次函数与反比例函数综合问题
（三个类型、共计30题）
类型一 图象判断
（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河北唐山·九年级统考期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·上海·八年级校考期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的大致位置不可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
类型二 面积问题
（2023上·山东青岛·九年级校考期中）已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3．
(1)求k的值
(2)求A，B两点的坐标．
(3)连接与，求的面积．
（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．一次函数的图象与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若为轴上的一个动点，连接，的面积为时，求点的坐标．
（2024上·湖南永州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围；
(2)若点在轴上，位于原点右侧，且，求．
（2024上·河北沧州·九年级校考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，点A的坐标为，．
(1)求直线的解析式；
(2)已知双曲线与折线的交点为E，与折线的交点为F．
①连接，当时，求该双曲线的解析式，并求出此时点F的坐标；
②若双曲线与矩形各边和对角线的交点个数为3，请求k的取值范围．
（2024上·广东清远·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，.
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标.
（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点，过A作轴，垂足为C，连接OB．
(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；
(2)点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标．
（2024上·辽宁铁岭·九年级校考期末）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)直接写出的解集；
(3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标．
（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点C、点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
类型三 等角、倍角问题
（2023上·广东江门·九年级统考期末）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足在第一象限内x的取值范围．
(3)点Q在x轴负半轴上，满足，求点Q的坐标．
（2024上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以．
【问题背景】
如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点．
【理解应用】
（1）求证：
（2）连接，若时，求点的坐标．
【拓展迁移】
（3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标．
类型四 几何图形存在性问题
（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：
(3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024上·上海闵行·八年级统考期末）如图，直线与反比例函数的图像在第一象限交于点，已知，直线与轴的夹角为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．
（2023上·广东东莞·九年级校联考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)直接写出_______； _______；
(2)请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
(3)在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023上·四川资阳·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)过点作于点，点是线段上的一点，是否存在点P，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023下·四川乐山·八年级统考期末）如图1，直线l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)若直线l在反比例函数的图象上方，请直接写出x的取值范围；
(3)点M在y轴上，点N为坐标平面内任一点，若以A、B、M、N四点构成的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标；
(4)如图2，直线l与x轴相交于点D，点A关于原点对称的点为E，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹），过点E作于F，连结，求的面积．
（2023上·山西晋中·九年级统考期末）综合与探究
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；
(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024上·四川成都·九年级校考期末）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023上·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D．
(1)求出点A，B的坐标；
(2)若，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的点Q的标；若不存在，请说明理由．
（2023上·广东佛山·九年级佛山市南海石门实验中学校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象相交于E、F两点，线段所在的直线的解析式为，其图象交坐标轴于D、G两点，连接和，边分别在x轴和y轴上，点A坐标为，不等式的解集为：．
回答下列问题：
(1)求的面积．
(2)求证：．
(3)若点P为x轴上任意一点，是否存在这样的点P，使得为直角三角形，若存在，请直接写出P点坐标．
