2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第1章 直角三角形 单元测试 A卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（3分）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（3分）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
5．（3分）如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（3分）如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l2交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分） 在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
10．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为 .
12．（3分）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝，则AD的长为 ．
14．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
15．（3分）如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
三、解答题(共3题；共18分)
16．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5.求四边形ABCD的面积.
17．（6分）如图，长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，延长 CD 交 FG 于点 M，连结 AM.设AE 与 CD 相交于点 N，求证：△AMN 是等腰三角形.
18．（6分）如图， 在 Rt 中， 于点 . 求 得长.
四、实践探究题(共2题；共25分)
19．（8分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形并做了如下证明：
设等边三角形的边长为，
，
等边三角形一定是奇异三角形．
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）（3分）在中，两直角边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（2）（5分）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：：的值．
20．（17分）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（1）（2分）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（2）（2分）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是： ．
（3）（3分）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是 ．
（4）（3分）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是 ．
（5）（3分）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于 ．
（6）（4分）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
五、综合题(共4题；共32分)
21．（7分）如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.
（1）（3分）分别求出线段AB，CD的长度；
（2）（4分）在图中画线段EF，使得EF的长为 ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
22．（7分）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，。
（1）（3分）求的度数；
（2）（4分）若，，求的长。
23．（7分）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
（1）（3分）求的长；
（2）（4分）这辆小汽车超速了吗？
24．（11分）如图，在中，，F是的中点，，垂足为点E，连接、．
（1）（3分）求证：平分；
（2）（3分）若，，求的面积；
（3）（5分）请判断线段与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．B
2．C
3．C
4．A
5．C
6．A
7．B
8．A
9．B
10．D
11．54°
12．44°
13．
14．20
15．
16．解：延长DA和CB交于O，如图：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB=∠C=∠OAB=90°，
∵∠D=60°，
∴∠O=30°，
∵AB=4，DC=5，
∴OB=2AB=8，OD=2DC=10，
则，
，
∴四边形ABCD的面积=S△OCD-S△OAB =12×OC×CD-12×OA×AB =12×53×5-12×43×4 =923 .
17．证明：∵长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，
∴AG=AD，∠AGM=∠ADM=∠GAE=90°，
∴∠MAN+∠GAM=90°，∠GAM+∠GMA=90°，
∴∠GMA=∠MAN，
在Rt△AGM和△ADM中
∴Rt△AGM≌△ADM（HL），
∴∠GMA=∠DMA，
∴∠MAN=∠DMA，
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形.
18．解：S△ABC=.
∴AC＝cm，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝(2） +（） =27，
∴AB=cm，
∵S△ABC=，
∴CD＝cm.
19．（1）解：当为斜边时，不是奇异三角形；
当为斜边时，，
，
或，
不是奇异三角形．
当为斜边时，是奇异三角形．
当为斜边时，，
，
，
，
是奇异三角形
（2）解：在中，，
，，
是奇异三角形，
，
，
，
，
，
，
：：：：．
20．（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2 ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
（2）S1+S2=S3
（3）47
（4）S1+S2=S3
（5）30
（6）设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82，
解得：x= ，
答：绳索长为 尺．
21．（1）解：AB= = ；CD= =2 ．
（2）解：如图，EF= = ，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，∴CD2+EF2=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形．
22．（1）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，
∴OC=CD，∠OCB=∠DCA，
∴∠OCB+∠ACO=∠DCA+∠ACO，即∠ACB=∠DCO.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°.
（2）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，OB=4，OC=5，
∴AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°.
∵△OCD为等边三角形，
∴∠OD=OC=5.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
∴AO=.
23．（1）在中，，；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
24．（1）证明：∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：延长、交于点G，
在中，∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，即，且F是的中点，
∴，
∵，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期
第1章 直角三角形 单元测试 A卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】A、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、∵=，能围成直角三角形，此选项正确；
C、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
D、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误。
故选B。
【点评】 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项代入验证即可。
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2CB＝4，
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2CB＝4。
3．（3分）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】解：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，
∵CD=AD，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，
∴BD=2AD=4，
∴BC=BD+CD=6.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，∠C=∠DAC=30°，由角的和差得∠DAB=90°，进而根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2AD=4，最后根据线段的和差可算出答案.
4．（3分）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】解：根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，三角形边长的平方即为正方形的面积，故8+A=14，A=6；
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理得出8+A=14，进而求出A的面积。
5．（3分）如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】解：连接BD，如图
∵DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD=12
∴∠DBE=∠A=30°
∵，
∴∠ABC=90° ∠A=60°
∴∠CBD=∠ABC ∠DBE=30°
∴
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
6．（3分）如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l2交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；直角三角形斜边上的中线
【解析】解：由题意得：AD=CD， ∠ABC= 90°，
∴，时，BD有最小值，
.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即得时，BD有最小值，计算求解即可.
7．（3分） 在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】A、∵，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理分别求出阴影线段的长，再比较大小分析求解即可.
8．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：设BD=x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
AC= = =10．
折叠纸片使AB边与AC边重合，B点落在点E上，AE=AB=6，BD=DE=x，EC=AC﹣AE=10﹣6=4．
由线段的和差，得：DC=BC﹣BD=8﹣x．
在Rt△CED中，由勾股定理，得：DE2+CE2=DC2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3．
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=10，设BD=x，利用折叠的性质可得AE=AB=6，BD=DE=x，从而可得EC=4，DC=8﹣x，在Rt△CED中，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x值即可.
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（ ）
A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE；
∴∠ABE=∠A=30°；
又∵在 中， ∠EBC=30°；
∴CE= BE，
即AE=BE=2CE.
故答案为：B.
【分析】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE，∠ABE=∠A=30°，根据直角三角形的性质可得：∠EBC=30°，CE= BE，即AE=BE=2CE.
10．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AB＝20 cm；
故答案为：D．
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为 .
【答案】54°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】解：另一个锐角的大小为：90°-36°=54°。
故第1空答案为：54°。
【分析】根据直角三角形的性质直接求出另一个锐角。
12．（3分）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为 ．
【答案】44°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=46°，
∴∠A=90°﹣46°=44°，
故答案为：44°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠A的度数可得答案．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=．
故答案为：．
【分析】先求出∠BDC=90°-60°=30°， 利用含30°角的直角三角形的性质求出BD=2BC=， 再根据∠ABD=∠A， 可得AD=BD=。
14．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处
∴∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC
∵BC＝10，BE＝2
∴EC=8
∴DE=DC=
EC=4，BD=6
∵AB2 = AD2 + BD2 = AD2 + 36，
AC2 = AD2 + DC2 = AD2 +16
∴AB2﹣AC2 =AD2 + 36-（AD2 +16）=20
故答案为：20.
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，DE=DC=
EC，从而可得出BD和CD的长，运用勾股定理，可分别表示出 AB2和AC2 ，相减可得到答案.
15．（3分）如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】解：过点E坐EH⊥AC于点H，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF，∠DEF=60°，
在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠C=60°，BC=，
∴∠DEF=∠C，
∵∠BEF=∠BED+∠DEF=∠EFH+∠C，
∴∠BED=∠EFH，
在△BDE和△HEF中：
∵∠BED=∠EFH，∠B=∠EHF=90°，DE=EF，
∴△BDE≌△HEF，
∴BD=HE=6，BE=FH，
在Rt△CEH中，∠CHE=90°，∠C=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=，，
∴BE=BC-CE=，
∴，
∴CF=CH+HF=
故第一空答案为：
【分析】过点E坐EH⊥AC于点H，通过证明△BDE≌△HEF，可得出EH=BD=6，然后在含30°锐角的直角△ABC和△CEH中，可分别求得BC=，CH=，从而可得，FH=BE=，最后得出CF=CH+HF=
三、解答题(共3题；共18分)
16．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5.求四边形ABCD的面积.
【答案】解：延长DA和CB交于O，如图：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB=∠C=∠OAB=90°，
∵∠D=60°，
∴∠O=30°，
∵AB=4，DC=5，
∴OB=2AB=8，OD=2DC=10，
则，
，
∴四边形ABCD的面积=S△OCD-S△OAB =12×OC×CD-12×OA×AB =12×53×5-12×43×4 =923 .
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】延长DA和CB交于O，根据直角三角形两锐角互余可得∠O=30°，根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半可得OB=8，OD=10，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OA和OC的值，根据四边形ABCD的面积=△OCD的面积-△OAB的面积即可求解.
17．（6分）如图，长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，延长 CD 交 FG 于点 M，连结 AM.设AE 与 CD 相交于点 N，求证：△AMN 是等腰三角形.
【答案】证明：∵长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，
∴AG=AD，∠AGM=∠ADM=∠GAE=90°，
∴∠MAN+∠GAM=90°，∠GAM+∠GMA=90°，
∴∠GMA=∠MAN，
在Rt△AGM和△ADM中
∴Rt△AGM≌△ADM（HL），
∴∠GMA=∠DMA，
∴∠MAN=∠DMA，
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形.
【知识点】全等图形；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用全等图形的性质可证得AG=AD，∠AGM=∠ADM=∠GAE=90°，利用余角的性质可证得∠GMA=∠MAN；利用HL证明Rt△AGM≌△ADM，利用全等三角形的性质可证得∠GMA=∠DMA，据此可推出∠MAN=∠DMA，利用等角对等边可证得AM=AN，据此可证得结论.
18．（6分）如图， 在 Rt 中， 于点 . 求 得长.
【答案】解：S△ABC=.
∴AC＝cm，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝(2） +（） =27，
∴AB=cm，
∵S△ABC=，
∴CD＝cm.
【知识点】二次根式的乘除法；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】由S△ABC可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长，最后再利用三角形的面积公式即可求出CD的长.
四、实践探究题(共2题；共25分)
19．（8分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形并做了如下证明：
设等边三角形的边长为，
，
等边三角形一定是奇异三角形．
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）（3分）在中，两直角边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（2）（5分）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：：的值．
【答案】（1）解：当为斜边时，不是奇异三角形；
当为斜边时，，
，
或，
不是奇异三角形．
当为斜边时，是奇异三角形．
当为斜边时，，
，
，
，
是奇异三角形
（2）解：在中，，
，，
是奇异三角形，
，
，
，
，
，
，
：：：：．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）分①当为斜边时， ②当为斜边时，根据新定义进行验证，即可求解；
（2）根据勾股定理可得，根据是奇异三角形，得出，进而得出，即可求解．
20．（17分）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（1）（2分）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（2）（2分）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是： ．
（3）（3分）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是 ．
（4）（3分）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是 ．
（5）（3分）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于 ．
（6）（4分）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
【答案】（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2 ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
（2）S1+S2=S3
（3）47
（4）S1+S2=S3
（5）30
（6）设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82，
解得：x= ，
答：绳索长为 尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】解：【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；
故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3= πc2，S1= πa2，S2= πb2，
∴S1+S2= πa2+ πb2= πc2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：
阴影部分面积和=S1+S2+ ab-S3= ab，
∵a=5，c=13，
∴ 12，
∴阴影部分面积和= ×5×12=30，
故答案为：30；
【分析】（1）根据图象，用不同的表达式表示出同一图形的面积，列出等式化简即可；
（2）根据勾股定理的性质求解即可；
（3）根据勾股定理的性质求解即可；
（4）根据勾股定理的性质求解即可；
（5）根据勾股定理列出方程求解即可。
五、综合题(共4题；共32分)
21．（7分）如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.
（1）（3分）分别求出线段AB，CD的长度；
（2）（4分）在图中画线段EF，使得EF的长为 ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）解：AB= = ；CD= =2 ．
（2）解：如图，EF= = ，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=13，∴CD2+EF2=AB2，∴以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB、CD的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
22．（7分）如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，。
（1）（3分）求的度数；
（2）（4分）若，，求的长。
【答案】（1）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，
∴OC=CD，∠OCB=∠DCA，
∴∠OCB+∠ACO=∠DCA+∠ACO，即∠ACB=∠DCO.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠ODC=60°.
（2）解：∵将△BOC绕点C旋转得到△ADC，OB=4，OC=5，
∴AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°.
∵△OCD为等边三角形，
∴∠OD=OC=5.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
∴AO=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：OC=CD，∠OCB=∠DCA，结合角的和差关系可得∠ACB=∠DCO，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠DCO=60°，推出△ODC为等边三角形，据此求解；
（2）由旋转的性质可得AD=OB=4，∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形的性质可得∠OD=OC=5，由角的和差关系可得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，然后利用勾股定理计算即可.
23．（7分）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
（1）（3分）求的长；
（2）（4分）这辆小汽车超速了吗？
【答案】（1）在中，，；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得AC=30m，AB=50m，然后根据勾股定理计算即可；
（2）利用BC的值除以时间求出速度，然后与80进行比较即可判断.
24．（11分）如图，在中，，F是的中点，，垂足为点E，连接、．
（1）（3分）求证：平分；
（2）（3分）若，，求的面积；
（3）（5分）请判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：延长、交于点G，
在中，∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，即，且F是的中点，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得AD=2DF，由已知条件可知AD=2CD，则CD=DF，由等腰三角形的性质可得∠DFC=∠DCF，根据平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，则∠DCF=∠BCF，据此证明；
（2）延长BA、CF交于点G，由平行四边形以及平行线的性质可得∠G=∠FCD，利用AAS证明△AGF≌△DCF，得到GF=CF，AG=DC，利用勾股定理可得BC的值，然后求出AD、AG、AE、EG的值，由中点的概念可得S△EGF=S△ECG，据此计算；
（3）由直角三角形斜边上中线的性质可得EF=CG，然后结合GF=CF进行解答.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 33.0(27.5%)
主观题（占比） 87.0(72.5%)
题量分布 客观题（占比） 11(45.8%)
主观题（占比） 13(54.2%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(41.7%) 30.0(25.0%)
填空题 5(20.8%) 15.0(12.5%)
解答题 3(12.5%) 18.0(15.0%)
实践探究题 2(8.3%) 25.0(20.8%)
综合题 4(16.7%) 32.0(26.7%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (83.3%)
2 容易 (16.7%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 三角形全等的判定 3.0(2.5%) 15
2 含30°角的直角三角形 24.0(20.0%) 2,3,5,9,13,15,16
3 等腰三角形的性质 12.0(10.0%) 3,5,9,13
4 直角三角形的性质 6.0(5.0%) 11,12
5 直角三角形全等的判定（HL） 6.0(5.0%) 17
6 定义新运算 8.0(6.7%) 19
7 翻折变换（折叠问题） 6.0(5.0%) 8,14
8 全等图形 6.0(5.0%) 17
9 等边三角形的判定与性质 10.0(8.3%) 10,22
10 线段垂直平分线的性质 6.0(5.0%) 5,9
11 二次根式的性质与化简 8.0(6.7%) 19
12 垂线段最短 3.0(2.5%) 6
13 平行线的性质 11.0(9.2%) 24
14 勾股定理 38.0(31.7%) 7,8,10,14,16,18,21,22
15 旋转的性质 7.0(5.8%) 22
16 三角形全等的判定（AAS） 11.0(9.2%) 24
17 平行线之间的距离 3.0(2.5%) 6
18 三角形的面积 23.0(19.2%) 16,18,24
19 直角三角形斜边上的中线 14.0(11.7%) 6,24
20 等腰三角形的判定 6.0(5.0%) 17
21 勾股定理的应用 35.0(29.2%) 4,19,20,23
22 角平分线的判定 11.0(9.2%) 24
23 二次根式的乘除法 6.0(5.0%) 18
24 三角形全等及其性质 3.0(2.5%) 15
25 勾股定理的逆定理 10.0(8.3%) 1,21
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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