华东师大版九年级数学下册综合复习题
一、单选题
1．已知抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，则下列说法，错误的是（ ）
A．开口方向向下 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（﹣1，3）
2．二次函数y＝3x2-1图象开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
3．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
5．小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现an是n的二次函数．设S=，下列说法正确的是（ ）
n 1 2 3 4 5 … n
数列 -5 -2 0 1 1 … an
A．S有最大值为1 B．当n=10时，S=-14
C．S有最小值为-5 D．当n=15时，S=
6．已知圆心 到两直线 、 的距离 ， 分别是方程 的两根，且 ，⊙O的半径为3，则直线 、 与 的位置关系分别为（ ）
A．相离、相交 B．相切、相交 C．相离、相切 D．相交、相离
7．已知抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，且过点A（0，n），B（4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
8．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cm B．5 cm C．5 cm D．6cm
9．若点A(－ ，y1)，B(－1，y2)，C ( ，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋m的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
10．如图，在⊙O中，已知 =2，则AB与2CD的大小关系是（ ）．
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不确定
二、填空题
11．若函数y=（m-1） +mx-2017是二次函数，则m＝
12．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在16%左右，则口袋中红色球可能有 个．
13．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
三、解答题
15．如图，已知二次函数y=﹣ x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A（2，0），与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
16．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
17．如图， △ABC内接于⊙O， AD⊥BC于D， AE是⊙O的直径. 若AB=6， AC=8， AE=11， 求AD的长.
18．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，求∠ACB的度数．
四、综合题
19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
20．已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
21．如图， 的图像交x轴于O点和A点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y2，y2与x轴交于O点和B点.
（1）若y1=2x2-3x，则y2= .
（2）设 y 1 的顶点为C，则当△ABC为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .
22．如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线与的延长线相交于P.弦平分，交直径于点F，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
23．
（1）【问题探究】
如图1，在中，，点为上一点，且，于点，若的面积为24，求的长．
（2）【问题解决】
如图2，某小区有一块三角形空地，其中米，米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在边上选一点，边上取一点，使得，过点作EF//交于点，连接，在和区域内绿化，在四边形区域内修建运动场地．若设的长为米，运动场地四边形的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②运动场地四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地四边形面积的最大值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，此选项正确；
B、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的对称轴为x＝﹣1，开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，此选项错误；
C、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3对称轴x＝﹣1，此选项正确.
D、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3顶点坐标是（﹣1，3），此选项正确；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的顶点式的性质可知该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（-1,3），二次
项的系数小于0，图象开口向下，故在对称轴左侧，即当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，在对称轴右
侧，即当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=3＞0，
∴抛物线的开口向上.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的图象和性质可知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线的开口向下，据此可得答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故答案为：D．
【分析】由已知可知道a、b同号，分两种情况：当a＞0时，b＞0；当a＜0时，b＜0，再根据函数的性质即可得到选项。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴对称轴为y轴．
故答案为：D．
【分析】根据函数的解析式可直接得到抛物线的对称轴。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设二次函数的表达式为：an=tn2+bn+c（a≠0），
将（1，-5）、（2，-2）、（3，0）代入上式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
整理得，
故二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
结合表格可得点（3，0）与点（6，0）关于对称轴对称，
当1≤n＜3，n＞6时，an＜0，
当3＜n＜6时，an＞0；
∵
∴；
A、若S有最大值为1，则，
即：，
整理得：，
∵，
故原方程无解，
即不成立，故A错误；
B、当n=10时，，B错误；
C、若S有最小值为-5，则，
即：，
整理得：，
解得：n=1或n=18，
当n=19时，；C错误；
D、当n=15时，，D正确；
故答案为：D.
【分析】用待定系数法求出函数表达式，即可求出S与n的关系式，将n=15代入求得，再逐项判断即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：解方程 得：x1=5，x2=2，
∵ ， 分别是方程 的两根，且 ，
∴d1=5，d2=2，
∵⊙O的半径为3，
∴d1＞3，d2＜3，
∴直线 与 相离，直线 与 相交，
故答案为：A．
【分析】通过求解一元二次方程的两根得出d1，d2的值，然后根据d与r的大小即可判断出直线与圆的位置关系。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：y＝2x2+bx+c＝2（x+ ）2+c﹣ ，
∵抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，
∴c﹣ ＝﹣2，得c＝ ﹣2，
∵抛物线y＝2x2+bx+c经过A（0，n），B（4，n），
∴该抛物线的对称轴为：直线x＝ ＝2＝﹣ ，
∴b＝﹣8，
∴c＝ ﹣2＝8﹣2＝6，
∴y＝2x2+bx+c＝2x2﹣8x+6，
∴n＝6，
即AM＝BN＝6，
∵A（0，n），B（4，n），
∴AB＝4，
∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA＝6+4+6+4＝20，
故答案为：A.
【分析】抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，可知抛物线顶点的纵坐标为-2，由于A（0，n），B（4，n），可求出对称轴及AB的长，从而求出b、c及n的值，继而得出AM=BN的长，从而求出四边形周长.
8．【答案】B
【解析】【解答】连接EC，
∵∠E与∠B是 对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE sin45°=10× =5 （cm）．
∴AC的长为5 cm．
故答案为：B.
【分析】连接EC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠B，又∠B=∠EAC，故∠E=∠EAC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACE=90°，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AC=AE sin45°即可算出AC的长。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝－x2－4x＋m，则 ，对称轴为： ，
∴点C距离对称轴最远，即 最小，
点B距离对称轴最近，即 最大，
∴ ，
故选择：A.
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，
∴ =，
∵ =2，
∴，
∴CD=BE=AE，
∵AE+BE＞BA，
∴2CD＞AB.
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，结合已知条件，可证得，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得CD=BE=AE，利用三角形的三边关系，可得到AB与2CD的大小关系.
11．【答案】-1
【解析】【解答】解：由题意得： ，解得：m=-1．
【分析】 二次函数是形如y=ax2+bx+c（a不为0）的函数。根据二次函数的定义可得，解方程即可求解。
12．【答案】8
【解析】【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在16%左右，
∴口袋中红色球的频率为16%，故红球的个数为50×16%=8个．
故答案为8
【分析】根据口袋中红球的数目=口袋中小球的数目 × 摸到红色球的频率即可求解。
13．【答案】π﹣2
【解析】【解答】解：∠BAC＝45°，OB＝2，
，
阴影部分的面积为：.
故答案为：π﹣2.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，再利用扇形BOC的面积减去三角形BOC的面积即可得到阴影部分的面积，代入面积计算公式计算即可.
14．【答案】2 ﹣ π
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝ AB＝1，
由勾股定理得，OB＝ ＝ ，
∴AC＝2，BD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AO＝ AB＝1，根据勾股定理算出OB的长，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半及扇形的面积计算公式S=，由阴影部分的面积=菱形的面积-两个扇形的面积即可算出答案。
15．【答案】解：将A（2，0）代入函数y=﹣ x2+bx﹣6，
得：0=﹣2+2b﹣6，解得：b=4，
∴二次函数解析式为y=﹣ x2+4x﹣6．
当x=0时，y=﹣6，
∴B（0，﹣6），
抛物线对称轴为x=﹣ =4，
∴C（4，0），
∴S△ABC= AC OB= ×（4﹣2）×6=6
【解析】【分析】由点A的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式即可找出抛物线的对称轴，从而得出点C的坐标，再将x=0代入二次函数解析式求出点B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
16．【答案】解：(1)因为k＝－2，所以A(1，－2)，
设反比例函数为y＝，因为点A在函数的图象上，所以－2＝，
解得k1＝－2，
反比例函数解析式为y＝－.
(2)由y＝k(x2＋x－1)＝k－k，得抛物线对称轴为直线x＝－，
当k>0时，反比例函数不存在y随着x的增大而增大的取值范围，所以k<0，
此时，当x<0或x>0时，反比例函数值y随着x的增大而增大；
当x≤－时，二次函数值y随着x的增大而增大，所以自变量x的取值范围是x≤－.
(3)由题(2)得点Q的坐标为（-，-k），
因为AQ⊥BQ，点O是AB的中点，
所以OQ＝AB＝OA，
得＋k2＝12＋k2，解得k＝±.
【解析】【分析】考查二次函数的性质。
17．【答案】解：连接CE，则∠E=∠B，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，又∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90°，∴△ACE∽△ADB，∴ ，即 ，解得AD=
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACE=90°，由AD⊥BC，得到△ACE∽△ADB，得到比例，求出AD的值.
18．【答案】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC． ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=80°，在四边形OAPB中，可得∠AOB=100°． 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上，则∠ACB=130°； ②若C点在优弧AB上，则∠ACB=50°．
【解析】【分析】 连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC ， 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧AB上； ②若C点在优弧AB上；用圆内接四边形的对角互补即可求解。
19．【答案】（1）解：如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标是（1，﹣4）；
（2）解：∵点A（4，1），
∴OA＝ ，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积＝π．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质分别确定点A、B绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，然后顺次连接即得△OA1B1， 然后写出点A1的坐标即可；
（2）线段OA在旋转过程中扫过的图形是以点O为圆心，OA为半径的圆的四分之一，然后计算即可.
20．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝ AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝ ，
∴DF＝2DE＝ ．
【解析】【分析】(1)连接BD，根据AB是⊙O的直径， 可得 ∠ADB＝90°， ，进而可得结论；
(2)根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF=DE的值，进而可求DF的值。
21．【答案】（1）y1=-2x2-3x
（2）y1=（x-1）2-
【解析】【解答】（1）解：y1=2x2-3x的图像交x轴于O点和A点，
∴O（0，0），A（，0），
又∵将y1绕原点旋转180°得图像y2，
∴B（-，0），
∴y2解析式为：y1=-2x2-3x.
（2）依据题意得：y1=（x-1）2-
【分析】（1）根据旋转的性质和抛物线与x轴交点坐标得y2解析式.
（2）根据函数图象上点的坐标特征，分别求出A、C，再根据旋转的性质得出B点坐标，根据勾股定理分别求出AB，AC，BC，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形.
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
解得，，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得AD∥OC，由平行线的性质可得∠1=∠3，根据等腰三角形的性质可得∠2=∠3，则∠1=∠2，据此证明；
（2）连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，，由弧、弦的关系可得AE=BE， 利用勾股定理可得AB的值，由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，根据等角的余角相等可得∠PCB=∠PAC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△PCB∽△PAC，根据三角函数的概念以及相似三角形的性质可设PB=3x，则PC=4x，由勾股定理可得x的值，进而可得PC的值.
23．【答案】（1）解：过点作于点，
，，
，
，
，即，
，，
，
，即，
；
（2）解：①过点作于点，交于点，过点作于点，
，，
米，
米，
，，
，
，，
，
，
即，
，
，，
，
，
∽，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即；
由可知，，
当时，最大，
即运动场地四边形的面积存在最大值，最大值为600平方米，此时的长为米．
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F， 由△ABC的面积为24可求AF=6，易证DE∥AF，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，可证得△BDE∽△BAF根据相似三角形的对应边成比例可求出DE；
（2）①过点A作AM⊥BC于点M，交EF于点N，过点E作EH⊥BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质可得BM=CM=30， 利用勾股定理求出AM=40米，由BD=x，得BE=x，易证EH∥AM，根据平行线分线段成比例可得， 据此求出， 再证四边形EDCF是平行四边形，从而根据平行四边形的面积计算方法得出y与x的函数关系式；②利用①解析式，根据二次函数的性质求解即可.
