8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时练习
一、单选题
1．下列命题中正确的个数是（ ）
①两条直线，没有公共点，那么，是异面直线
②若直线上有无数个点不在平面内，则
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
④若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
A． B． C． D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
3．已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
5．设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一条直线
C．平行于同一条直线 D．垂直于同一个平面
6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
8．在正方体中，直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．0
10．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面.其中不正确的是（ ）
A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤
11．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
12．如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
13．两个平面最多可以将空间分为___________部分.
14．如图，已知正方体的棱长为1，则直线AB和的距离为______；直线和的距离为______；直线和的距离为______．
15．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
16．棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为______．
17．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，若平面经过点，则它截正方体所得的截面的周长最小值为__________.
三、解答题
18．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
19．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
20．如图，、是圆锥SO的两条母线，是底面圆的圆心，底面圆半径为10，是的中点，，与底面所成角为，求此圆锥的侧面积．
21．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
22．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且；
求证：（1）点E，F，G，H四点共面；
（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．
23．如图，在长方体中，点E，F分别在棱上，且，．
（1）求证：E，D，F，四点共面；
（2）若，求三棱锥的体积．
参考答案：
1．C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
【详解】①两条直线，没有公共点，那么，平行或异面直线，故错误；
②若直线上有无数个点不在平面内，则或相交，故错误；
③由空间角定理知，正确；
④由直线与平面平行的定义知，正确；
故选：C
2．D
【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
3．B
【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，，则或，所以A不正确；
对于B中，若，，，则与可能为相交平面，所以B不正确；
对于C中，假设，，
在平面内任取一定，分别作，
因为，根据面面垂直的性质定理，可得,
又由，所以，且，所以，所以C正确.
对于D中，若，，，，只有当与相交时，才能得到，所以D不正确.
故选：C.
5．B
【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A错；
对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂直于该条直线，正确；
对于C，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；
对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；
故选：B．
6．D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
7．B
【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理分别去判断各个选项，即可判断出正误.
【详解】解：对于选项，若，，则与可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；
对于选项，若，且，则，因此正确；
对于选项，若，，，，则与不一定平行，因此不正确；
对于选项，若，，，则与不一定垂直，因此不正确.
综上，正确的命题是B.
故选：B.
【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.
8．B
【分析】根据线线角的求法求得正确答案.
【详解】画出图象如下图所示，
根据正方体的性质可知，
所以是直线与所成角，
由于三角形是等边三角形，所以，
即直线与所成角的大小为.
故选：B
9．B
【分析】对于①④，利用线面垂直的性质即可判断真假；对于②，利用线面垂直性质以及线面的位置关系即可判定真假；对于③，利用线面垂直判定定理即可判断命题真假.
【详解】由线面垂直的性质知①④正确．
②中b可能满足，故②错误．
③中b与可能斜交，也可能平行，还可能在内，故③不正确．
故选:B．
10．D
【解析】根据平面的表示方法判断．
【详解】③中不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.
故选：D.
11．D
【解析】根据已知条件判断、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断、的位置关系，可判断B选项的正误；根据已知条件判断、的位置关系，可判断C选项的正误；对于D选项，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A选项错误；
对于B选项，若，，，则、平行或相交，B选项错误；
对于C选项，若，，则或，C选项错误；
对于D选项，如下图所示；
设，由于，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得，
，，
，，则，，D选项正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
12．C
【分析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.
【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，
则EF∥AB，∠DFE即为所求，
设，在正三棱锥中，，
故，
∴，
∴，即异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
13．4
【分析】根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即可得解.
【详解】两个平面的位置关系有平行和相交两种，
当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，
当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，
所以两个平面最多可以将空间分为4部分.
故答案为：4
14． 1 1
【分析】利用异面直线间的距离求解.
【详解】在正方体中，，
所以是直线AB和的公垂线，
所以直线AB和的距离为1，
，
所以是直线和的公垂线，
所以直线和的距离为1；
，
所以是直线和的公垂线，
所以直线和的距离为；
故答案为：1，1，
15．45°或135°##135°或45°
【分析】根据等角定理即可得到答案.
【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
16．
【分析】根据题意，证得且，得到为异面直线与的公垂线，即可求解.
【详解】如图所示，在正方体中，
可得平面，平面，
因为平面，平面，
所以且，
所以为异面直线与的公垂线，
又由正方体的棱长为，可得，
所以异面直线与的距离为.
故答案为：.
17．
【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状，再求周长的最小值即可.
【详解】
当P点靠近C或与C重合时，
确定的平面，因为平面，所以，同理，
所以四边形是平行四边形，平面就是截面，
设，则，
所以，，
，
可以看作到和距离的最小值， 关于x轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，由勾股定理的，所以周长的最小值为，
当P点靠近或与重合时，
确定的平面，因为平面，所以，同理，
所以四边形是平行四边形，平面就是截面，
设，则，
所以，，
证法同上，所以周长的最小值为，
综上所述，所以周长的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质及截面周长的求法，还考查了空间想象力和运算求解的能力.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，可得，再证明四边形为平行四边形，得，从而得；（2）根据等角定理证明即可.
【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接EF，BD，，易得，再由，得到证明；．
（2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证平面，平面即可.
（1）
如图，
连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
（2）
∵，且，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵直线BE，直线平面，
∴平面，
∵直线DF，直线平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三线共点．
20．．
【分析】先求出，再求出，从而得到，最后根据侧面积公式计算即可.
【详解】如图，作于，连接．
根据题意，得为与底面所成角，．
在中，易知是正三角形，
且有，，，．
因此在等腰Rt中，，
所以，．
则．
21．作图见解析
【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线.
【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
如图．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意利用中位线定理，平行线分线段成比例逆定理和平行公理，可得，再根据公理2的推论即得证；
（2）由（1）知且，所以EH与FG交于一点P，只需再证明点P在直线BD上，即可证出．
【详解】
（1）如图所示，连接EF，HG，
空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，
∴且．
又，∴且．
故，即E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）知且，
∴设EH与FG交于点P，
∵平面ABD，P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面平面，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
【点睛】本题主要考查中位线定理，平行线分线段成比例逆定理，以及公理2，3，4的应用，意在考查学生的推理论证能力，属于中档题．
23．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）连接，在上取一点G，使，通过证明与与平行且相等得平行四边形，证得共面；
（2）以为底，则高等于，由此易计算出体积．
【详解】（1）证明：连接，在上取一点G，使，连接
∵且
∴四边形是平行四边形
∴且
又∵且
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又∵且
∴四边形是平行四边形
∴
∴
即E，D，F，四点共面
（2）解：∵
∴
∴
点E到面的距离
∴．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点共面，考查求棱锥的体积，共面问题的证明要用平面的公理或其三个推论，符合其中之一即可．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的底面与顶点可以转换，三棱锥的任一个面都可以作为底面，只要高易求即可．
