信阳市高中2024届高三下学期二模模测试（十）
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点和上顶点分别为，，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点．若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，满足，，则等于
A．10 B．11 C．12 D．13
4．函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为
A．16 B．24 C．32 D．48
6．对于正数a，b，有，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数有两个极值点p，q，若，则
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如下，与其交于，两点．若，则
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则所剩下的数据的A．平均数不变 B．中位数不变 C．标准差不变 D．极差不变
10．若的三个内角，，的正弦值为，，，则
A．，，一定能构成三角形的三条边
B．，，一定能构成三角形的三条边
C．，，一定能构成三角形的三条边
D．，，一定能构成三角形的三条边
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右顶点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，切点为．则
A．双曲线的离心率为
B．当直线与双曲线的一条渐近线重合时，直线过双曲线的一个焦点
C．当直线与双曲线的一条渐近线平行时，若直线与双曲线的交点为Q，则
D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，与双曲线分别交于两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设为复数的共轭复数，若复数满足，则 ．
13．设函数（且在区间单调递减，则的取值范围是 ．
14．已知为的外心，，，当最大时，边上的中线长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．
（1）若米，求长；
（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点，的位置，并求的最小值．
16．（15分）
在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示．
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？
17．（15分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，设，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，平面与平面的夹角的余弦值最大．
18．（17分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，例如：点，点，因为，所以点与点的“切比雪夫距离”为，记为．
（1）已知点，为轴上的一个动点，
①若，写出点的坐标；
②直接写出的最小值．
（2）求证：对任意三点，都有；
（3）定点，动点满足，若动点所在的曲线所围成图形的面积是36，求的值．
信阳市高中2024届高三下学期二模模测试（十）
数学答案
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D
9．ABD 10．AC 11．ABD
12． 13． 14．
7．D
【详解】依题意，，则，
因为，所以，显然，，两式相除得，则，
代入中，解得，则．
8．D
【详解】设，，则由，得，
由，得或，，
由图可知，，即，
所以．
10．AC
【解析】：
对于A，由正弦定理得，
所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，故A正确，
对于B，由正弦定理得，
例如：、、，则，
，，作为三条线段的长不能构成三角形，故B不正确；
对于C，由正弦定理可得，不妨设，则，故，
且，
所以，故C正确．
对于D，由正弦定理得，
例如，，，则，，，
由于，，，故不能构成三角形的三条边长，故D不正确，
故选：AC．
11．ABD
【详解】
A选项，由，，，可得双曲线C的离率为，故A选项正确；
B选项，双曲线C的渐近线方程为．
由对称性，不妨设直线l与渐近线重合，点P位于第四象限，
记直线l与x轴的交点为T，由直线的倾斜角为，有，
又由，可得．又由，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确；
C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性，
不妨设直线l的方程为（其中），有，可得，
直线l的方程为，联立方程，解方程组可得点Q的坐标为．可得，故C选项错误；
对于D选项，设点P的坐标为，可得直线l的方程为．其中．
联立方程，解得，
联立方程，解得，
可得线段DE的中点的横坐标为，联立方程，
消去y后整理为，
可得线段MN的中点的横坐标为，
可得线段DE和MN的中点相同，故有，故D项选项正确．
故选：ABD．
14．【解析】取AC中点D，连接OD、BD，则，
则，
所以，即，又，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时角C最大，
此时，，
所以AB边上中线长为．故答案为：．
15．【答案】（1）米；（2）当米时，MN的最小值为米．
【详解】解：
（1）由，，
设，则，
∴，即AN的长为．
（2）设，，
在△AMN中由余弦定理可得，
又，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等号；
即当M，N分别在AB，AC上距离A点米时，MN距离最小，最小值为．
16．【答案】（1）甲班 （2），
【详解】
（1）由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高．
（2）由图可知，甲班有的学生分数低于128分；乙班有的分数低于128分
设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A”，“该同学分数低于128分为事件B”，则，，，，
∴
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，．
17．【答案】（1）证明见解析 （2）当值时，平面与平面DEF的夹角的余弦值最大．
【解析】
（1）证明：因为直三棱柱，底面ABC，
又因为底面ABC，所以．
因为，且，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
所以AB，BC，两两垂直，
以B为原点，以BA，BC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，，，，
又由，则，所以，，
因为，所以，即．
（2）解：因为平面，可得平面的一个法向量，
由，，
设平面DEF的法向量，则，
取，可得，，所以，
设平面与平面DEF夹角为，
则，
当时，取最小值为，此时取最大值为．
即当值时，平面与平面DEF的夹角的余弦值最大．
18．【答案】（1） （2）
【详解】
（1）∵的定义域为
∴当时，，
令，．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，
则不等式的解集为．
（2）时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
当时，，由，
则在上单调递减，
当时，，由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，即，
综上所述，实数a的取值范围为．
19．【答案】（1）①；② （2）证明见解析 （3）
【详解】
（2）（1）①；②；
（2）设，，，
则
，
同理可得，，
所以；
故对任意三点A，B，C，都有．
（3）设轨迹上动点，则，
等价于或，
所以点P的轨迹是以为中心，边长为2r的正方形，
故点P所在曲线所围成的图形的面积为，所以，
所以．
