2022~2023学年四川绵阳高二下学期期末理科数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、命题 “ ”，则 p为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用 表示第一次摸得黑球， 表示第二次摸得黑
球，则 与 是（ ）
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
4、 的展开式中， 项的系数为（ ）
A.
B.1
C.6
D.12
5、函数 的大致图像为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、若函数 ，则“ ”是“函数 在 上为减函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7、已知命题 ：随机变量 的方差 ，则 ：命题 ：已知两个不同平面 的法向量分别为
，若 ，则 ．则下列命题中的真命题是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、第31届世界大学生夏季运动会，将于2023年7月28日在成都举办，是中国西部第一次举办世界性综合运动
会．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻译志愿者去参加A，B，C，D，E，五个场馆的服务工作，每人服务一
个场馆且每个场馆需要一人．由于特殊原因甲不去A场馆，乙不去 场馆，则不同的安排方法有（ ）
A.120种
B.96种
C.78种
D.48种
9、若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
10、在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， 为棱
上的一动点．则线段 长度的最小值为（ ）
A.3
B.
C.
D.
11、甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随
机选一个．事件 ：甲和乙选择的景点不同，事件 ：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率
（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知 ，使得 成立，其中 为常数且 ，则下列结论正确的
是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
14、若 ，则 ．（用数字作答）
15、过点 作曲线 的切线，则切线方程为 ．
16、已知函数 在 上为减函数，命题 为假命题，则
的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
某学校为筑牢校园安全防线，提升学生安全意识，举办了一次知识竞赛，以学生团队为单位参加比赛，每个团
队每题作答正确得 分，错误得 分，已知甲队回答题库中三类相关知识题目正确率如下表：
题目类别交通安全消防安全防溺水
正确率
(1)若甲队抽到交通安全、消防安全各一道题目，求甲队作答这两道题目后得分不低于 分的概率；
(2)已知甲队抽到 道题目，且类别均不相同，设甲队在作答完这 道题目后的总分为 ，求 的分布 列及数学期
望．
18、（本小题8分）
如图，二面角 的大小为 ，四边形 与 均为正方形， ，
，记 ．
(1)请用 表示 ，并求 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值 ．
19、（本小题8分）
已知函数 ，当 时， 取得极小值，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2) 讨论函数 在 的零点个数．
20、（本小题10分）
如图，在多面体ABCDE中，平面 平面 平面 和 均为正三角形，
，点 为棱 上一点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
21、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调性；
(2)若 在 上存在最小值 ，求实数 的取值范围．
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，其中 .
(1)求 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(2)直线 与曲线 交于A， 两点，且A， 两点 对应的极角分别为 ， ，求 的值.
23、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的 解集；
(2)若 的最小值为2，且 ，求 的最小值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
，所以复数 在复平面内对应的点为 ，在第二象限.
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
C
【分析】
根据全称命题的否定形式求解.
【详解】
命题 “ ”为全称命题，其否定为特称命题，
即 p： .
故选：C
3、
【答 案】
A
【分析】
通过题意可得 表示第二次摸到的不是黑球,
即 表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件 与 是相互独立事件，
由于 与 可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
因此正确答案为：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
求出 的通项，令 ，即可得出答案.
【详解】
的 通项为： ，
令 ，解得： ，则 项的系数为 .
故选：C.
5、
【答 案】
A
【分析】
函数 中， ，当 时, ,看图像知B有误；
函数 中， ，当 时, , 看图像知D有误；
解得 ，故 为函数的极值点，故C选项不符合，.D无误.
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
B
【分析】
由已知条件将问题转化为 在 上恒成立，求出 的范围.再由充分条件、必要条件的定义，判断即可
得解.
【详解 】
因为 在 上为减函数，所以 在 上恒成立.
即 在 上恒成立，解得 .
又 是 的必要不充分条件，所以 “ ”是“函数 在 上为减函数”的必要不充分条件.
故选：B.
7、
【答 案】
C
【分析】
根据方差的性质和面面垂直的向量证明可知命题 的真假性，根据含逻辑联结词的命题真假性的判断方法可得
到结果.
【详解】
命题 ： ，则命题 为假命题；
命题 ：由 可得 ， ，则命题 为真命题 ；
对于A， 为假命题，A错误；
对于B， 为假命题， 为假命题，B错误；
对于C， 为真命题， 为真命题，C正确；
对于D， 为假命题， 为假命题，D错误.
故选：C.
8、
【答 案】
C
【分析】
先进行5人全排列，再减五考虑将甲去A场馆，乙去B场馆，最后加回甲去A场馆，同时乙去B场馆，即可.
【详解】
先将五人 全排列放入五个场馆，共有 种方法，
再考虑将甲去A 场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
乙去B场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
而甲去A场馆，同时乙去B场馆，共有 种方法，
所以满足要求的方法有 种.
故选：C
9、
【答 案】
A
【分析】
求导后，将问题转化为 在 上有两个不同的零点，根据二次函数零点分布可构造不
等式组求得结果.
【详解】
由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，
有两个不同的极值点 ， 在 上有两个不同的零点，
，解得： .
故选：A.
10、
【答 案】
D
【分析】
利用数形结合，结合条件及三角形面积公式，即可求解.
【详解】
由题意可 知， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
，且 是菱形，所以 ，
，所以 ，
根据余弦定理， ，
则 ,
所以 ，
当 时， 最短，此时
即 ，得 .
所以线段 长度的最小值为 .
故选：D
11、
【答 案】
A
【分析】
先利用古典概率公式求出 和 的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】
由题知， ， ，
所以 ，
故选：A.
12、
【答案 】
C
【分析】
取 ，对 求导，得到 的单调性，则 可判断A，B；将题意转化为
，对 求导，得到 的单调性和最值，即可判断C，D.
【详解】
取 ，
则 ， ，令 ，
解得： ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，成立，
此时 ， ，故A，B错误；
，使得 成立，即证明 ，
， ，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 ，故C正确；D错误.
故选：C.
【点睛】
方法点睛： 本题的解题关键是将题意转化为 ，对 求导，得到 的单调性，即可求出
，即可得证.
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
先求出复数 ，然后直接根据复数模的定义求解即可.
【详解】
由于 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
分别令 和 ，所得两式作差即可整理得到结果.
【详解】
令 ， 则 ；
令 ，则 ，
两式作差得： ， .
故答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两
者相等即可求出切点的横坐标，代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据点斜式写出切线方程
即可.
【详解 】
因为点 不在曲线上，设切点 ，且 ，则 ，①
又 ，则切线斜率为 ，②
由①②解得 ， ，所以 ，切线的斜率为 ，
切线方程为 ，即 .
故答案为： .
16、
【答 案】
2
【分析】
根据给出的函数得到 ＜ ， ＜ ，进而得到 ，然后利用放缩法验证 不符合题意，进
而得到答案.
【详解】
因为函数 在 上为减函数，且 ＜ ＜ ＜ ＜ ，
所以 ＜ ， ＜ ，
即 ＜ ， ＜ ，
所以 ＜ ，
所以 ，即 时，一定满足题意，
此时由 知， 的最大值为2；
下验证 不符合题意，
如图：在直角坐标系中作出单位圆， ， 的终边与单位圆交于P，
的正弦线为有向线段MP，则 ，
因为 ，
扇形 ，又 扇形 .
所以 ，即 ．
所以 ，
即 时原命题为真命题，不符合.
故答案为：2
【点睛】
方法点睛： 本题考查三角函数的综合问题.三角函数问题要善用数形结合的方法，通过已知条件的转化进而求解
答案.
．
三、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)分布列见解析；数学期望
【分析】
（1）得分不低于 分有两题全对和两题一对一错的情况，根据概率加法和独立事件概率乘法公式可计算得到结
果；
（2） 确定 所有可能的取值，结合独立事件概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据
数学期望计算公式可求得期望值.
【详解】
（1）设答 对交通安全题目、答对消防安全题目的事件分别为 ， ，两道题目回答得分不低于 分的事件为
，
则 ，
该队两道题目回答得分不低于 分的概率为 .
（2）由题意知： 所有可能的取值为 ，
； ；
； ；
则 的分布列为：
数学期望 .
18、
【答 案】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）利用向量的线性运算表示 ，然后利用向量数量积的公式求出 即可；
（2）利用向量的模长公式求出 ，然后利用向量数量积的公式求出两个向量夹角的余弦值即可.
【详解】
（1）由已知得： ，
，
∴ ，
∴
（2）四边形 与 均为正方形，平面 平面 ,
所以 即二面角 的大小为 ，且
∴ ，
∴ ， = = = ，
∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为 ．
19、
【答 案】
(1)
(2)见解析
【分析】
（1）首先求函数的导数，代入 和 ，即可求解；
（2）首先求函数 的零点，再讨论 的取值，结合函数在区间上的单调 性，即可讨论函数的零点个数.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
∵ 时， 有极小值，
∴ ，即 ，即 .
当 时， ，令 ，即 ，
令 ，即 或 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 处取得极小值，符合题目条件.
又 ，所以 ，
∴ .
（2）由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递
减，
令 ，得 ， ，
①当 时，则 在 上单调 递增， ，
∴ 在 上无零点；
②当 时，则 ，则 在 上仅有一个零点，
③当 时， 在 上单调递减， ，
∴ 在 上有两个零点；
综上所述，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上仅有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点．
20、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）直接利用直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，进而可求解.
【详解】
（1）取A C中点O，连接DO、OB，
在正△ACD和正△ABC中， ，
∴ ， ， ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，而 ．
∴四边形 是平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由（1）知，O B，OC，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则 ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
显然平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
，
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
21、
【答案 】
(1) 在 ， 上单调递增
(2)
【分析】
（1）求导后，令 ，再利用导数可求得 ，由此可确定 ，进而得到
单调性；
（2）求导后，令 ，求得 后，分别在 和 的情况
下，根据 的正负确定 单调性，并得到 的零点，由此可得 正负，从而得到 单调性，根据
函数有最小值可确定符合题意的 的取值范围.
【详解】
（1）由题意知： 的定义域为 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
恒成立， 在 ， 上单调递增.
（2）当 时， ；
令 ，
则 ，
①当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
，即 ， 在 上单调递增，
此时 在 上不存在最小值，不合题意；
②当 时，若 ， ；若 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增；
， 在 上单调递增，
令 ，则 ， 在 上单调递减；
e 在 上单调递增，
e
，
，使得 ，
且当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 存在最小值；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛 ：本题考查利用导数研究函数的单调性、根据函数有最值求解参数范围的问题；根据函数有最值求
解参数范围的关键是能够将问题转化为对于含参数函数单调性的讨论问题，通过单调性和极值、最值的关系可
确定符合题意的参数取值范围.
22、
【答 案】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；
（2）先将 的极坐标方程写出，再与 联立解方程 ，由图 象分析即可得出结果.
【详解】
（1）由 得 ，
消去 得 为 的普通方程；
由 ，得 ，
令 ， ，得 为直线 的直角坐标方程.
（2）在 中，令 ， ，
所以 ，即 为 的极坐标方程，
联立 得 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 或 或 或 ，解得 或 或 或 ，
由图可知，两交点位于第一、四象限，所以 或 ，
所以 .
23、
【答 案】
(1)
(2)9
【分析】
（1）当 时， 等价于 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2） ，
当且仅当 等号成立，
，即 ，
， ，
，
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最小值为9
