2022~2023学年陕西榆林高二下学期期末数学试卷(过程性评价质量检测)
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的实部为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
3、已知向量 ，若 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-3 B． C．3 D．1
4、已知数据 是某市 个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入
和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（ ）
A.平均数
B.中位数
C.方差
D.极差
5、把函数 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移 个单位
长度，得到 的图像，则 （ ）
A． B． C． D．
6、已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若 到直线 的距离为7，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7、设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
8、圆 上的点到直线 的最大距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
9、如图，在长方体 中，四边形 是边长为1的正方形， ，则该长方体的外
接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
10、设 是两条直线， 是两个平面，若 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． 是两条异面直线 D．
11、甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是 和 ，在这个问题
已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 的图像与 轴有且仅有两个交点，则实数 的值是（ ）
A． B． C．-1 D．0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在等差数列 中， ，则 .
14、若函数 为奇函数，则实数 .
15、若实数 满足约束条件 则 的最小值是 .
16、已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
如图，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点， 是 与 的交点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
18、（本小题8分）
某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用
分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分~950分之间，将分数不低于750分的学生称
为“高分选手”，已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.
(1)试完成下面列联表；
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
(2)判断是否有 的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
参考公式： ，其中 .
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19、（本小题8分）
在 中，角 的对边分别是 ，满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
20、（本小题10分）
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
21、（本小题12分）
已知椭圆 的焦距为2，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 ，求实数 的值.
22、（本小题12分）
平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 .
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)设射线 与曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，求 的值.
23、（本小题12分）
设函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，求证： .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
根据并集的定义计算可得.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：D
2、
【答 案】
A
【分析】
略
3、
【答 案】
C
【分析】
略
4、
【答 案】
B
【分析】
根据平均数、中位数、方差、极差定义理解即可.
【详解】
由中位数 的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.
故选：B.
5、
【答 案】
A
【分析】
略
6、
【答 案】
B
【分析】
略
7、
【答 案】
D
【分析】
略
8、
【答 案】
C
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.
【详解】
圆 化为标准方程得 ，
圆心坐标为 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为
所以圆上的点到直线 的最大距离为 .
故选:C.
9、
【答 案】
D
【分析】
略
10、
【答 案】
B
【分析】
略
11、
【答 案】
D
【分析】
设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，
则 ， ，故
，
所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：
.
因此正确答案为：D
12、
【答 案】
A
【分析】
略
二、填空题
13、
【答 案】
30
【分析】
略
14、
【答案 】
-1
【分析】
略
15、
【答案 】
-6
【分析】
略
16、
【答 案】
【分析】
略
三、解答题
17、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】
解：（1） 是 与 的交点， 是 的中点，
又 是棱 的中点， ，
又 平面 平面 ，
平面 .
（2） .
18、
【答 案】
(1)列联表见解析
(2)有 的把握 认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关
【分析】
【详解】
解：（1） 由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联
表：
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
（2） ，
有 的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.
19、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
【详解】
解：（1） ，
，
又 ，
，
.
（2）由（1）可知 ，
根据余弦定理 ，即 ，
即 ，即 ，
又 ，则 ，即 ，
的面积 .
20、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
【详解】
解：（1）由 ，得 ，
曲线 在点 处的切线与 轴平行，
，解得 .
（2） 在区间 上是减 函数，
，则 在区间 上恒成立，
当 时， ，
实数 的取值范围是 .
21、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
【详解】
解：（1）依题意有 解得 .
椭圆 的方程为 .
（2）联立 消去 得 ，
由 ，解得 .
设 ，
则 ，
，
.
，
即 ，
解得 （经检验符合题意）.
22、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
【详解】
解：（1）由曲线C的参数方程 （ 为参数），
消去参数 可得 ，即 ，
根据
可得曲线 的极坐标方程为 .
（2）设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ，
将 代入曲线 的极坐标方程可得 ，
又 ，解得 .
将 代入直线 的极坐标方程可得 ，解得 ，
.
23、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】
解：（1）
又 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解.
不等式 的解集为 .
（2）证明：若 ，
则 ；
若 ，则 .
，
又由（1）易知 ，
成立.
