第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1.关于菱形的性质，下列说法错误的是( )
A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
3.若一菱形的对角线长分别为2与5，则该菱形的面积为( )
A.2 B.5 C.10 D.20
4.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO.若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为( )
A.50° B.55° C.65° D.75°
5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4.若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为( )
A.4 B.4 C.8 D.8
6.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2.若P为对角线BD上一个动点，则EP＋FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
二、填空题
8.若菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且OA＝2，BD＝3，则菱形ABCD的面积为 .
9.在菱形ABCD中，对角线AC＝12，菱形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为 .
10.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是 .
11.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为 .
三、解答题
12.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF.
13.如图，在菱形ABCD中，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，EF＝2，FG＝4，求菱形ABCD的面积.
14.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F.
(1)求证：EO＝DC；
(2)若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求菱形ABCD的面积.
15.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
7
参考答案
一、选择题
1.关于菱形的性质，下列说法错误的是( B )
A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( C )
A.20° B.60° C.70° D.80°
3.若一菱形的对角线长分别为2与5，则该菱形的面积为( B )
A.2 B.5 C.10 D.20
4.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO.若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为( C )
A.50° B.55° C.65° D.75°
5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4.若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为( C )
A.4 B.4 C.8 D.8
6.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2.若P为对角线BD上一个动点，则EP＋FP的最小值为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( A )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
【解析】如图，连接BD，AC.由题意及菱形的性质证得△BEF，
△DHG，△OEH和△OFG均为等边三角形，由AB＝2，∠A＝120°，可求得BE＝EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长为3＋.
二、填空题
8.若菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且OA＝2，BD＝3，则菱形ABCD的面积为 .
【答案】6
9.在菱形ABCD中，对角线AC＝12，菱形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为 .
【答案】8
10.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是 .
【答案】 (3，－1)
11.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为 .
提示：连接CM，则CM－MN≤CN，当且仅当C，N，M三点共线时取等号，即CN取得最小值.
【答案】2－1
三、解答题
12.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠DCA.
∵∠ADF＝∠CDE，∴∠ADE＝∠CDF.
易证△DAE≌△DCF，∴AE＝CF.
13.如图，在菱形ABCD中，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，EF＝2，FG＝4，求菱形ABCD的面积.
解：连接BD，AC.
∵E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，
∴AC＝2EF＝4，BD＝2FG＝8.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝·BD＝×4×8＝16.
14.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F.
(1)求证：EO＝DC；
(2)若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求菱形ABCD的面积.
解：(1)∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，AB＝DC，
∴四边形AEBO是矩形，∴EO＝AB，
∴EO＝DC.
(2)菱形ABCD的面积为50.
15.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
解：(1)连接BD.
易证△ABM≌△DBN，
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD.
∵∠MBA＋∠DBM＝∠ABD＝60°，
∴∠NBD＋∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，
∴无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形.
(2)由(1)知△BMN为等边三角形，
∴S△BMN＝2.
∵当BM⊥AD时，BM最小，
此时，BM＝，则S△BMN＝，
∴△BMN面积的最小值为.
