成都十八中初2021级3月月考数学试题
时间120分钟 总分150分
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 年前三季度，成都市的约为亿元，将数据用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法，不正确的是（）
A. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
6. 如图，内接于圆O，圆O的半径是6，，于点D，则线段的长度是（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 方程根为，
C. 当时，随值的增大而减小 D. 当时，
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 分解因式：2a3﹣8a=________．
10. 在平面直角坐标系中，若正比例函数的图象经过第一、三象限，则n的取值范围是________．
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以原点为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为______ ．
12. 分式方程的解为 ___________．
13. 如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则____________．
三、解答题（共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
15. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次参加课后延时服务的学生人数；
（2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
16. 数学兴趣小组测量建筑物的高度．如图，在建筑物前方搭建高台进行测量．高台到的距离为米，在高台顶端D处测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．
（参考数据：，，，）
17. 如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求线段的长度．
18. 如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．
（1）求b和k；
（2）C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；
（3）我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若，则值是______ ．
20. 如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形中，，则这个点落在阴影部分的概率为_____．
21. 如图，在平面直角坐标系中，，以P为圆心作圆P，交x轴于点、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则____________；
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．
23. 如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是____________．
二、解答题（共30分）
24. 某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25. 在平面直角坐标系中，直线l：（）与抛物线相交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）如图1，若A、B两点的横坐标分别是，2，求直线l的关系式；
（2）如图2，若直线l与y轴的交点，且点B是线段中点，求k的值；
（3）如图3，若直线l运动过程中，始终有，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
26. 已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
（1）如图1，若，，，求线段的长度；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，连接，若，，，求的长度．成都十八中初2021级3月月考数学试题
时间120分钟 总分150分
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义可知．
【详解】解：3的倒数是，
故选：C
【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图，由此观察图形进一步得出答案即可.
【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为：
故选：A.
【点睛】本题主要考查了左视图判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
3. 年的前三季度，成都市的约为亿元，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式，熟练掌握合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式是解题的关键．
5. 下列说法，不正确的是（）
A. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解决本题的关键是区分以上四边形的判定方法．根据正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C选项不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，内接于圆O，圆O的半径是6，，于点D，则线段的长度是（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，然后利用垂径定理可得，，最后在中，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理，进行计算求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
则
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理及垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵，
依题意，得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 方程的根为，
C. 当时，随值的增大而减小 D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：、根据图象可知，图象与轴的交点在正半轴上，则有，此选项判断错误，不符合题意；
、根据图象可知，图象与轴的交点为，，当时，的根为，，此选项判断错误，不符合题意；
、根据图象可知，当时，随值的增大而减小，此选项判断正确，符合题意；
、根据图象可知，当时，，此选项判断错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 分解因式：2a3﹣8a=________．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】．
10. 在平面直角坐标系中，若正比例函数的图象经过第一、三象限，则n的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由正比例函数的图象经过第一、三象限，利用正比例函数的性质，可得出，解之即可得出n的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，
解得：，
∴n的取值范围是.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以原点为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以原点为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，的坐标为，
点的对应点的坐标为，，即，
故答案为：．
12. 分式方程的解为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
或，
检验：把x=3代入，
把代入（舍去），
∴原分式方程的解为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程和用因式分解法解一元二次方程，解分式方程基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13. 如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则____________．
【答案】##121度
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据四边形是菱形， ，得到，结合得，根据补角定义计算即可．
【详解】∵四边形是菱形， ，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数运算的运算法则．
（1）先算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、去绝对值，然后计算乘法，再算加减即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
15. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次参加课后延时服务的学生人数；
（2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数；
（3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）80 （2）图形见解析；
（3）树状图见解析；所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图；
（1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数．
（2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）．
【小问2详解】
参加组的人数为（名）．
补全条形统计图如图所示．
扇形统计图中的的度数是．
【小问3详解】
设组的1名男生和1名女生分别记为组的2名男生和1名女生分别记为．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，共3种，
所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
16. 数学兴趣小组测量建筑物的高度．如图，在建筑物前方搭建高台进行测量．高台到的距离为米，在高台顶端D处测得点A的仰角为，测得点B的俯角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】25米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点D作于点E，由题意可知米，，，从而结合锐角三角函数可求出米，
米，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∴四边形为矩形，
∴米．
由题意可知，，
∴米，
米，
∴米．
17. 如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由为的直径，得，由点E是边的中点，得，则，所以，即可证明直线是的切线；
（2）先证明，则，所以，由勾股定理得，则，再证明，得，则，于是得，即可求得．
【小问1详解】
连接，则，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴线段的长度是．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，见交点证垂直；等边对等角；相似三角形对应边成比例，勾股定理．
18. 如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．
（1）求b和k；
（2）C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；
（3）我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）（，0）或（，0）或（，0）或（，0）
【解析】
【分析】（1）采用待定系数法计算即可求出．
（2）设出C点坐标，结合平行四边形性质，表示出D点坐标，再代入到反比例函数中即可求出．
（3）判定出，根据对应边成比例，再结合，解出数值即可．
【小问1详解】
解：将点B的坐标代入一次函数表达式得：，则，
则一次函数的表达式为：；
将点A的坐标代入上式得：，则，
即点A，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为：，
即，．
【小问2详解】
设点C，
∵四边形为平行四边形，
∴CD＝OB＝2，点C与点D的纵坐标相同，
则点D（m﹣2，m﹣2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：或（舍），
故点C的坐标为：．
【小问3详解】
设点Q，P
如图所示，分别过点A、Q作x轴的垂线M、N，
∵是直角三角形的斜边，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵直角边比为1：2，则上述两个三角形的相似比为或2，
即，即＝2或，
又
解得：或
即点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数，相似三角形，平行四边形的性质等知识点，灵活运用以上知识点解决综合题是解题的关键．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若，则的值是______ ．
【答案】26
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，将原式利用平方差公式进行变形是解题的关键．将原式先利用平方差公式变形后代入已知数据计算，然后再将结果变形后代入已知数据计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
20. 如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形中，，则这个点落在阴影部分的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，即可得出大正方形的面积，再求得阴影部分面积，根据概率公式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴大正方形的面积为25，
∴阴影部分的面积为，
∴这个点落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，几何概率，熟练掌握勾股定理与概率公式求概率是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，，以P为圆心作圆P，交x轴于点、B，交y轴于点C、D，点M为上任一点（不与C、D重合），则____________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形及圆周角定理应用，作直径,连接，则，根据，点，得到圆的半径，，结合，得到，继而得到，利用特殊角的函数值计算即可．
【详解】作直径，连接，则，，
∵，点，
∴圆的半径，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，勾股定理，锐角三角函数；根据二次函数，可以求得点、点，然后根据勾股定理即，过点C作于点F，根据三角函数计算,结合，利用正切计算即可；能熟练利用三角函数解题，结合数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【详解】∵，
∴点、点，
∴，，
过点C作于点F，
∵
∴,
∵，，
∴，
∴,
∴,
∴,
故答案为：．
23. 如图，已知四边形是矩形，，点E是线段上一个动点，分别以、为边向线段的下方作正方形、正方形，连接，过点B作直线的垂线，垂足是J，连接，求点E运动过程中，线段的最大值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题由矩形的性质和,得到四点共圆，推出为直径时最大，分析动点E的运动轨迹，当最大时，即时，最大，利用勾股定理求出直径的最大值后即可求出答案．本题考查了圆的相关知识点的应用，还有矩形及正方形的性质，以及勾股定理，解题关键是圆的内接四边形的性质的应用及对动点的分析．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴,
∴四点共圆，
如图所示，当为直径时最大，
连接，
当最大时，即时，最大，
，
此时的最大值为，
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24. 某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）
（2）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利2000元
【解析】
【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式，
把，分别代入
得 ，解得
【小问2详解】
解：设该公司日获利润为元，
（或）
,
抛物线开口向下
当时，随的增大而增大
当时，有最大值
答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利2000元
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
25. 在平面直角坐标系中，直线l：（）与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）
（1）如图1，若A、B两点的横坐标分别是，2，求直线l的关系式；
（2）如图2，若直线l与y轴的交点，且点B是线段中点，求k的值；
（3）如图3，若直线l运动过程中，始终有，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在定点，且为
【解析】
【分析】（1）把A、B两点的横坐标，2，分别代入解析式，确定，根据直线l的关系式为，代入解答即可；
（2）设点，结合点，且点B是线段中点，得到，根据点B在抛物线上，代入计算即可；
（3）设，则是方程的两个根，得到，结合始终有，利用勾股定理列式计算即可．
【小问1详解】
把A、B两点的横坐标，2，分别代入解析式，
得，
∴，
解得，
故直线l的解析式为．
【小问2详解】
设点，
∵点，且点B是线段中点，
∴，
∵点B在抛物线上，
∴，
解得（舍去），
故，
∴，
解得，
故．
【小问3详解】
设，则是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴，
解得，
故直线的解析式为，
故不论直线如何运动，一定都经过点，是定点．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，勾股定理，两点间距离公式，根与系数关系定理，熟练掌握抛物线性质，公式，根与系数关系定理是解题的关键．
26. 已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
（1）如图1，若，，，求线段的长度；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，连接，若，，，求的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据得出，再证明，根据相似三角形的性质即可进行解答；
（2）根据矩形的性质可得，得出，进而得出，则，即可得出结论；
（3）过点A作于点H，过点P作于点N，交于点M，设，则，得出，根据，得出，进而得出，则，证明根据，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，整理得：，
∴，
解得：．
【小问3详解】
解：过点A作于点H，过点P作于点N，交于点M，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都为直角，相似三角形对应边成比例．
