专题07 带电粒子在复合场中的运动
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力。针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心。
题型一、.借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题
1．正确区分“电偏转”和“磁偏转”
带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2
2.基本思路
题型二、利用粒子加速器考电加速磁偏转问题
解决带电粒子在加速器中的常用知识：
(1)加速电场：qU＝mv2。
(2)偏转磁场：qvB＝，由以上两式可得r＝
题型三、带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．
(2)若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
3．分析
1．（2024 广州一模）如图，在棱长为的正方体区域的右侧面，以中心为原点建立直角坐标系，轴平行于正方体底面。该区域内加有方向均沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场和磁感应强度大小为的匀强磁场，若电量为、质量为的正离子以某一速度正对点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。
（1）若正离子从右侧面坐标为，的点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量；
（2）若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由。
【答案】（1）若正离子从右侧面坐标为，的点射出，则正离子通过该区域过程的动能增量为；
（2）若撤去电场只保留磁场，入射速度的正离子能从右侧面射出，出射点坐标为。
【解答】解：（1）从入射到出射，只有正方向的电场力对正离子做功，由动能定理可得此过程动能增量为
△；
（2）若只存在磁场，正离子只往方向偏转，设正离子在区域内圆周运动半径为，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
代入速度解得
假设能从右侧面射出，坐标为，轨迹如图所示
由几何关系可得
联立解得
，故假设成立，正离子能从右侧面射出，出射点的位置坐标为。
答：（1）若正离子从右侧面坐标为，的点射出，则正离子通过该区域过程的动能增量为；
（2）若撤去电场只保留磁场，入射速度的正离子能从右侧面射出，出射点坐标为。
2．（2024 重庆模拟）如题图所示，两个相同的光滑弹性竖直挡板、固定在纸面内，平行正对且相距足够远，矩形区域内（含边界）充满竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。紧邻板右侧有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁场右边界为半圆，圆心为板的中点。现有一带负电小球在纸面内从点射入磁场，速度大小为、方向与的夹角为，恰好能在磁场中做匀速圆周运动，且第一次飞出磁场时速度恰好水平。已知重力加速度为，，，该小球可视为质点且电荷量保持不变，挡板厚度不计，忽略边界效应。该小球每次与挡板（含端点）碰撞后瞬时，水平速度大小不变、方向反向，竖直速度不变。
（1）求该小球第一次与板碰撞前在磁场中运动的路程；
（2）求该匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若该小球能通过点，求的大小，以及该小球第二次离开矩形区域前运动的总时间。
【答案】（1）该小球第一次与板碰撞前在磁场中运动的路程为；
（2）该匀强磁场的磁感应强度大小为；
（3）的大小为，或，该小球第二次离开矩形区域前运动的总时间为，或。
【解答】解：（1）根据题意画出小球第一次与板碰撞前的运动轨迹如下图所示
设小球在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由几何关系得：
解得：
由图中几何关系可知，所求路程为两端圆弧轨迹的总长为：
（2）小球恰好能在磁场中做匀速圆周运动，需要电场力与重力平衡，则有：
由洛伦兹力提供向心力得：
联立解得：
（3）情况①：由，可知当时，小球在磁场中先后做两段圆周运动可通过点，且在点沿方向离开矩形区域，再由点回到该区域，沿边界匀速向下运动边界处无磁场），最终从点离开，此情况小球的运动轨迹如下图所示
设小球在磁场中运动的时间为，则有：
设小球在电场中水平方向做匀速直线运动的总时间为，则有：
小球从点离开后再次回到点经过的时间为：
小球从点匀速运动到点经过的时间为：
此情况小球第二次离开矩形区域前运动的总时间为：
联立解得：
情况②：当时，由“与相距足够远”可知，要使小球能通过点，小球第一次与板碰撞后，再次飞出磁场时，速度方向也应该水平，则小球在磁场中的运动轨迹如下图所示
由几何关系可知：，解得：，即
当时，小球第二次离开矩形区域前的运动轨迹如下图所示，最终从点离开。
设小球在磁场中运动的时间为，则有
小球在水平方向做匀速直线运动的总时间为，则有：
小球从点离开后，从上点再次进入矩形区域时，此过程经过的时间为：
该小球从上点再次进入矩形区域时，到点的水平距离为：
已知：，可得：，可知该小球再次进入矩形区域后，不会进入磁场区域，将沿斜向右下方做匀速直线运动，且速度大小仍为，方向与水平方向夹角仍为，该过程中小球做匀速直线运动的时间为：
此情况小球第二次离开矩形区域前运动的总时间为：
联立解得：
答：（1）该小球第一次与板碰撞前在磁场中运动的路程为；
（2）该匀强磁场的磁感应强度大小为；
（3）的大小为，或，该小球第二次离开矩形区域前运动的总时间为，或。
3．（2024 苏州模拟）如图所示，在三维坐标系中，的空间内充满沿轴负方向的匀强电场，的空间内充满沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。甲粒子从坐标为，0，的点以速率沿轴正方向射出，甲粒子第一次到达轴时速度方向与轴正方向的夹角为。乙粒子从的空间点（未标出）以相等速率沿轴正方向射出。甲、乙两粒子均在第2次进入磁场后相遇，相遇点为各自轨迹的最低点。已知甲、乙粒子的质量均为，带电量均为，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）电场强度的大小；
（2）相遇时，甲粒子的运动时间；
（3）乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小；
（4）点的位置坐标。
【答案】（1）电场强度的大小为；
（2）相遇时，甲粒子的运动时间为；
（3）乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小为；
（4）点的位置坐标为标为，，。
【解答】解：（1）甲粒子在坐标平面内的运动轨迹如图所示：
粒子在第一象限内做类平抛运动，设运动时间为；
沿轴负方向，根据牛顿第二定律，粒子运动的加速度
运动点时的竖直速度
根据运动学公式
根据数学知识
代入数据联立解得场强
运动时间
甲粒子进入磁场时的速度大小
（2）粒子从点进入磁场后做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为，周期为
洛伦兹力提供向心力
代入数据解得圆周运动的半径
因此圆周运动的周期
根据数学知识，则
粒子做圆周运动的圆心角
根据对称性，粒子在点再次进入电场的速度方向轴正方向成角，粒子做类斜抛运动到点；
甲、乙两粒子均在第2次进入磁场后相遇，相遇点为各自轨迹的最低点，此时甲粒子在磁场中转过的圆心角为，运动时间；
相遇时，甲粒子的运动时间
（3）乙粒子沿轴正方向射入，在电场中做类平抛运动，沿轴负方向的加速度
乙粒子从点进入磁场后做螺旋运动，将速度沿轴方向和轴方向分解，沿轴方向做匀速直线运动，在平面内的磁场中做匀速圆周运动，再次进入电场后做类竖直上抛运动；
乙粒子在磁场在的部分运动轨迹如图所示：
根据向心力公式
由于甲、乙两粒子均在第2次进入磁场后的相遇点为各自轨迹的最低点，因此甲、乙两小球做匀速圆周运动的半径关系满足
因此乙粒子进入磁场时的沿轴负方向的分速度大小与甲粒子进入磁场时的速度大小关系为
设乙粒子进入磁场时与轴的夹角为
根据数学知识
解得
因此乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小；
（4）乙粒子第一次进入磁场时的竖直速度为
乙粒子在电场中沿轴负方向的加速度
设抛出点的竖直坐标为，根据运动学公式
代入数据解得
相遇时，乙粒子在轴方向运动的距离
相遇点在轴上，因此抛出点的坐标
根据等时性
乙粒子沿轴方向做匀速直线运动，运动距离
代入数据解得
因此抛出点的坐标
抛出点坐标为，，。
答：（1）电场强度的大小为；
（2）相遇时，甲粒子的运动时间为；
（3）乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小为；
（4）点的位置坐标为标为，，。
4．（2024 曲靖一模）如图所示，真空中位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为的同种正电荷，以不同的入射角为与轴正方向的夹角，且射入半径为的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与轴相切于点，所有电荷均在该磁场的作用下发生偏转，并全部沿轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿轴正方向的匀强电场，虚线刚好经过点为实线圆最右端的点）且顶点与点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场，点上方沿轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷的质量为，电荷量大小为，的距离为，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从点沿垂直轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
【答案】（1）圆形磁场磁感应强度为；方向垂直于纸面向里；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式为；
（3）粒子打在荧光屏上的坐标为
【解答】解：（1）根据几何关系可知电荷在实线圆内运动的半径也为，如图所示，有
解得
由左手定则可知，磁感应强度方向垂直于纸面向里。
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动且会聚在点，如图所示，设电荷进电场时位置的坐标为，故有
解得
点是虚线上一点，代入可解得
（3）设电荷从点射入第一象限的速度为，与轴的夹角为，如图所示，则
在第一象限内运动半径为
粒子被吸收的的位置为，由几何关系得
该点纵坐标为
该点横坐标为
即粒子打在荧光屏上的坐标为。
答：（1）圆形磁场磁感应强度为；方向垂直于纸面向里；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式为；
（3）粒子打在荧光屏上的坐标为
5．（2024 辽宁模拟）如图所示，真空室中轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在轴上，相邻两个圆相切，半径均为，磁感应强度均为。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为。现将一群质量均为、电荷量均为的带电粒子从坐标原点向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于轴方向发射的粒子），射出速度大小均为，不计粒子重力，则下列说法正确的是
A．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为
B．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为
C．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间不相同
D．所有被接收屏接收的粒子均从点沿轴正方向射出
【答案】
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
解得
可知粒子粒子的运动满足磁聚焦的条件，粒子每次出磁场时速度与轴平行，故粒子在电场中做匀变速直线运动，且最终从点沿着轴正方向打在接收屏上，其轨迹如图所示
根据牛顿第二定律得
粒子在电场中运动的时间
，故错误，正确；
粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场中运动时，在每个圆形磁场中轨迹的圆心角都为，故粒子在磁场中运动的总时间为
，故正确；
根据前面的分析可知，粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间
可知所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间相同，故错误；
故选：。
6．（2024 潍坊一模）现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为的正方体电磁区域，以棱中点为坐标原点建立三维坐标系，正方体电磁区域内充满沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，在点有一粒子源，沿轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为。已知速度大小为的粒子，恰从坐标点飞出（图中未标出），不计粒子的重力。求：
（1）磁感应强度大小；
（2）电场强度大小；
（3）从正方体上表面飞出的粒子速率范围。
【答案】（1）磁感应强度大小为；
（2）电场强度大小为；
（3）从正方体上表面飞出的粒子速率范围为。
【解答】解：（1）粒子在电磁场中的运动轨迹为螺旋线，其沿轴负方向的分运动为匀加速直线运动，在平行于平面的平面内的分运动为匀速圆周运动。速度大小为的粒子的运动轨迹在正方体前表面内的投影如图1所示：
由已知可得：，由几何关系得：，可得：，则有：
粒子的分运动匀速圆周运动的半径为：，解得：
由洛伦兹力提供向心力得：
解得：
（2）粒子的分运动匀速圆周运动的周期为：
速度大小为的粒子在电磁场中的运动时间为：
粒子沿轴负方向做匀加速直线运动，其位移大小为，则有：
解得：
（3）由上述分析可知当粒子从正方体上表面飞出的，粒子速率越大，粒子的分运动匀速圆周运动的半径越大，图1中的点越靠近，轨迹圆心角越小，粒子在电磁场中的运动时间越短，粒子沿轴负方向的位移越小。当粒子速率最大为时在边射出，对应的圆周运动轨迹为圆周，其半径等于，则有：
解得：
假设粒子沿轴负方向的分运动匀加速运动到点时（其位移大小等于，粒子能够在边射出，设粒子在电场中运动时间为，则有：
解得：
粒子的分运动匀速圆周运动的周期为：
设此情况粒子的分运动匀速圆周运动轨迹的圆心角为，则有；
联立解得：
此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面内的投影如图2所示，可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面飞出的粒子速率的最小值，设此时圆周运动半径为。
由几何关系可得：，解得：
同理有：
解得：
从正方体上表面飞出的粒子速率范围为：
答：（1）磁感应强度大小为；
（2）电场强度大小为；
（3）从正方体上表面飞出的粒子速率范围为。
7．（2024 长沙模拟）如图，平面直角坐标系的第三象限中的区域内存在辐向电场，与点等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向；在的区域内无电场和磁场；在的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在点有一粒子源，能够沿轴负方向发射出甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为、电荷量均为，粒子甲的质量为，粒子乙的质量为。粒子甲在电场中做半径为的匀速圆周运动；粒子乙从点与轴正方向成角射出电场。进入磁场后，粒子甲从点射出磁场；粒子乙从点（图中未标出）射出磁场。不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间。
（3）已知、间的电势差，，求点的坐标。
【答案】（1）匀强磁场磁感应强度的大小为。
（2）粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间为。
（3）点的坐标为。
【解答】解：（1）由题意可得粒子甲的运动轨迹如下图所示，
粒子甲在磁场中运动了半个圆周，可知其在磁场中的运动半径为：
根据洛伦兹力提供向心力可得：
联立解得：
（2）粒子甲在电场中做半径为的匀速圆周运动，轨迹为圆周。
则其在电场中运动时间为：
粒子甲在的区域内做匀速直线运动的时间为：
粒子甲从进入磁场到经过轴的轨迹圆弧的圆心角为：
对应的运动时间为：
粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间为：
（3）设粒子乙在点的速度大小为，对粒子乙从到的过程中，由动能定理得：
，其中：
解得：
设粒子乙在磁场中运动的半径为，同理得：
解得：
粒子乙的运动轨迹如下图所示，
由几何关系可得点纵坐标为：
已知：，可得：
解得：
则点坐标为。
答：（1）匀强磁场磁感应强度的大小为。
（2）粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间为。
（3）已知、间的电势差，，求点的坐标为。
8．（2024 贵州模拟）如图所示，在平面第一象限有沿轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为的点有一带电粒子以某一初速度沿方向抛出，从坐标为的点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为、质量为，匀强电场的电场强度为，匀强磁场的磁感应强度为，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过轴时的位置与坐标原点的距离。
【答案】（1）粒子进入磁场时的速度大小为；
（2）粒子第二次经过轴时的位置与坐标原点的距离为。
【解答】解：（1）粒子从点到点，由牛顿第二定律
粒子做类平抛运动，有
解得
解得
解得
（2）粒子在磁场中的运动过程中，洛伦兹力提供向心力
粒子运动轨迹如图示
第一次和第二次经过轴的两点间的距离为轨迹圆的弦，弦长为
△
为粒子第一次进入磁场时的速度与轴正方向的夹角
解得
所以粒子第二次经过轴时的位置与坐标原点的距离为
△
解得
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小为；
（2）粒子第二次经过轴时的位置与坐标原点的距离为。专题07 带电粒子在复合场中的运动
1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力。针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心。
题型一、.借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题
1．正确区分“电偏转”和“磁偏转”
带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2
2.基本思路
题型二、利用粒子加速器考电加速磁偏转问题
解决带电粒子在加速器中的常用知识：
(1)加速电场：qU＝mv2。
(2)偏转磁场：qvB＝，由以上两式可得r＝
题型三、带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．
(2)若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
3．分析
1．（2024 广州一模）如图，在棱长为的正方体区域的右侧面，以中心为原点建立直角坐标系，轴平行于正方体底面。该区域内加有方向均沿轴正方向、电场强度大小为的匀强电场和磁感应强度大小为的匀强磁场，若电量为、质量为的正离子以某一速度正对点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。
（1）若正离子从右侧面坐标为，的点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量；
（2）若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由。
2．（2024 重庆模拟）如题图所示，两个相同的光滑弹性竖直挡板、固定在纸面内，平行正对且相距足够远，矩形区域内（含边界）充满竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。紧邻板右侧有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁场右边界为半圆，圆心为板的中点。现有一带负电小球在纸面内从点射入磁场，速度大小为、方向与的夹角为，恰好能在磁场中做匀速圆周运动，且第一次飞出磁场时速度恰好水平。已知重力加速度为，，，该小球可视为质点且电荷量保持不变，挡板厚度不计，忽略边界效应。该小球每次与挡板（含端点）碰撞后瞬时，水平速度大小不变、方向反向，竖直速度不变。
（1）求该小球第一次与板碰撞前在磁场中运动的路程；
（2）求该匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若该小球能通过点，求的大小，以及该小球第二次离开矩形区域前运动的总时间。
3．（2024 苏州模拟）如图所示，在三维坐标系中，的空间内充满沿轴负方向的匀强电场，的空间内充满沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为。甲粒子从坐标为，0，的点以速率沿轴正方向射出，甲粒子第一次到达轴时速度方向与轴正方向的夹角为。乙粒子从的空间点（未标出）以相等速率沿轴正方向射出。甲、乙两粒子均在第2次进入磁场后相遇，相遇点为各自轨迹的最低点。已知甲、乙粒子的质量均为，带电量均为，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）电场强度的大小；
（2）相遇时，甲粒子的运动时间；
（3）乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小；
（4）点的位置坐标。
4．（2024 曲靖一模）如图所示，真空中位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量初速度大小为的同种正电荷，以不同的入射角为与轴正方向的夹角，且射入半径为的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与轴相切于点，所有电荷均在该磁场的作用下发生偏转，并全部沿轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿轴正方向的匀强电场，虚线刚好经过点为实线圆最右端的点）且顶点与点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为的匀强磁场，点上方沿轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷的质量为，电荷量大小为，的距离为，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从点沿垂直轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
5．（2024 辽宁模拟）如图所示，真空室中轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在轴上，相邻两个圆相切，半径均为，磁感应强度均为。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为。现将一群质量均为、电荷量均为的带电粒子从坐标原点向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于轴方向发射的粒子），射出速度大小均为，不计粒子重力，则下列说法正确的是
A．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为
B．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为
C．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间不相同
D．所有被接收屏接收的粒子均从点沿轴正方向射出
6．（2024 潍坊一模）现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为的正方体电磁区域，以棱中点为坐标原点建立三维坐标系，正方体电磁区域内充满沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，在点有一粒子源，沿轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为。已知速度大小为的粒子，恰从坐标点飞出（图中未标出），不计粒子的重力。求：
（1）磁感应强度大小；
（2）电场强度大小；
（3）从正方体上表面飞出的粒子速率范围。
7．（2024 长沙模拟）如图，平面直角坐标系的第三象限中的区域内存在辐向电场，与点等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向；在的区域内无电场和磁场；在的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在点有一粒子源，能够沿轴负方向发射出甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为、电荷量均为，粒子甲的质量为，粒子乙的质量为。粒子甲在电场中做半径为的匀速圆周运动；粒子乙从点与轴正方向成角射出电场。进入磁场后，粒子甲从点射出磁场；粒子乙从点（图中未标出）射出磁场。不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过轴所需要的时间。
（3）已知、间的电势差，，求点的坐标。
8．（2024 贵州模拟）如图所示，在平面第一象限有沿轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为的点有一带电粒子以某一初速度沿方向抛出，从坐标为的点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为、质量为，匀强电场的电场强度为，匀强磁场的磁感应强度为，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过轴时的位置与坐标原点的距离。
