第九章 图形的相似
专题2 巧用平行线构造相似三角形
技巧1 巧连线段的中点构造相似三角形
1.如图,在 中,E,F 是边 BC 的三等分点, D 是AC 的中点,BD 分别交AE,AF 于点P,Q, 求BP:PQ:QD.
技巧2 过顶点作平行线构造相似三角形
2.如图,在 中,F为底边 AB上一点,BF:取CF 的中点D，连接AD 并延长交BC 于点E,求 的值.
技巧3 过一边上的点作平行线构造相似三角形
3.如图,在 中,点D在BC上,点E 在AD上,延长CE交AB 于点 F,
(1)求证:
(2)若
①求 的度数.
②若 求EC的长.
技巧4 过任一点作平行线构造相似三角形
4.如图，在中,点M为AC的中点，点E为AB上一点，且 连接EM并延长交 BC 的延长线于点 D.求证：
参考答案
1.【解】连接DF.∵E,F 是边BC 的三等分点, EF = FC. ∵ D 是 AC 的中点,∴AD = CD.∴DF是的中位线.∥且 ∴PE是的中位线.∴∥设 则 2a,∴AE=4a,∴AP=3a.∴PQ:QD=AP:DF =3:2.又
2.【解】如图,过点C作∥交AE 的延长线于点
∥∴∠G= ∠DAF.
又 ∵ ∠CEG =.
∵D 为CF 的中点,∴CD=DF.
在 和 中，∴△ADF≌△GDC（AAS）.
∴AF=CG.
∵ BF:AF=3 :2,∴AB:AF =5:2.
3.(1)【证明】∵ ∴ ∠AEF=∠CAB.
又∵ ∠AFE=∠CFA,∴△AFE∽△CFA.
(2)【解】①如图,过点 D作AB 于点M,过点A作交CF的延长线于点N.
∵ △AFE∽△CFA,∴∠FCA=∠FAE.
又∵ ∠ANC =∠DMA =90°,AC=AD,∴ △CNA≌△AMD(AAS).∴AN = DM.
在Rt△ANF和Rt△DMB中, Rt△DMB(HL).∴∠B=∠AFN=∠BFC.
∵ AD=AC,∴∠ADC=∠ACD.
又∵∠ADC =∠B+∠FAE, ∠ACD=∠BCF +∠FCA,∴∠B=∠BCF.
∴∠B=∠BFC=∠BCF=60°.
②如图,过点E作EG∥BC交AB于点G,易证△
∥∠B=∠BCF =∠FEG,∴ EF =GF.
∴ EC = FC -
4.【证明】方法一:如图①,过点 C 作CF∥AB,交 DE 于点 F.
∵CF∥AB,∴∠FCD= ∠B.
又∵∠D=∠D,
∵点M 为 AC 的中点,∴AM = CM.
又∵ ∠AME =∠CMF,∠A = ∠MCF,
即 BD=3CD.又∵BD=BC+CD,∴BC=2CD.
方法二：如图②，过点 C 作( 交AB 于点 F.
∥
点 M 为 AC 的中点,∴
又∵
方法三：如图③，过点 E 作 ∥交AC 于点 F.
∥
又
易证得△.
∵点M 为 AC的中点，
方法四：如图④，过点A 作 交DE 的延长线于点
∵点 M 为 AC的中点，
又∵
又∵
【点拨】由已知线段的比，求证另外两条线段的比，通常通过作平行线，构造相似三角形来求解.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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