2024年中考数学模拟卷（湖南专用）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片；（2）长、宽为，的矩形面积是；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；（4）是无理数；
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
7．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
8．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．若代数式有意义，则x的取值范围 ．
12．分解因式：= ．
13．若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m．
16．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 ．
17．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息回答问题：
(1)向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______；
(3)如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
22．如图，在正方形中，点为对角线，交点，平分交于点，交于点．
（1）求证：．（2）若，求的长．
23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用，
24．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．
25．如图，已知二次函数的顶点P的横坐标为，且与y轴交于点C（0，－4）．
（1）求b，c的值；
（2）直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧）点M关于y轴的对称点为点M ，点H的坐标为（3，0）．若四边形ONM H的面积为18．求点H到OM 的距离；
（3）是否在对称轴的同侧存在实数m、n(m
(1)①求点的坐标；②求证：；
(2)如图2，连接，，，，当，时，
①求证：；②求的值．
2024年中考数学模拟卷（湖南专用）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，则信号最强的是，故选：A．
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．故选：A
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．，故此选项符合题意；B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意．故选：A．
4．下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片；（2）长、宽为，的矩形面积是；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；（4）是无理数；
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；长、宽为，的矩形面积是，是确定事件，符合题意；掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；是无理数，是确定事件，符合题意；故选：B．
5．如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，∵，∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵主视图是直角三角形，故A，C，D选项不合题意，故选：B．
7．从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【答案】B
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；故选：B．
8．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，∵四边形是的内接四边形，，∴，
∵，∴，∴，∴，
故选：C．
9．如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵在等腰中，，，∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，
∴，故选B．
10．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，
即：， 解得，选A．
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．若代数式有意义，则x的取值范围 ．
【答案】且
【详解】解：由题意，得，解得：且．故答案为：且．
12．分解因式：= ．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
13．若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【详解】解：由①得：，由②得：，不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，①整数解为：、、、，，解得：，为整数，
．②整数解为：，，，、、、，，解得：，为整数，
．综上，整数的值为或
故答案为：或．
14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【答案】0.93
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．
15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m．
【答案】9.88
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得AB=9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．
16．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【详解】解：依题意，得：．故答案为：．
17．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，设正方形的边长为m，∴，
∵，∴，∴，，设反比例函数的表达式为，
∴，解得或（不合题意，舍去），∴，∴，
∴这个反比例函数的表达式是，故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是 ．
【答案】1.5．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH＝PA＝1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，
故答案为：1.5．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】
【详解】解：．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】
当时，原式．
21．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息回答问题：
(1)向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______；
(3)如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
【详解】（1）解：向阳班人数：（人），∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，，∴，
故答案为：108，40；
（3）画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，∴．
22．如图，在正方形中，点为对角线，交点，平分交于点，交于点．
（1）求证：．（2）若，求的长．
【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，，，，
平分，，；
（2）四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，，．
23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用，
【详解】（1）解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，
依题意，得：，解得：，
答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元；
（2）解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶，
依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)，解得17.5≤a≤20，∵a为正整数，∴a取18、19、20，
而W=45a+35(30-a)=10a+1050，∵10＞0，∴W随a的增大而增大，
∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230，此时30－18＝12，
答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元．
24．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．
【详解】（1）证明：连接，，，，，
在中，，，，则为圆的切线；
（2）设圆的半径为，在中，，根据勾股定理得：，
，在中，，，
根据勾股定理得：，在中，，即，解得：．
25．如图，已知二次函数的顶点P的横坐标为，且与y轴交于点C（0，－4）．
（1）求b，c的值；
（2）直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧）点M关于y轴的对称点为点M ，点H的坐标为（3，0）．若四边形ONM H的面积为18．求点H到OM 的距离；
（3）是否在对称轴的同侧存在实数m、n(m
，解得，；
（2）连接．设，则，，其中，，的坐标为，，，四边形为平行四边形，，，
，代入，得，解得，（不符合题意，舍去），
，，，，又，
点到的距离；
（3）分两种情况讨论：
①当，即、在对称轴的左侧时，二次函数的值随增大而减小，，
，（1）得，
，解得或2或，同理由（2）得或2或3，
，，；
②当，即、在对称轴的右侧时，二次函数的值随增大而增大，，
，（1），得，
，，，，将代入（2），
，得，，与上述矛盾，没有满足的、．
综上，在对称轴的左侧存在实数、，当时，的取值范围为，此时m=-3，n=-2．
26．如图1，抛物线（为常数，）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段上的一个动点，连接并延长与过O，A，B三点的相交于点C，过点C作的切线交x轴于点E．
(1)①求点的坐标；②求证：；
(2)如图2，连接，，，，当，时，
①求证：；②求的值．
【详解】（1）解：①令，∴，解得或，∴；
②如图，连接，连接，延长交x轴于点M，
∵过O、A、B三点，B为顶点，∴，，又∵，
∴，∵为切线，∴，又∵，∴，
∴；
（2）解：①如图，
∵，∴，令，可得，
∴或，∴，， ∴，，
∴是等边三角形，∴，∴，
∴，∵，，
∴，，∴，∴，
∴，∴；
②解：如图，过点分别作、的垂线，交、于点、，过点作的垂线，交于点，
设，点D的坐标为，∵，，∴，
∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，
，∴，∴或（舍去），
∴，∴．
