北师大版2024年七年级下册 第一章整式的整除 单元测试卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．0.000009用科学记数法表示为（ ）
A．0.9×10﹣5 B．9×10﹣6 C．9×10﹣5 D．90×10﹣7
2．下列计算正确的是（ ）
A．﹣3x3+（﹣x）＝3x3 B．（3xy）2÷xy＝3xy
C．28x4y2÷7x3y＝4xy D．﹣4x3y÷2x2＝2x
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2 x3＝2x6 B．x4 x2＝x8 C．（﹣x2）3＝x6 D．（﹣x3）2＝x6
4．当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+1的值为﹣1，则（1+a﹣b）（1﹣a+b）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．计算20210＝（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．
7．如图1，将一个长为2n，宽为2m（n＞m）的长方形，用剪刀沿虚线裁开，把它分成四块形状大小一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A．2mm B．（n+m）2（n﹣m）2
C．（n﹣m）2 D．n2﹣m2
8．下列各式中，计算结果为a10的是（ ）
A．a5 a5 B．a20÷a2 C．a5+a5 D．（a4）6
9．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：
其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④
10．在多项式x2+4+______的空中，添加一个含x的单项式，使得它对任意x都是完全平方式．可以添加的单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝ ．
12．（x﹣1）（x+a）的结果是关于x的二次二项式，则a＝ ．
13．如果a＝（﹣0.1）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a，b，c的大小关系为 （用“＞”连接）．
14．若a2+b2＝16，a﹣b＝6，则ab＝ ．
15．若（m﹣3）2＝4，则m2﹣6m＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（6分）计算：
（1）（4a2b3﹣8a3b2）÷（﹣2ab）2；
（2）（x+y）（y﹣x）﹣y（y﹣2x）．
17．（8分）计算题
（1）（﹣2003）0÷（﹣2）﹣3×（﹣）﹣2﹣4；
（2）先化简再求值[（2x+y）2﹣y（y+4x）﹣8xy]÷（﹣2x）其中x＝﹣2，y＝1．
18．（8分）小华同学在学习整式乘法时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是如下计算题她是这样做的：
（2x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）
＝4x2﹣6xy+3y2﹣x2﹣2y2…第一步
＝3x2﹣6xy+y2…第二步
（1）小华在此题的计算中运用了哪些乘法公式，请用字母表示出 ；
（2）小禹看到小华的做法后，对她说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下．”小华仔细检查后自己找到了如下一处错误：
小禹看到小华的改错后说：“你还有错没有改出来．”
小华还有哪些错误没有改出来？请你帮助小华把第一步中的其他错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程．
19．（9分）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝ ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．
20．（10分）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法 1： ；方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值．
21．（10分）为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）
22．（12分）幂的运算通常有下列法则：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．下列是小朋、小友两同学“计算：（a2 a2）2”的解答过程，他们解答是否正确？若错误，请在每一过程的横线上改正：若正确，请在每一步的横线上填上计算的依据．（填序号）
小朋的解答是 ．（填“正确”或“错误）
（a2 a3）2＝（a5）2 ＝a10
小友的解答是 ．（填“正确”或“错误”）
（a2 a3）2＝（a2）2 （a3）2 ＝a4 a4 ＝a10 ．
23．（12分）如图1，将长为2a，宽为2b的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形．
（1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2的值为 ；
②将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：0.000009＝9×10﹣6．
故选：B．
2．解：∵﹣3x3与﹣x不是同类项，不能加减，故A不正确；
（3xy）2÷xy＝9x2y2÷xy＝9xy≠3xy，故B不正确；
28x4y2÷7x3y＝4xy，故C正确；
﹣4x3y÷2x2＝﹣2xy≠2x，故D不正确．
故选：C．
3．解：A、x2 x3＝x5，故此选项不符合题意；
B、x4 x2＝x6，故此选项不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，故此选项不符合题意；
D、（﹣x3）2＝x6，故此选项符合题意；
故选：D．
4．解：由题意得：当x＝﹣1时，a﹣b+1＝﹣1，
可得a﹣b＝﹣2，
将a﹣b＝﹣2代入（1+a﹣b）（1﹣a+b）得原式＝（1﹣2）×（1+2）＝﹣3．
故选：D．
5．解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
6．解：20210＝1，
故选：B．
7．解：由题意得：图2中空白部分是一个边长为（n﹣m）的正方形，
∴其面积为：（n﹣m）2．
故选：C．
8．解：A、a5 a5＝a10，符合题意，故选项正确．
B、a20÷a2＝a18，不符合题意，故选项错误．
C、a5+a5＝2a5，不符合题意，故选项错误．
D、（a4）6＝a24，不符合题意，故选项错误．
故选：A．
9．解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选：A．
10．解：①x2±4x+4＝（x±2）2，
∴加上的单项式是4x或﹣4x，
②可以添加，x4，x4+x2+4＝（x2+2）2
综上所述，共有3种方法．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵4x﹣3y﹣3＝0，
∴4x﹣3y＝3，
∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．
故答案为：1000．
12．解：原式＝x2+（a﹣1）x﹣a，
由结果为关于x的二次二项式，得到a﹣1＝0或a＝0，
则a＝1或a＝0．
故答案为：0或1．
13．解：∵a＝（﹣0.1）0＝1，b＝﹣（﹣0.1）﹣1＝﹣10，c＝（﹣）﹣2＝，
∴c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．
14．解：∵a﹣b＝6，
∴（a﹣b）2＝36，
∴a2+b2﹣2ab＝36，
∵a2+b2＝16，
∴16﹣2ab＝36，
∴ab＝﹣10，
故答案为：﹣10．
15．解：∵（m﹣3）2＝m2﹣6m+9＝4，
∴m2﹣6m＝4﹣9＝﹣5．
故答案为：﹣5．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝（4a2b3﹣8a3b2）÷4a2b2
＝4a2b3÷4a2b2﹣8a3b2÷4a2b2
＝b﹣2a；
（2）原式＝y2﹣x2﹣y2+2xy
＝﹣x2+2xy．
17．解：（1）原式＝1÷（﹣）×4﹣4
＝﹣32﹣4
＝﹣36；
（2）原式＝（4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy﹣8xy）÷（﹣2x）
＝（4x2﹣8xy）÷（﹣2x）
＝﹣2x+4y，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝﹣2×（﹣2）+4×1
＝4+4
＝8．
18．解：（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）如图：
（2x﹣3y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣x2+4y2
＝3x2﹣12xy+13y2．
19．解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝28，
∴（x+y）2＝36，则x2+y2+2xy＝36，
∴2xy＝36﹣28＝8，则xy＝4；
故答案为：4；
（2）设AC＝x，BC＝y，
∵AB＝8，
∴x+y＝8，则（x+y）2＝64，
∵S1+S2＝44，
∴x2+y2＝44，
∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64，
∵xy＝10，
∴
20．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15．
21．解：由题意得，
剩余部分的面积为：πR2﹣4πr2＝π（R2﹣4r2）＝π（R+2r）（R﹣2r），
∴当R＝7.8cm，r＝1.1cm时，
原式＝π（7.8+2×1.1）（7.8﹣2×1.1）
＝π×10×5.6
＝56π（cm2），
答：剩余部分的面积为56πcm2．
22．解：小朋的解答是正确，
（a2 a3）2
＝（a5）2 （同底数幂的乘法）
＝a10 （幂的乘方）；
小友的解答是（错误）
（a2 a3）2
＝（a2）2 （a3）2 （积的乘方）
＝a4 a4 （a4 a6）
＝a10．（正确）
故答案为：正确；同底数幂的乘法；幂的乘方；错误；积的乘方；a4 a6；正确．
23．解：（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（2）由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
②∵FG＝FE，BG＝ED，∠BGF＝∠DEF＝90°，
∴△BFG≌△DEF，
∴△BFG的面积＝△DEF的面积，
∴图3中阴影部分面积的和＝梯形AFDE的面积＝（y+x）（x﹣y），
∵BG＝1，xy＝12，
∴x﹣y＝1，
∴（y+x）2＝（y﹣x）2+4xy＝12+4×12＝49，
∴y+x＝7，
∴图3中阴影部分面积的和＝×7×1＝．
故答案为：．
