专题03 圆锥曲线的方程（4）
一、单选题
（2023上·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考期中）
1．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川甘孜·统考一模）
2．已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山东德州·高二统考期中）
3．双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2023上·江苏南京·高二统考期中）
4．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）
5．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·江西南昌·高二南昌二中校考期中）
6．已知M是的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，则实数的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）
7．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川成都·三模）
8．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2023上·山西太原·高二统考期中）
9．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为 D．的最大值为
（2023上·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考期中）
10．已知曲线C：．（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则C是两条直线
（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）
11．记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与直线相切 D．P，N，Q三点共线
（2023上·河北保定·高二统考期末）
12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
三、填空题
（2023上·安徽池州·高二统考期中）
13．已知椭圆，、是坐标平面内的两点，且与椭圆的焦点不重合．若关于椭圆的焦点的对称点分别为、，线段的中点在椭圆上，则 ．
（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）
14．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ．
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
15．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则 ．
（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）
16．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
四、解答题
（2023上·河南周口·高二太康县第一高级中学校联考期中）
17．已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.
(1)求的标准方程；
(2)设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.
（2023上·广东东莞·高二校考期中）
18．动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求线段的长．
（2022上·甘肃陇南·高二校考期末）
19．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，上一点到其焦点的距离等于3，求点的横坐标.
（2023·上海奉贤·统考一模）
20．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
（2023上·山东德州·高二统考期中）
21．已知椭圆C：左、右焦点分别、，长轴长为，且椭圆C的离心率与双曲线的离心率乘积为1，P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若且，求的最大值.
（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）
22．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别与相切于点，，点在曲线上，且在，之间，曲线在处的切线分别与，相交于，．
(1)求面积的最大值；
(2)证明：的外接圆经过异于点的定点．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．
【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设椭圆的左焦点为，即，
则，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值为，
故选：D．
2．D
【分析】依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程．
【详解】
由题意，设椭圆方程为，左焦点为，则，，
因为，
所以，故，
所以 ，
解得，，
又，，
解得，，故椭圆方程为.
故选：D
3．D
【分析】令，利用余弦定理结合双曲线定义求得，代入三角形面积公式求解即可.
【详解】不妨设点在第一象限，如图所示，
由得，令，
则，所以，即①，
且，可得，
将①代入可得，所以，
所以，
故选：D
4．C
【分析】
由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.
【详解】
设，
为等边三角形，，，又，
，，，
，，
，解得：（舍）或，
双曲线的离心率为.
故选：C.
5．B
【分析】先利用点差法得到，再利用重心的性质与基本不等式得到，由此得解.
【详解】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，
因为抛物线为，所以，
则，所以，则，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
当且仅当时，等号成立，而，故等号不成立，
因而，故，则的最大值为.
故选：B.
6．D
【分析】利用抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系计算即可.
【详解】
易知，如图所示，过P作于准线，垂足为点，
由抛物线定义知，则，
易知当直线与抛物线相切时最小，则取得最大值，
不妨设，与抛物线方程联立得，
此时可知.
故选：D
7．D
【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得.
【详解】
如图，：的图象，则，，其中，
设，，则，
，，，
因，得，
故，得，
由得，
得即，得
由，得，又，，
化简得，又椭圆离心率，
所以，得.
故选：D
8．A
【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.
【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，
得，得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A
9．AD
【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】椭圆，，，
设,，，则，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以A选项正确.
椭圆的离心率，所以B选项错误.
由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时，
三角形的面积取得最大值为，所以C选项错误.
设，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，，
所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以D选项正确.
故选：AD
10．CD
【分析】根据，将化为，结合椭圆方程判断A；
结合圆的方程判断B；讨论的正负，结合双曲线方程以及渐近线方程可判断C；
，时，可得，即可判断D.
【详解】对于A，若，则，则即为，
故表示焦点在x轴上的椭圆，A错误；
对于B，若，则即为，
故C是圆，其半径为，B错误；
对于C，若，则不妨设，则即为，
曲线C此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，
当，则即为，
曲线C此时表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为,
综上，若，则C是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，，则即为，即，
即则C是两条直线，D正确，
故选：CD
11．ACD
【分析】由坐标可得直线方程，联立与抛物线方程，由韦达定理可得A；由焦点弦长公式可得，得选项B；由中点到直线的距离等于的一半可得选项C；联立直线可得坐标，由光学性质可得D.
【详解】利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点；
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
因为，焦点，
所以直线：.
由消去y并化简得，
选项A，，，，故A正确；
选项B，又，故，，
故，故B错误；
选项C，由，抛物线的准线为，
的中点到准线的距离为，
即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确；
选项D，直线的方程，与联立，可得Q点的横坐标为，
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
由点在直线上，则三点都在直线上，故D正确.
故选：ACD.
12．ABC
【分析】根据椭圆的定义以及几何性质，结合题意依次判断每个选项，可得答案.
【详解】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，
所以最小值为 ，最大值为 ，所以A正确；
B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，
所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，
卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，
则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，
所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
C选项︰因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，
在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，
在远地点时向径最大，故速度最小，故C正确；
D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，
即越小，则e越大，椭圆越扁，故D不正确，
故选： ．
13．
【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出．
【详解】设的中点为，椭圆的左、右焦点分别为、，如图，连接、，
因为是的中点，是的中点，则是的中位线，
所以，，同理可得，
根据椭圆的定义可得，
所以，.
故答案为：.
14．或4
【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得的值．
【详解】在中，由余弦定理可得．
，．
，，当且仅当时，等号成立．
根据抛物线的对称性可知，或，或4．
故答案为：或4．
15．1
【分析】设出M点的坐标，写出切线方程，求出，依据，列出方程组求解即可.
【详解】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：即，焦点，设，
因为，所以抛物线在M处的切线方程为，
（另法：设抛物线在M处的切线方程为与联立消去y，得到：，利用亦可求出）.
令，得，即，
由题，，
解得.
故答案为：.
16．##
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的标准方程，利用条件求出，即可得出结果；
（2）根据题意，设直线的方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，再利用条件得，从而得到，即可求出结果.
【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，左焦点为，均在直线上，
令，得，令，得到，所以，得到，
所以，故椭圆的标准方程为.
（2）因为四边形为平行四边形，则直线过中点，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
由，消得到，
易知，直线与椭圆恒有两个交点，又由韦达定理知，，
又，，
因为四边形为平行四边形，所以，得到，
又，，代入，
整理得，即，
将代入，得到，即，
所以或，又，故舍去，
所以，直线的方程为，即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设，得，整理得M的轨迹方程；
（2）直线方程为代入得由弦长公式求.
【详解】（1）设，由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
（2）由已知条件得直线方程为，
由与消y得
，∴直线与双曲线有两个交点，
设，则
所以.
故线段的长.
19．(1)
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；
（2）根据抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离得到，然后根据焦半径公式求点的横坐标.
【详解】（1）∵，∴可设双曲线方程为.
∵该双曲线过点，∴，即.
∴双曲线方程为.
（2）抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，
由题意得：，可得，∴抛物线的方程为.
设点的横坐标为，则，解得.
20．(1)
(2)
(3)不存在点，使得//，理由见解析
【分析】
（1）由题意计算即可得；
（2）由设出点坐标，表示出，结合与点坐标范围计算即可得.
（3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线与椭圆交于不同的两点可得该方程，并由方程中的韦达定理表示出直线斜率，假设存在该点，则有，借此设出直线方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有，结合前面所得可计算出的范围.
【详解】（1）
由题意，得，，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）
设动点，，，
，
，所以的取值范围为；
（3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、，
联立， 消去得，
，即①，
则，，
则，，
则，
故，
若，则有，
设直线为，
联立，消去有，
要使得存在点，则，
整理得，
故②，
由①②式得，，
则，解得，
所以当时，不存在点，使得.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件椭圆的离心率为，再结合椭圆长轴长为，即可求出椭圆方程；
（2）设，，根据得，从而用表示，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可知双曲线的离心率为，从而椭圆离心率，
又因为，所以，可得，从而；
故椭圆的方程为；
（2）如下图所示：
易知，设，，则，，
因为，所以，即；
所以，解得；
可得
，
因为，所以，当且仅当，即时，取等号.
所以可得最大值为.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用直线和抛物线相切，求出直线方程，然后利用距离公式表示出三角形的面积，结合函数求最大值即可；
（1）通过确定的外接圆圆心在的中点，然后证明，从而证明的外接圆经过异于点的点.
【详解】（1），设，，，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，
设直线的方程为
与抛物线联立得：.
由相切得：，化简得：,
故
则,
同理可得：，
因为同时在直线和上，
所以，.
所以直线的方程为：，即
联立，消，得，
所以，，．
联立直线和
联立，解得，
同理，，
所以，
所以，
因为点到直线的距离，
所以
，
所以当时，
（2）由（1）得，的中点，
因为，
所以，
所以的外心为．
因为，
所以
，
所以，
所以的外接圆经过异于点的点．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
