2024年人教版九年级数学中考专题训练：因式分解压轴题
1．观察下列式子的因式分解做法：
①；
②；
③；
……
（1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想 ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求的值．
2．观察下列因式分解的过程：
（1）x2-xy+4x-4y
＝（x2-xy）+（4x-4y）（分成两组）
＝x（x-y）+4（x-y）（直接提公因式）
＝（x-y）（x+4）
（2）a2-b2-c2+2bc
＝a2-（b2+c2-2bc）（分成两组）
＝a2-（b-c）2（直接运用公式）＝（a+b-c）（a-b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①
②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式.
3．小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ2ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
4．已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
【示例】分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.
（1）【尝试】分解因式：x2+6x+8=（x+ ）·（x+ ）.
（2）【应用】请用上述方法解方程.
①x2+5x+6=0；
②x2-3x-4=0
5．
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知
，求
的值.
6．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
7．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，
（1）因式分解：①；②；
（2）若，都是正整数且满足，求的值．
8．观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
9．
（1）已知 的值.
（2）先化简，再求值：
10．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9进行因式分解的过程.
解：设x2-4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2-4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
11．分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为．
（1）求a、b的值．
（2）分解因式的正确答案是什么？
12．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
13．[学习材料]拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法。如：
例1、分解因式：x4+4y4
解：原式=x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
例2、分解因式：x3+5x-6
解：原式=x3-x+6x-6=x(x2-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3、把多项式a2+b2+4a-6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式=a2+4a+4+b2-6b+9=(a+2)2+(b-3)2
[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+2x-8=
（2）分解因式：x4+4=
（3）关于x的二次三项式x2-20x+111在x= 时，有最小值；
（4）已知M=x2+6x+4y2-12y+m(x-y均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
14．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
15．
（1）因式分解：；
（2）如图，在中，平分，交于点D，过点D作，交于点E．求证：．
16．先阅读下列材料，然后解题：
材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，．
（1）类比思考，所以，即能被 整除，所以 是的一个因式，且当x＝ 时，；
（2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值．
17．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁前成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的同样大小的小长方形，且 .(以上长度单位： )
（1）观察图形，可以发现代数式
可以因式分解为 .
（2）若每块小长方形的面积为
，四个正方形的面积和为
.
①试求图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和；
②求
的值.
18．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y) 2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1) 2－2＝(x＋1－2) (x＋1＋2) ＝ (x－1) (x＋3)．
（1）分解因式：
①4x2＋4x－y2＋1；
②x2－6x＋8；
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求△ABC的周长．
19．
（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．
②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式： ．
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
① ∵ ∴． 故当时代数式的最小值为-2 ② ∵ ∴ 故当时代数式的最大值为4
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解 ∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）求使代数式有意义的x的取值范围；
（3）试解不等式．
21．阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，．
所以
（1）若取任意值，等式恒成立，则 ；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次
（2）若分解 ，则需应用上述方法 次.结果是 .
（3）分解因式： 为正整数).
23．几何和代数是密切相关的.
（1）如图 1， 这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
12
所以得到等式：
上述等式的变形过程叫 .
（2）利用图 2， 请你仿照上述的过程， 请把用两个多项式的乘积表示， 直接写出结果.
（3）如图3， 已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形， 并给出一个与 （1） 中结论类似的等式.
24．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
25．若两个正整数a，b，满足（a+b）2=ka+b，k为自然数，则称a为b的“k级”数.例如，a=2，b=3，(2+3)2=11×2+3，则2为3的“11级”数.
（1）4是5的“ ”级数；正整数n为1的“ ”级数（用关于n的代数式表示）；
（2）是否存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知x，y均为小于100的正整数，且x为y的“100”级数，直接写出所有满足条件的x，y的值.
26．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.
（1）求，；
（2）已知，（，，为整数），若、均为“真知数”，且可被7整除，求的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
（2）
（3）解：∵ ，
∴
【解析】【解答】解：（2）由题意得，
故答案为：
【分析】（1）根据题干所提供的分解步骤进行因式分解即可求解；
（2）根据题干所提供的分解步骤进行因式分解即可求解；
（3）先根据题意得到 ，进而即可求解。
2．【答案】（1）解：①原式
②原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）①原式=(ad-ac)-(bd-bc)=a(d-c)-b(d-c)，然后提取公因式(d-c)即可；
②原式可变形为(x2-6x+9)-y2，首先利用完全平方公式对括号中的式子进行分解，然后利用平方差公式进行分解；
（2）原式可变形为(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+……+x(1+x)n-1]=(1+x)(1+x)n ，据此解答.
3．【答案】（1）解：，
，
∴正确答案为.
（2）解：由（1）可知正确答案为，
∴两个代数式和==；
能因式分解，分解如下：
.
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则，即多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加，得，，再把N的值代入结果，即可求解；
（2）由（1）得正确答案为，再把两代数式相加求和，整理为，再将结果提取公因式y，得，再利用完全平方公式彻底分解为，即可求解.
4．【答案】（1）2；4
（2）解：①∵x2+5x+6=0，∴（x+2）（x+3）=0，则x+2=0或x+3=0，解得x1=-2，x2=-3
②∵x2-3x-4=0，∴（x+1）（x-4）=0，
则x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4
【解析】【解答】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），
故答案为：2，4.
【分析】（1）观察一次项系数（正数）和常数项（正数），可知8=2×4，6=2+4，由此可得结果.
（2）①观察一次项系数（正数）和常数项（正数），可知6=2×3，5=2+3，可将方程转化为（x+2）（x+3）=0，然后求出此方程的解；②观察一次项系数（负数）和常数项（负数），可知6=-4×1，-3=-4+1，可将方程转化为（x-4）（x+1）=0，然后求出此方程的解.
5．【答案】（1）解：由已知得
∴
∴
（2）解：∵ .
∴
∴
【解析】【分析】（1）利用整式混合运算顺序和法则进行计算，得出x-y=3，再把原式进行因式分解化为6（x-y）2的形式，代入进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意得出a2=a+1，a2-1=a，再把原式化为a（a2-1）-（a+1）+2020的形式，然后代入进行计算，即可得出答案.
6．【答案】（1）解：
x2﹣6x＋8
（2）解：令 ，
则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3 =
【解析】【分析】（1）观察此二次三项式，二次项系数为1，一次项系数为负数，常数项为正数，因此将常数项8分解为-2×（-4），且一次项系数-6=-2+（-4），据此分解因式；
（2）将（x-y）看着整体，观察系数特点，可得到3=1×3，4=1+3，再分解因式即可.
7．【答案】（1）解：①原式=(x+y)(x-y)+ (x+y)
=(x+y)(x-y+1)；
②原式=a(b-1)- (b-1)
=(a-1)(b-1)；
（2）解：由（1）②可知，(a-1)(b-1)=7，
∵a，b都是正整数，
∴a-1，b-1都是整数，
∴或，
解得或，
当a=2，b=8时，2a+b=2×2+8=12；
当a=8，b=2时，2a+b=2×8+2=18；
∴2a+b的值为12或18．
【解析】【分析】（1）①对前两项利用平方差公式进行分解，然后提取公因式即可；
②对前两项提取公因式可得a(b-1)-(b-1)，再次提取公因式即可；
（2）由（1）②可知(a-1)(b-1)=7，根据a，b都是正整数可得a-1，b-1都是整数，据此可得a、b的值，然后代入2a+b中进行计算.
8．【答案】（1）
（2）
（3）
。
∴结论正确．
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）观察可得192-172的结果；
（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；
（3）根据平方差公式进行证明.
9．【答案】（1）解：∵x2y=2，x-2y=5，
∴原式=x2y（x-2y）=2×5=10；
（2）解：原式=x2-4y2-（4y2-4xy+x2），
=x2-4y2-4y2+4xy-x2，
=-8y2+4xy，
∵x=2，y=-1，
∴原式=-8×（-1）2+4×2×（-1）=-16.
【解析】【分析】（1）利用提公因式法将原式因式分解，再将x2y=2，x-2y=5，代入化简后的式子计算求值；
（2）利用平方差和完全平方公式去掉原式括号，再进行整理、化简为最简式，再把x=2，y=-1代入化简后的式子，计算求值即可.
10．【答案】（1）C
（2）（x-2）4
（3）解：设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4.
【解析】【解答】解：（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，设x2-4x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2-4x+4）2=（x-2）4.
故答案为：（x-2）4；
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据题干提供的方法设x2+2x=y ，代入原式并整理成一般形式，进而利用完全平方公式分解，最后再根据完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
11．【答案】（1）解：
，
∵分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，
∴甲没有看错b，即；
，
∵分解因式时，乙看错了b的值，
∴乙没有看错a，即
（2）解：∵，，，
∴
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算方法求出可得b的值，再算出，可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得，再利用十字相乘法因式分解即可.
12．【答案】（1）解：，
，
即，
又，
，
；
（2）解：，
又，
由，得，
，
．
【解析】【分析】（1）由a-b=5可得（a-b）2=25，据此求出a2+b2=25+2ab，再代入计算即可；
（2）将原式化为a2b2（a2+b2-ab），再整体代入计算即可.
13．【答案】（1）（x+4）（x-2）
（2）（x2+2+2x）（x2+2-2x）
（3）10
（4）解：
∵若M恰能表示成 A2+B2的形式，∴m-18＝0，∴m＝18。
【解析】【解答】解：（1） x2+2x-8
=x2+2x+1-1-8
= (x+1)2-9
= (x+1+3) (x+1-3 )
=(x+4)(x-2).
故答案为：（x+4）（x-2） .
（2）x4+4
=x4+4+4x2-4x2
= ( x2+2）2-4x2
= (x2+2+2x) (x2+2-2x) .
故答案为： (x2+2+2x) (x2+2-2x) .
（3） ∵x2- 20x+111
.=x2- 20x+ 100- 100+111
= (x-10) 2+11，
∴当x=10时，有最小值.
故答案为： 10.
【分析】（1）原式可变形为x2+2x+1-9，利用完全平方公式对前三项进行分解，然后再利用平方差公式进行分解；
（2）原式可变形为(x2+2)2-4x2，然后利用平方差公式进行分解；
（3）原式可化为(x-10)2+11，据此解答；
（4）同理可得M=(x+3)2+(2y-3)2+m-18，由M恰能表示成A2+B2的形式可得m-18=0，求解可得m的值.
14．【答案】（1）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（2）解：是整式的乘法，不是因式分解；
（3）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（4）解：是因式分解.
【解析】【分析】根据因式分解定义，将多项式在一定范围内化成几个因式的乘积的形式，进行判断. （1）、（2）、（3）等式右边均不是因式的乘积形式，所以不是因式分解；（4）符合因式分解的定义，是因式分解，据此判断即可.
15．【答案】（1）解：原式；
（2）证明：平分，
，
又，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）先求出∠ABD=∠CBD，再根据平行线的性质证明即可。
16．【答案】（1）x+2或x+3；x+2或x+3；-22或 3
（2）解：∵多项式能被整除，
∴是的一个因式，
∴当时，，即，
∴m＝ 5．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴能被或整除，
∴或是的一个因式，且当x＝－2或－3时，；
故答案为：x+2或x+3；x+2或x+3； 2或 3；
【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解即可；
（2）将代入，求出m的值即可。
17．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）
（2）解：依题意，得 .
∴
∵
∴
∵ ，
∴ .
①裁剪线长为2(2m+n)＋2(m+2n)=6m+6n=-42，
图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为42cm.
②(m+n)2=49.
【解析】【分析】（1）图中长方形的面积恒定不变，结合图中长方形面积公式即可把原式进行因式分解；（2）根据题意得出2m2+2n2=58，mn=10，利用完全平方公式得出m+n=7，①根据图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为6（m+n），即可得出答案；②根据m+n=7，即可得出（m+n）2=49.
18．【答案】（1）解：①4x2＋4x－y2＋1
；
②x2－6x＋8
；
（2）解：a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，
∴，
【解析】【分析】（1）①利用分组分解因式的方法求解即可；
②利用分组分解因式的方法求解即可；
（2）将代数式变形为，求出a、b、c的值，再计算即可。
19．【答案】（1）解：①第一种变形方法：
=
=
=
=；
第二种变形方法：
=
=
=
=；
②如图，，
（2）
（3）解：
，
∵，，
∴当，，即，时，有最小值，为18．
即，，时，有最小值，为18．
【解析】【解答】解：（2）
=
=
=，
故答案为：；
【分析】（1）①运用完全平方公式将原式变形进行计算，即可得出结论；②画出边长为a+b+c的正方形，再将该正方形进行适当分割，根据面积相等列出等式即可；
（2）将x2-2xy+y2分为一组，4x-4y分为一组，然后运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用完全平方式将原式化为 ， 根据偶次幂的非负性即可得出结果.
20．【答案】（1）或
（2）解：根据题意得：，∵，∴可化为．由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得①②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，∴的解集为或，即一元二次不等式的解集为或，∴代数式有意义的x的取值范围为或；
（3）解：不等式可化为①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得无解，∴不等式组的解集为，即不等式的解集为．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴可化为．由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得①②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，∴的解集为或，即一元二次不等式的解集为或；故答案为：或
【分析】（1）利用平方差公式分解因式，再根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，分两种情况分别求解集即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得，再根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，分两种情况分别求解集即可；
（3）根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，分两种情况分别求解集即可.
21．【答案】（1）1
（2）解：设
，
∴，
解得；
∴多项式的另一因式是；
（3）解：不能，理由：
∵设
，
∴，，
解得：、或、，
∴系数不是整数，
∴多项式是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
解得；
故答案为：1；
【分析】（1）根据待定系数法可得，再求出a的值即可；
（2）设，再利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，再求出a的值，即可得到答案；
（3）方法同（2），利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，，求出a、b的值，再根据系数不是整数，即可得到答案。
22．【答案】（1）提取公因式法；2
（2）2001；
（3）解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
=
=
……
=（1+x）n·（1+x）
=（1+x）n+1.
【解析】【解答】（1）利用了提公因式法，先提取（1+x）进行分解因式，括号里再次提取（1+x）.
故答案为：提取公因式法；2.
（2）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2001
=
=
……
=（1+x）2001·（1+x）
=（1+x）2002.
故答案为：2001；1+x）2002.
【分析】（1）原式中每项均含有（1+x），第一次提取公因式（1+x）进行因式分解后，再提取公因式（1+x）彻底分解因式.
（2）将1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2001提取（1+x），原式变为 ，再将 继续提取（1+x），变为 ，以此类推，即可得到结果为（1+x）2002；
（3）参照（2）的方法，依次提取公因式（1+x），（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n即可化简为（1+x）n+1.
23．【答案】（1）因式分解
（2）
（3）解：结合已知的矩形形状，作出的图：
，
∵，
又∵
∴有等式：，
【解析】【解答】解：（1）根据因式分解的定义可知：等式变形过程叫：因式分解，
故答案为：因式分解；
（2）∵，
又∵
∴，
故答案为：；
【分析】（1）将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形，就是因式分解，据此即可判断得出答案；
（2）首先表示出大长方形的长为（2x+y），宽为（2x+8），根据长方形的面积等于长乘以宽可得S大长方形=，再根据各个小图形的面积之和等于整个大长方形的面积可得S大长方形=，由用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，即可得出答案；
（3）先求出图3中所有图形的面积之和，再利用因式分解计算即可.
24．【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
25．【答案】（1）19；n+2
（2）解：若存在，则
展开得
整理后得b(a+b-1)=0
∵a，b是正整数
∴a≥1，b≥1
∴b≠0，a+b-1≠0
∴b(a+b-1)≠0产生矛盾
答：不存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数。
（3）解：
【解析】【解答】（1）∵ (4+5)2=19×4+5，
∴ 4为5的“19级”数.
∵ (n+1)2=(n+2)×n+1，
∴n为1的“（(n+2）级”数.
故答案为：19；（n+2）.
（3）解：由题图可得：（x+y）2=100x+y ，
∵ x，y均为小于100的正整数 ，
∴当x=98，y=1，（98+1）2=100×98+1 ，
当x=30，y=25，（30+25）2=100×30+25 ，
当x=20，y=25，（20+25）2=100×20+25 ，
∴.
【分析】（1）利用 “k级”数的定义进行解答即可；
（2）假设存在，则 ，整理b(a+b-1)=0，由a，b是正整数，则b≠0，a+b-1≠0，从而得出b(a+b-1)≠0，继而判断即可；
（3）由“k级”数的定义可得 （x+y）2=100x+y ，据此求出小于100的正整数解即可.
26．【答案】（1）解：由题意，=，
；
（2）解：∵s为“真知数”，
∴x≠1，x≠2，
∵t为“真知数”，且6+4=10，6+6=12，
∴y≠4，y≠6，
由题意，将百位调换后的数为210+x，100+10x+2，
∴，
当1≤y≤3时，
∵，，为整数，x≠1，x≠2，1≤y≤3，
∴x=y=3，
∴=，
=6，
∴+=22不被7整除，
∴x≠3，y≠3；
当y=5，7，8，9时，将百位调换后的数为600+10（y-4）+2，100（y-4）+26，
∴，
∴+=x+y+7，
∵+可被7整除，且，，为整数，x≠1，x≠2，y=5，7，8，9，
∴x+y=14，
∴x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7，
∴t=265或264或263.
【解析】【分析】（1）根据题干提供的例子分别计算即可；
（2）首先根据真知数的定义判断出x≠1，x≠2， y≠4，y≠6， 进而求出F（s）=x+3，然后分类讨论：①当1≤y≤3时，可得x=y=3，从而求出F（t）、F（s） 代入根据F（t）+F（s）能被7整除进行检验得出答案；② 当y=5，7，8，9时， 求出F（t），则F（t）+F（s）=x+y+7，进而根据F（t）+F（s）能被7整除可得x+y=14，从而得出 x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7， 此题得解.
