2023-2024学年高一(下)数学阶段性诊断
（考试时间 60分钟 满分 100分） 2024. 3
一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 已知复数 z 2 i 1 i ， i为虚数单位，则复数 z的虚部为
A． i B． i C．1 D． 1
2. 已知向量 a = (2，8)，b = (﹣4，2)．若 c = 2a﹣b，则向量 c =
A．（0，14） B．（8，14） C．（12，12） D．（﹣4，20）
3.在△ABC中，若 A=105°，B = 45°，b = 2，则 c =
A．1 B． 3 C．2 D． 6
4. 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB = 8，AD = 5，
CP 3PD， AP BP 2,，则 AB AD的值是
A. 8 B. 12 C. 22 D. 24
2
5. 在△ABC中，若 AB BC AB 0，则△ABC的形状一定是
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6. 已知向量a,b 是两个单位向量，则“a与b 的夹角为锐角”是“ a b 2 ”的
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
7. 已知a,b 是两个夹角为 的单位向量，则 |kb﹣a| 的最小值为
3
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
4 2 4 2
8. 在△ABC中， AB AC 4 2 ，当 R时， | AB BC |的最小值为 4．若 AM MB，
π π
AP sin 2 AB cos2 AC，其中 [ , ]6 3 ，则 |MP |的最大值为
A． 2 B. 4 C． 2 5 D. 4 2
二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。
9. 已知复数 z满足 (1 i)z 1 3i，则 | z | .
10. 已知向量 a, b, c 在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长
为 1，则 (a b) c ________； a b ________．
高一数学 1 / 2
{#{QQABCQKEggCAAoBAABhCQQVwCkOQkBCAAKoOgEAMMAIASANABAA=}#}
11. 已知两灯塔 A和 B与海洋观测站 C的距离都为 100km，灯塔 A在观测站 C的北偏东 20°
方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为
_________km．
sin 2A
12. 在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则 = ．
sinC
13. 已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝4，b＝ 4 3， A 30 ，则该三
角形的面积等于 ．
14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，
分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三
斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，
其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余
四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
1 c2 a2 b2S [c2a2 ( )2 ] .现有 ABC满足 sin A : sin B : sinC 2 : 3 : 7 ，且 ABC的面积
4 2
S 3 3△ABC . 给出下列四个结论：2
① ABC周长为5 7 ② ABC三个内角 A，C，B满足关系 A B 2C
③ ABC 2 21外接圆半径为 ④ ABC 19中线 CD的长为
3 2
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题共 2小题，共 30分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题 15分）
在平面四边形 ABCD中，AB BC，AB 3 3，CD 3，
sin DBC 3 3 C ， .
14 3
（Ⅰ）求 sin BDC的值； （Ⅱ）求 BD， AD的值.
16. （本小题 15分）
已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：
A p1 = ② a = 13 ③ c = 15 ④ sinC 1=
3 3
( 1 )请指出这三个条件，并说明理由；( 2 )求△ABC的面积.
高一数学 2 / 2
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