宜春中学2023-2024学年高一下学期（基础部）第一次月考数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的.）
1.（ ）
A. B. C. D.
2.设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A.1 B. C.2 D.
4.已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A. B.是图象的一条对称轴
C.是图象的一个对称中心 D.在上的最大值为
6.如图，C，D为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则（ ）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
8.平面向量有这样一个结论：已知是内的一点，若，，的面积分别为，，，则.设为内一点，且满足：，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知向量，不共线，若，，则下列条件能使A，B，C三点共线的有（ ）
A.， B.， C. D.
10.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则点M、B、C三点共线
.若点是的重心，则
D.若且，则的面积是面积的
12.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.不等式的解集为
D.若存在实数a，b，c，d，满足，则的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.写出一个与向量共线的单位向量：__________.
14.已知，则__________.
15.在中，是的中点，，点为上的一点，则的最大值为__________.
16.如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点A走过的路程为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17.（本题10分）平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数的值.
18.（本题12分）已知，函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）设，且，求的单调递增区间.
19.（本题12分）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（E，F两点不重合）.
（1）用，表示；
（2）若，，求的最小值.
20.（本题12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心距离水面的高度为米.以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转秒后盛水筒到水面的距离为米（规定：若盛水筒在水面下，则为负数）.
（1）写出（单位：米）关于（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
21.（本题12分）已知函数，若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点.
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定的值，并求的值.
22.（本题12分）若存在a，使得函数和满足，则称函数为的型“同形”函数.
（1）探究：若，，是否存在，使得函数为的型“同形”函数.若存在，求出a，b的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
宜春中学2023-2024学年高一下学期（基础部）第一次月考数学答案
一、单选、多选选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B A C A B C ABC BC ACD BD
三、填空题
13.或回答一个即可 14. 15.8
16.
四、解答题
17、【详解】（1）解：因为，，，且，，，解得，
（2）解：，.
因为，，解得.
18、【详解】（1）因为，，
所以，则.
因为，所以，解得，；
（2），，
即.
因为，所以，所以，
所以，.令，.
解得，.所以的单调增区间为，.
19、【解析】（1）在中，由，又，所以，
所以.
（2）因为，又，，所以，，
所以，又D，E，F三点共线，且在线外，所以有：，即.从而.
20、【详解】（1）如图，过作交于点，设筒车与水面的交点为M，N，连接.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则.
又因为，，所以，则.
，，
即，.
（2）不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为.
综上，的最小值为40.
21、【详解】（1）的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，，
故，，故.
当时，，
故函数的值域为.
（2）在上的图象如图所示：
因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，，故.
令，，则，，
故的图象在内的对称轴分别为：，，，，，
结合图象可得，，，，
故.
22、【详解】（1）存在，当时，函数为的型“同形”函数，
证明如下：因为，
所以当，时，函数为的型“同形”函数.
（2）
，不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，所以在上恒成立，
令，
当时，在上单调递增，所以，解得；
当时，在上单调递减，所以，解得（舍）；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得（舍），
综上，实数m的取值范围为.
