第十七章 勾股定理
一、单选题
1．如图，在中，，，，则边的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，，则的长为（ ）
A．22 B． C．21 D．
3．如图，在中，的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，在中，，是边上的中线，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．18 B．36 C．65 D．72
6．直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（ ）
A． B． C．6 D．13
7．在△ABC中，，边上的高，则边的长为（ ）
A．4 B．14 C．4 或14 D．8或14
8．如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（ ）
A．1 B． C． D．
10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），直角三角形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 。
14．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为 ．
15．如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为 ．
16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝ ．
17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的值：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是 ．
18．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折回向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是 ．
三、解答题
19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4．
(1)求证：∠C＝90°；
(2)求BD的长．
21．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．
22．如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
(1)直接写出______，______，______；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)直接写出边上的高______．
23．如图，每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求证：∠BCD＝90°.
24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求证：．
参考答案：
1．B
解：∵在中，，，，
∴，
2．D
解：由勾股定理得，，
，
，……，
∴可推导一般性规律为：，
∴，
3．A
解：∵，
∴，
由垂直平分线的性质得AD=BD，
∴的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=7，
4．A
解：由勾股定理得，，
∵是边上的中线，
∴，
∴的面积是，
5．C
解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，
∴，
则正方形ABDE的面积为：．
6．A
解：由题意得：斜边长为，
设斜边上的高为h，
则，解得：，
∴斜边上的高为，
7．C
（1）如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD﹣CD=9﹣5=4．
综上可得BC的长为14或4．
8．A
解：，
，
∵根据网格特点可知，为直角三角形，
∴边上的高为：，故A正确．
9．C
解：，
，
表示的数为：，
10．D
解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、， 根据图形不能证明勾股定理；
11．D
解：∵直角三角形的面积为，小正方形的面积为，
∴，，
∴，，
∴，
∴
12．C
解：（1），，
，
，
为直角三角形；
（2），，
，
为直角三角形；
（3），
，
为直角三角形；
（4），
设，，（其中，
，
不是直角三角形，
13．14
∵∠B=90°，AB=6，AC=10，
∴BC=
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=AC，
∴AE+BE=CE+BE=BC=8，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=6+8=14.
故答案为：14.
14．/
解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
15．3
解：设的长为则
折叠后的图形是，
，，．
，
，
又
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得．
．
即的长为
故答案为：3．
16．50
解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
17．③
在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7
由勾股定理得：AB＝＝，
由题意可知AB＝A′B′＝，
又OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝，
∵，
∴
∴BB′＝7 ＜1．
故答案为：③．
18．
根据题意，点到点的水平距离为，
点到点的垂直距离为，
，
故答案为：．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
解：（1）∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2= c DF﹣ c EF= c （DF﹣EF）= c DE=c2，
∴a2+b2=c2
20．（1）证明见解析；（2）5．
解：（1）∵AC2＋CD2＝42＋32＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝8，
∴BD＝BC－CD＝8－3＝5．
21．（1）；；（2）45°．
解：（1）根据题意，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，；
（2）连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=，
∵，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
22．(1)，，
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)
（1）解：由题意得：
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：是直角三角形，
理由：∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）设边上的高为h，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
23．（1）8＋2；（2）证明见解析.
解：(1)根据勾股定理可知AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，
∴四边形ABCD的周长为8＋2．
(2)证明：连接BD，
∵BC＝，CD＝，DB＝，
∴BC2＋CD2＝BD2．
∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°
24．见解析
证明：由题意知，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
