东煌学校2023-2024学年高二下学期3月月考
数学
一、单选题
1．在等差数列中，若，则该数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
2．各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．2048
3．用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
4．数列{}中，，前和为，则为（ ）
A．-12 B．16 C．-10 D．12
5．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列{an}中，a5、a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则a3+a9等于
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
7．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．该数列为递增数列 D．
11．已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．若数列对任意满足，则下列关于数列的命题正确的是（ ）
A．可以是等差数列 B．可以是等比数列
C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列
三、填空题
13．已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则 ．
14．设为等差数列的前项和.若，，则 .
15．已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
16．已知等差数列的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为 .
四、解答题
17．已知各项均为正数的等差数列的前三项和为12，等比数列的前三项和为，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，其中，求数列的前20项和.
18．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．
(1)当时，求、的值；
(2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由．
19．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
20．已知等差数列满足：，，其前项和为．
(1)求数列的通项公式及；
(2)若，求数列的前项和．
21．已知数列是递增的等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
22．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，则第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系如下： ；
(1)证明是等比数列并求通项公式；
(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）参考答案：
1．B
【分析】利用等差数列的求和公式与等差数列的基本性质可求得数列的前项和.
【详解】由题意可知，等差数列的前项和为.
故选：B.
2．B
【分析】基本量解方程，算出公比即可求解.,
【详解】设等比数列的公比为，显然，则由，可得，即，解得（舍去），∴
故选：B．
3．C
【分析】分析、时等式的左边的代数式，可得结果.
【详解】当时，等式的左边是，等式左边共项，
当时，等式的左边是，等式左边共项，
增加了、、，共项.
故选：C.
4．A
【分析】根据，利用并项求和法求解.
【详解】解：因为，
所以，
，
，
，
故选：A
5．A
【解析】根据图象计算出、、、的值，进而可归纳得出数列的通项公式.
【详解】设第幅图中着色的三角形个数为，
由图形可得，，，，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为.
故选：A.
【点睛】本题考查利用观察法求数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
6．D
【详解】试题分析：利用根与系数的关系求出a5+a7=4，再由等差数列的性质得答案．
解：∵a5、a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，
∴a5、a7是方程x2﹣4x+3=0的两根，
则a5+a7=4，
由等差数列的性质可得：a3+a9=a5+a7=4．
故选D．
考点：等差数列的通项公式．
7．D
【分析】首先由条件求，再代入等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】由条件可知，当时，，，
解得：，因为，
所以，得，
，解得：或（舍）.
故选：D
8．B
【分析】
利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.
【详解】由（，）可得，
已知，，所以，
即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
，，，，，
，
故选B.
9．BC
【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．
【详解】设等比数列的公比为，
，，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC．
10．ACD
【分析】根据首项可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对AB，由，得，故，故A正确，B错误；
对C，得该数列为递增数列，故C正确；
对D，，则，故D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据给定条件求出，再求出即可判断得解.
【详解】等比数列的首项为1，公比为，由，解得或或，
当时，由，得，因此；
当时，由，得，因此；
当时，由，得，因此，ABD可能，C不可能.
故选：ABD
12．ABD
【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合已知条件，即可判断和选择.
【详解】因为，故可得或；
若，则数列是等差数列；
若，且，则数列是等比数列；
若，且，则数列是等差数列；
故正确；
由，得不出数列是非零常数列，
故不可以既是等差又是等比数列，故错误；
数列可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：，
满足题意，但既不是等差数列也不是等比数列，故正确.
故选：.
13．
【分析】根据根与系数的关系可得，，进而可得，，最后根据等比数列的性质即可求解.
【详解】∵，是方程的两个实数根，∴，，
故，，根据等比数列的性质有：且，
故．
故答案为：
14．15
【分析】根据等差数列基本量运算求出公差，利用等差数列前n项和公式运算得解.
【详解】，
，又，解得，
.
故答案为：15.
15．
【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列下标的性质进行求解即可.
【详解】解析：因为等比数列的各项均为正数，且，
所以
，
故答案为：
16．5
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a4+a7+a10=9，S14-S3=77，求得即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
因为a4+a7+a10=9，S14-S3=77，
所以，
解得
所以，
所以当时，Sn取得最小值，
故答案为：5
17．(1)，
(2)
【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；
（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.
【详解】（1）解：设等差数列的首项为、公差为，
等差数列的首项为、公比为，
由题意，得，
解得，，，，
所以，；
（2）解：由题知的前20项和
，
即.
18．(1)，；
(2)当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
【分析】（1）由递推关系得出、的值；
（2）由的关系得出，讨论的值，结合等比定义判断即可.
【详解】（1）由题意可得，，.
（2）当时，.
由，两式相减得.
当时，不是等比数列；
当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列.
综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
19．证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是 ，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知求得等差数列的公差，进一步求出首项，即可得到数列的通项公式及；
（2）由（1）得，利用裂项相消法求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
则，
，；
（2）由（1）可得，
．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由可求得，根据等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果.
（1）
设递增的等差数列的公差为，且，
，解得：（舍）或，
.
（2）
由（1）得：；
设数列的前项和为，
，，
，
.
22．(1)证明见解析，；
(2)至少6年.
【分析】（1）由题设，根据等比数列定义判断，由等比数列的通项公式可求得答案；
（2）由（1）得，整理并在两边取常用对数可求得从而得出结论．
【详解】（1） ，
，
又，所以，
是以为首项，为公比的等比数列；
，
；
（2）由（1）得，
∴，两边取常用对数得：，
所以，
∴．
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
