下关一中教育集团2023~2024学年高一年级下学期段考（一）
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合颜目要求）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知为单位向量，且，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数（其中）图象的一个对称中心为，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
6.已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，四边形是正方形，分别为的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列命题中错误的有（ ）
A.的充要条件是且
B.若，则
C.若，则存在实数，使得
D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.恒成立
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ）
A.
B.对任意的
C.若对任意实数，则实数的取值范围是
D.若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若扇形的周长为，面积为，则它的圆心角的弧度数为__________.
14.设向量，若，则__________.
15.正方形的面积为，点在线段上.若，则__________.
16.已知函数若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为__________.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知向量.
（1）求满足的实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.（本题满分12分）
如图所示，在平行四边形中，有：.
（1）求的大小；
（2）若，求平行四边形的面积.
19.（本小题满分12分）
中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
20.（本小题满分12分）
已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，且，又.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的增区间.
21.（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）设的面积为，周长为，求的最大值.
22.（本小题满分12分）
把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为.已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）函数，若对，都有恒成立，求实数的取值范围.
下关一中教育集团2023~2024学年高一年级下学期段考（一）
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B A D D D D
【解析】
1.集合或，则，故选C.
2.向量，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
3.设的夹角为，则，由已知可得，所以，，即，即，即，解得，故，故选B.
4.在中，，由余弦定理可得，解得，所以，故选A.
5.因为函数的一个对称中心为，且，将点代入，可得，解得，所以，可得，所以函数的图象向右平移个单位可得到的图象，故选D.
6.点在幂函数的图象上，在上单调递减.，，即，故选D.
7.，所以，所以，所以，故选D.
8.因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②.令，由①得：，由②得：，因为，所以，即，令，由①得：，解得：，所以.又因为，即，则，所以函数是以4为周期的函数，所以，故选D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC BCD BC BD
【解析】
9.对于的充要条件是且方向相同，故错误；对于：当时，则不一定平行，故B错误；对于：当时，不存在实数，使得，故C错误；对于D：根据向量加 减法的三角形法则，可知成立，故D正确，故选.
10.因为，由的图象知其经过点，故得，即，因为，则，故，又图象经过点，则，所以或，解得或，由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，即得，解得，满足（*），故.对于，因为周期，故A错误；对于，故正确；对于，当时，，此时为增函数，故C正确；对于，令，则当时，，则在上单调递减，故有，此时有，故D正确，故选BCD.
11.由题意，解得，故错误；而，且，即，所以，故C正确；联立与，解得，所以，故B正确；又，所以，故错误，故选BC.
12.对于A，，即，故A错误；对于，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于C，恒成立，即
恒成立，则，解得，故C错误；对于，由题可知存在，使得成立，设，因为，要满足条件，则①或②由①得，由②得，综上，得的取值范围是，故D正确，故选BD.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 2 2
【解析】
13.设扇形的弧长为，半径为，由题意可知解得，设扇形的圆心角为，则.
14.由题意，因为，所以，解得，所以，从而.
15.如图1，建立直角坐标系，因正方形的面积为16，则，，又，则为的中点，则，因点在线段上，则设，则，，则，故.
16.画出的图象如图2所示，由于方程存在三个不同的实数解，所以，由图知
，且
，所以
，则，所以
，所以的最大值为2.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由，得，
则有解得
所以.
（2）依题意，，
由，得，解得，
所以.
18.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，
由正弦定理得，，
.
又，则.
.
（2）在平行四边形中，，
在中，由余弦定理得，，
即，
解得：或
当时，平行四边形的面积：
当时，平行四边形的面积：
19.（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得，，
所以
即
（2）当时，；
当时，，对称轴；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意设，
则.
由图可知点在同一个周期内，
则，
又因为，则，可得，解得，
则，解得，
所以，
即.
（2）函数
，
令，则，
所以.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）因为，所以.
又因为，所以，所以，所以.
又因为，所以
（2）因为，所以，
所以，
所以.
又因为，所以，
所以
.
又因为，所以，所以，
当且仅当，即时，有最大值为，
综上所述，的最大值为.
22.（本小题满分12分）
解：（1），
则，
的开口向下，对称轴为.
因为，所以.
（2），
，令，则，
函数转化为函数，
函数在上单调递增，故当时，，
即函数的最小值为1.
由题知，，即对于恒成立，
即对于恒成立.
令，则，记，故只要.
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得.
综合①②③得，.
