备考2024年中考数学探究性训练专题16 分段函数与函数动点问题
一、选择题
1．（2021七下·清苑期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额 ，与购书数量 之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：
⑴小明说： 与 之间的函数关系为 ；
⑵小刚说： 与 之间的函数关系为 ；
⑶小聪说： 与 之间的函数关系在 时， ；在 时， ；
⑷小斌说；我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系．
购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
其中，表示函数关系正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】函数的表示方法；分段函数；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：在0≤x≤10时，y=8x；在x＞10时，y=6.4x+16．
列表如下：
购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
所以（1）（2）错误，（3）（4）正确．
故答案为：B．
【分析】本题采取分段收费，分别求出①在0≤x≤10时，②x＞10时的付款金额 与购书数量 之间的函数关系式，然后逐一进行判断即可.
二、填空题
2．（2023八下·武昌期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：
①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；
③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号）
【答案】①③④
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：当x<-1时，y=-a(x+1)=-ax-a，y随x的增大而减小；
当-1≤x≤0时，y=a(x+1)=ax+a，y随x的增大而增大；
当0
∴当-1≤x≤1时，y有最小值、也有最大值，图象关于y轴对称，故①正确，②错误，③正确；
当x=0时，y=a，
∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，a），
若图象与直线y=b至少有3个交点，则0
【分析】分x<-1、-1≤x≤0、0
3．（2017九上·乐清月考）心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第 分钟开始讲解这道题．
【答案】7.5
【知识点】分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】根据分段函数可画出函数的图象，
然后设上课后第t 分钟讲这道题，则 = ，解方程可求得t=7.5或t=211.5（舍去），因此可知教师应在上课后7.5分钟开始讲解这道题.
故答案为：7.5
【分析】根据分段函数可画出函数的图象，根据题意建立方程，解方程求出t的值，即可解决问题。
4．（2021八下·温岭期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1， ）
（2）根据图象，当的取值范围为 时，的周长大于的周长.
【答案】（1）1
（2）0＜x＜1
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当时，，
故点的坐标为，
故答案为1；
（2）由，得：，
由题意得：，，
则的周长，
而的周长，
则当的周长的周长时，
即，
由（1）知，当时，，当时，，
则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、，
从图象看，当0＜x＜1时，，即的周长大于的周长，
故答案为：0＜x＜1.
【分析】（1）当x＝1时，把x=1代入y与x的函数关系式可求得y的值，即可得点P的坐标；
（2）由△COD的周长 △AOB的周长＝12＋y x 12＝y x＞0，即可求解．
三、数形结合探究题
5．（2023八下·沙坪坝月考）小飞哥根据学习“一次函数”时积累的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小飞哥的探究过程，请补充完整：
（1）平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①在函数中，自变量的取值范围是 ；
②列表：
… 0 1 2 3 …
… 0 …
其中， ；
③描点、连线，在平面直角坐标系中，画出的图象；
（2）结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
性质1： ；
性质2： ；
（3）小飞哥利用所画函数图象，估算不等式的解集是 ．
【答案】（1）x为任意实数；；描点、连线，画出函数的图象如图： ；
（2）当时，函数有最小值为；图象关于直线对称；
（3）
【知识点】函数值；函数的图象；分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】（1） ① 自变量的取值范围是任意实数，没有实际问题的限制。 ② 观察列表取值，发现x=0和x=2时，y=-2，可知，x=-1和x=3时，y值相同，则m=-1，
（3） 估算不等式 的解集
把不等式右边看作y=，过（3，-1）的正比例函数，与 交于（-3，1）和（3，-1）两点，则不等式的解集是
【分析】本题考查函数的图象性质与不等式的关系，掌握基础知识是关键。（1）画图象三步骤，列表，描点，连线。（2）函数性质从增减性，函数最大值和最小值，对称轴来描述。（3）考查函数与不等式的关系时，把不等号两边分别看作两个函数，找出其交点，即可找出不等式的解集。
6．（2020·北京模拟）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为射线BA上一个动点，连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC。过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE。请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。
小明根据学习函数的经验，对线段BE，BP，BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整：
（1）对于点PC在射线BA上的不同位置，画图、测量，得到了线段BE，BP，BC的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
BC/cm 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83
BE/cm 2.10 1.32 0.53 0.00 1.32 2.10 4.37 5.6
BP/cm 0.52 1.07 1.63 2.00 2.92 3.48 5.09 5.97
在BE，BP，BC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数， 的长度是常量。
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。
【答案】（1）BP；BE；BC；BC
（2）解：如图
（3）解：BC±BE= BP
【知识点】分段函数；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合题意，即可判断自变量和常量；
（2）根据（1）中的函数关系，画出图象即可；
（3）根据函数图象，表示出三条线段之间的数量关系即可。
7．（2020·鼓楼模拟）如图1，AB为半圆O的直径，半径的长为4cm，点C为半圆上一动点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，点D为弧AC的中点，连接DE，如果DE=2OE，求线段AE的长.
小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决.
小华假设AE的长度为xcm，线段DE的长度为ycm.
（当点C与点A重合时，AE的长度为0cm），对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是小何的探究过程，请补充完整：（说明：相关数据保留一位小数）.
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y/cm 0 1.6 2.5 3.3 4.0 4.7 5.8 5.7
当x=6cm时，请你在图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量此时线段DE的长度，填写在表格空白处：
（2）在图2中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象解决问题，当DE=2OE时，AE的长度约为 cm.
【答案】（1）5.3
（2）解：根据数据表格画图象得
（3）2.5或6.9
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）根据题意取点、画图、测量的x=6时，y=5.3
故答案为5.3
（ 3 ）当DE=2OE时，问题可以转化为折线y= 与（2）中图象的交点经测量得x=2.5或6.9时DE=2OE.
故答案为2.5或6.9
【分析】（1）（2）按照题意取点、画图、测量即可.（3）中需要将DE=2OE转换为y与x的函数关系，注意DE为非负数，函数为分段函数.
8．（2019九上·朝阳期中）如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
y/cm2 4.0 3.7 3.9 3.8 3.3 2.0 …
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为 cm．
【答案】（1）0≤x＜4
（2）解：3.8；4.0
（3）解：描点，连线，画出如图所示的图象，
（4）0或2
【知识点】函数自变量的取值范围；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵点E在AB上，
∴0≤x＜4，
故答案为：0≤x＜4；（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEF，
∴ ，
∵AE＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∴ ，
∴BF＝ ，
当x＝1时，BF＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣ ＝ ，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣ ×2×1﹣ ×3× ﹣ ×4× ＝3.75≈3.8，
当x＝2时，BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣ ×2×2﹣ ×2×2＝4.0
故答案为：3.8，4.0；（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，
即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，
故答案为0或2．
【分析】（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出 ，进而表示出BF= ，再取x=1和x=2求出y的即可；（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；（4）由图象可知，即可得出结论．
9．（2022八下·郑州期中）问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究.下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：
（1）如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：
若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m= ▲ ；
（2）观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质；
（3）直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围.
【答案】（1）解：将各点连接起来，画出该函数的图象如下：
；-6
（2）解：图象的两条性质：1、函数的图象关于轴对称；2、当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
（3）解：或
【知识点】分段函数；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：为该函数图象上不同的两点，
，
将点代入得：，
将点代入得：，
解得或（舍去），
故答案为：-6；
（3）解：对于函数，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
结合图象可知，当时，或.
【分析】（1）将各点连接起来，画出该函数的图象；将点B(6，n)代入函数的解析式求出n的值，再将点A(m，n) 代入函数的解析式，即可得出结果；
（2）分析函数的对称性和增减性，即可得出结果；
（3）先分别求出y=0和y=3时的x值，再结合函数图象，即可得出自变量x的取值范围 .
10．（2022·信阳模拟）小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是上一动点，直径，过点C作交于点D，O为AB的中点，连接OC，OD，当的面积为时，求线段CD的长.
小航结合学习函数的经验探究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量、计算线段CD的长度和的面积得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，的面积为0）.
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
0 2.0 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0
填空：m= .（结果保留一位小数，参考数据：，）
（2）将线段CD的长度作为自变量x（cm），的面积是x的函数，记为，请在如下平面直角坐标系xOy中画出y关于x的函数图象，并根据图象判断下列说法是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
①该函数图象为抛物线的一部分；（ ）
②当时，y随x的增大而增大；（ ）
③的面积有最大值.（ ）
（3）继续在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当的面积为时，线段CD长度的近似值.（结果保留一位小数）
【答案】（1）6.9
（2）解：图象如图所示
×；×；√
（3）解：图象如图所示
1.7cm或7.8cm
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵直径AB＝8cm，
∴OC＝OD＝4.0cm，
当CD＝4.0cm时，△OCD为等边三角形，
设△OCD的高为h，则h＝4×sin60°＝2，
∴S△OCD＝×4×≈4×1.73＝6.9（cm2），
故答案为：6.9；
(2)图象如图所示
①二次函数关于对称轴对称，当x＝0时和x＝8时，y＝0，则x＝1应和x＝7相等，与题意矛盾，故错误；，
②由图象当x＞7时图象呈下降趋势，故错误；
③结合图象函数先递增后递减，存在最大值，故正确.
故答案为：×，×，√；
（3）由图象可知，当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.7cm或7.8cm.
答：线段CD长度的近似值为1.7cm或7.8cm
【分析】（1）由直径AB＝8cm，得OC＝OD＝4cm，当CD＝4cm时，可得△OCD为等边三角形，利用60°的正弦求出高，最后代入面积公式即可求出△OCD的面积；
（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；①由二次函数的对称性可得出结论错误；②由图象可得当x＞7时图象呈下降趋势，结论错误；③结合图象可得函数先递增后递减，可判断存在最大值，结论正确；
（3）结合函数图象，直接估计答案即可.
11．（2022·衢州模拟）如图1，中，，，cm，点D为AB边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动的过程中，设cm，cm.根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完整：
（1）通过取点、画图、测量或计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm … 1 2 3 …
y/cm … 0.4 0.8 1.0 m 1.0 0 4.0 …
则表中m的值为 .（保留一位小数）
（2）在图2的平面直角坐标系中，以表格中各对x，y的值为坐标描点，并画出该函数的大致图象；
（3）结合（2）中画出的函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为 cm.
【答案】（1）1.2
（2）解：根据已知数据画出图形，如下
（3）2.6或3.1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；描点法画函数图象；动点问题的函数图象；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）当x=2时，AD=2，
∵cm，
∴AD=BD，
∵，
∴CD=AD=2，
∴，
∴CE=2DE，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
即表中m的值为1.2；
故答案为：1.2
（3）当时，即，在（2）中图象画出直线，
观察图象，并测量两个函数图象得：交点的横坐标为2.6或3.1，
即AD的长度约为2.6或3.1.
故答案为：2.6或3.1.
【分析】（1）当x=2时，AD=2，根据AB=4cm可得AD=BD，结合直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=2，推出∠ACD=∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE=2DE，利用勾股定理可得DE，据此可得m的值；
（2）根据描点、连线即可画出函数的图象；
（3）当AE=AD时，即y=x，画出y=x的图象，结合图象找出两个函数图象的交点的横坐标即可.
12．（2021·驿城模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.
（1）列表：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中， ， .
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 ，在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时 ，求自变量x的值；
【答案】（1）；2
（2）解：如图所示：
（3）解：①＜；＜； ②当 时， 时，有 ， ∴ 或 ， 当 时， 时，有 ， ∴ ， 故 或 或 ；
【知识点】分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1） 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 中得， ，
∴ ，
故答案为： ，2；
（3）①由图象可知A与B在 上，y随x的增大而增大，所以 ；
C与D在 上，所以 ；
故答案为：＜，＜；
【分析】（1）把x= 3代入y= 中即可求得m的值；把x=3代入y=|x-1|中，即可求得n的值；
（2）描点连线即可；
（3）①A与B在y= 上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y=|x-1|上，观察图象可得x1＜x2；
②当y=1时，1=|x-1|，则有x=0或x=2；1= ，则有x= 2；
13．（2020·重庆模拟）小东同学根据函数的学习经验，对函数y = + 进行了探究，
下面是他的探究过程：
（1）已知x＝－3时 = 0；x＝1 时 = 0，化简：
①当x＜－3时，y＝
②当－3≤x≤1时，y＝
③当x＞1时，y＝
（2）在平面直角坐标系中画出y = + 的图像，根据图像，写出该函数的一条性质.
（3）根据上面的探究解决，下面问题：
已知A(a，0)是x轴上一动点，B(1，0)，C(－3，0)，则AB＋AC的最小值是
【答案】（1）-2-2x；4；2x+2
（2）解：在平面直角坐标系中画出y=|x-1|+|x+3|的图象，如图所示：
根据图象，该函数图象不过原点.
故答案为：函数图象不过原点；
（3）4
【知识点】函数的图象；分段函数；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】（1）∵x=-3时|x+3|=0；x=1时|x-1|=0
∴①当x＜-3时，y=1-x-x-3=-2-2x；
②当-3≤x≤1时，y=1-x+x+3=4；
③当x＞1时，y=x-1+x+3=2x+2；
故答案为：-2-2x；4；2x+2.
（ 3 ）根据上面的探究可知当A（a，0）位于点B（1，0）和点C（-3，0）之间时，AB+AC有最小值4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象，则易得一条函数性质；（3）A（a，0）位于点B（1，0）和点C（-3，0）之间时，AB+AC等于线段BC的长，此时为其最小值.
14．（2021·兰州）在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转，角的两边分别交射线 于 ， 两点， 为 上一点，连接 ，且 （当点 ， 重合时，点 ， 也重合）.设 ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距离为 .
小刚根据学习函数的经验，对因变量 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小刚的探究过程，请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据 ， 两点间的距离 进行取点，画图，测量分别得到了 与 的几组对应值；
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8
6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65
请你通过计算补全表格： ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 关于 的图象；
（3）探究性质：随着自变量 的不断增大，函数 的变化趋势；
（4）解决问题：当 时， 的长度大约是 .（结果保留两位小数）
【答案】（1）3.6
（2）解：函数图象如下图：
；
（3）解：根据图象可知：随着自变量 的不断增大，函数 不断减小；
（4）3.50
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当 时，即 两点之间的距离为 ，
旋转至如图所示时：
∴此时点 和点C重合，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3.6；
（4）∵ ，
∴ ，
如图： 与（2）中函数图象交点即为所求
∴ ，
即 的长度大约是： cm，
故答案为：3.50.
【分析】（1）如图1中，连接DF．首先证明∠AFD＝∠ACD＝90°，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△ABC，于是可得比例式，然后由比例式可求得a的值；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据函数图象可得结论；
（4）作出直线CD的解析式y＝ x＋8的图象，两个函数图象的交点的横坐标，即为BD的值．
15．（2023九上·长春期中）利用函数图象探究方程x|x-2|=的实数根的个数．
（1）设函数y=x|x-2|，则这个函数的图象与直线y=的交点的 坐标（填横或纵）就是方程x|x-2|=的实数根．
（2）分类讨论：当x<2时，y=-x2+2x；当x≥2时，y= ．
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≥2时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x<2时的函数图象．
（4）在给定的坐标系中画直线y=，观察图象可知方程x|x-2|=的实数根有 个．
（5）深入探究：若关于x的方程2x|x-2|=m有3个实数根，则m的取值范围是
【答案】（1）横
（2）x2-2x
（3）解：当x<2时，y=-x2+2x=-(x-1)2+1
∴顶点坐标为（1，1）
当y=0时，x=0或2
∴函数y=-(x-1)2+1与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）
描点，连线，函数图象如图所示
（4）；3
（5）0
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
函数y=x|x-2|的图象与直线y=的交点的横坐标就是方程x|x-2|=的实数根
故答案为：横
（2）当x≥2时，x-2≥0
∴y=x|x-2|=x(x-2)=x2-2x
故答案为：x2-2x
（4）函数图象如图，
直线y=的图象与y=x|x-2|的图象有3个交点
则方程x|x-2|=的实数根有3个
故答案为：3
（5）根据图象可知，当x=1时，y=1
关于x=的方程2x|x-2|=m有3个实数根
即直线的图象与y=x|x-2|的图象有3个交点
∴
∴0
（2）根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案.
（3）根据（2）中的函数解析式，找到特殊点坐标，通过描点，连线，即可求出答案.
（4）根据方程的根为两函数图象相交点的个数即可求出答案.
（5）根据两函数图象相交点的横坐标的特征，进行分析即可求出答案.
16．（2023九上·榆树月考）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程．
下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，补全该分段函数的图象．
写出该分段函数的一条性质： ；
（2）直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是 ；
（3）若该分段函数图象上有两点，且，则的取值范围是 ；
（4）当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，直接写出满足条件的的取值范围及其对应的值．
【答案】（1）当时，随的增大而增大答案为唯一
（2）或
（3）或
（4）解：，
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
（2）由图可知-1≤k≤4，或k=-5时图象与分段函数有两个交点。
（3）由图可知m＜-1或-1＜m＜4.
【分析】（1）根据函数图象进行解答即可。
（2）如图当-5＜k＜-1时，y=k会与图象有3个交点，k=-5有两个交点，-1≤k≤4时有两个，因此能够得出答案。
（3）当x=-3时y=-4，由图象知当x＜-3或-1＜x＜4时y值都大于-4，由此可得m取值范围。
（4） 由图象可知，若-5
（1）【探究】列表：通过观察补全下表（精确到 0.01）．
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165
1.72 1.08 0.37 0 0.73 1.08 1.41 1.72
描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点 ，并画出 关于 的函数图象．
（2）【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
（3）【应用】有一种 “千斤顶”，它是由4根长为 的连杆组成的菱形 ，当手柄顺时针旋转时， 两点的距离变小（如图 3）．在这个过程中，当 时， 的度数约为 ．（精确到1°）．
【答案】（1）解：
由表格中数据可知：x=90°时，y=0，当x≠90°，若∠ADB取值满足两角互补关系时，对应的函数值相等，
据此补全表格为：
x/° 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165
y/cm 1.72 1.41 1.08 0.73 0.37 0 0.37 0.73 1.08 1.41 1.72
根据表格中数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象，如图：
（2）当x=90°时，y的最小值为0；图象关于直线x=90°对称
（3）44°或136°
【知识点】菱形的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（2）根据画出的函数图象，可知：
①当x=90时，y=0，为图象的最低点；②图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大.
故答案为：当x＝90时，y有最小值0；图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大；
（3）∵33÷30=1.1cm，
∴可将边长按比例缩小，
∴结合（2）探究结论：当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大，
∴可近似用一次函数求解x值，设直线y=kx+b，
∵1.08＜1.1＜1.41，
∴30°＜∠ABD＜45°，
∴函数图象经过点（45°，1.08），（30°，1.41），
∴，解得：，
∴解析式为y=-0.022x+2.07，
∴1.1=-0.022x+2.07，
解得：x≈44°，
∴由函数图象关于x=90对称，
∴x=136°时，y=1.1.
故答案为：44°或136°.
【分析】（1）由表格中数据可知：x=90°时，y=0，当x≠90°，若∠ADB取值满足两角互补关系，对应的函数值相等，即x=30°和x=150°的y值相等，y=1.41；x=60°和x=120°的y值相等，y=0.73；x=75°和x=105°的y值相等，y=0.37，即可补全表格数据；根据表格中的数据，用“描点法”画出函数图象即可；
（2）根据已画出的函数图象可知：当x=90时，y=0，为图象的最低点，图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大，即可解答. 答案不唯一，写出两条符合该函数图象的性质即可；
（3）由33÷30=1.1cm，可将边长按比例缩小，再结合（2）已探究的结论，可将此函数近似看作为一次函数，利用一次函数性质求解；由该图象经过点（45°，1.08），（30°，1.41），利用待定系数法求出解析式，把y=1.1代入求出x=44°，再根据函数图象的对称性，求出关于x=90对称的角度即可解决问题.
18．（2020八上·北京月考）如图，在 中， ， 厘米， 厘米，点P从点B出发，沿 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x（s） 0 1 2 3 4 5 6 7
y（ ） 0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7 m 3.6
m的值是 ．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在 中画出点P所在的位置，此时P运动的时间为 ▲ 秒
【答案】（1）3
（2）解：描点，连线，画图像如下．
（3）解：P点位置如图
；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）根据表可知，运动6s，即BC+CP=6．
∵BC=3， ∴CP=6-3=3
∵
∴ 是等边三角形，所以BP=3，即m=3
故答案为3
（3）P点位置如图，此时曲线位置为最低点，
∵ ，∴ ．
所以运动时间 ．
故答案为
【分析】（1）根据题意，P点走6s时，得到CP为3厘米，即可证明 为等边三角形，所以BP=3，即m=3．（2）描点，连线即可画出图像．（3）由点到直线的距离垂线最短，即可得出 时，图像有最低点．由图结合勾股定理可求出CP长度，即可求出x．
19．（2020九上·金水月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8
y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4 b 1.2 0.9 0.4 0.2
请你补全表格：a＝ ；b＝ .
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： .
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 cm.（保留一位小数）
【答案】（1）4.9；1.8
（2）解：根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）y随x的增大而减小
（4）3.0
【知识点】锐角三角函数的定义；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，则AB＝10，AD＝5，cos∠BAC＝ ，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，
∵∠MDN＝∠A，故AH＝ AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝ ，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣ ≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为：4.9，1.8；
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看.两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为：3.0.
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，则可求出AD的长，在Rt△ABC中，根据三角函数定义求出cos∠BAC的值，当x＝0时，点A、M重合，过点N作NH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，然后利用三角函数定义求出AN，再根据线段间的和差关系求出CN，即y值，从而确定b值；用同的方法可求b值；
（2）根据表格数据描点、连线，绘出函数图象即可；
（3）观察函数图象可得图象向右下降，即可作答；
（4）在图2的基础上，画出直线y =x，找出两个函数的交点横坐标，即可作答.
20．（2020九下·北碚月考）某数学小组对函数y1＝ 图象和性质进行探究.当x＝4时，y1＝0.
（1）当x＝5时，求y1的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣ 的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集.
【答案】（1）解：由题意x＝0时，y1＝0，
∴16+4b+8＝0，
∴b＝﹣6，
∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3
（2）解：函数图象如图所示：
性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大.
（3）x＜﹣2或x＞0.
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0.
【分析】（1）利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可；（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可；（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可.
21．（2017八下·海淀期中）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ．
（2）下表是 与 的几组对应值．
如图，在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．
根据描出的点，画出该函数的图象，标出函数的解析式．
（3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
【答案】（1）任意实数
（2）解：如图所示：
（3）当 时， 随 增大而增大
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；描点法画函数图象
【解析】【解答】（ ） 取值范围是全体实数．
（ ）由图可得：当 时， 随 增大而增大（答案不唯一）．
【分析】因为不论x取何值，≥0，所以根据二次根式有意义的条件可得x的取值范围是全体实数；
（2）根据二次根式的双重非负性可知，y ≥0，所以该函数的图象在一、二象限，根据表格中的值描出各点，再用平滑的曲线连接起来即可；
（3）由图可得，当 x＜时， y 随 x 增大而减小（答案不唯一）。
22．（2024八上·龙岗期末）探究与应用
【探究发现】
某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：
点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，的距离为．随着x的变化，的距离y会如何变化呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
0 1 2 3 4 5
4 m 2 1 0 1 2 3
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）；
（2）请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【应用拓展】
若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系： ；
（4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ．
(备注：直线y=2即过点且与x轴平行的直线．)
【答案】（1）3；是
（2）解：依题意得：
所画函数图象如图所示
函数的性质：该函数图象关于直线对称
（3）
（4）或
【知识点】函数的概念；函数的图象；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）y===3，∴ m=3；
给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数.
故答案为：3；是；
（3）由（2）可知P（a，n），Q（b，n）关于直线x-=2对称，
∴，
∴ a+b=4.
故答案为：a+b=4.
（4）新函数图象如图，
∵ y=kx+3，
∴ 该函数过点（0，3），
∵ A（2，4），C（0，2），E（-4，6），
∴ k直线AC==1，k直线CE==-1
当函数与直线AC平行时，k=1，
当函数与直线CE平行时，k=-1，
∵ 一次函数y=kx+3与新函数图象只有一个交点，
∴ k≥1或k≤-1.
故答案为：k≥1或k≤-1.
【分析】（1）根据两点的距离公式，即可求得m；根据函数的定义，即可判断y是x的函数；
（2）根据题意可得该分段函数，描点，连线，即可画出函数图象，观察图象可得函数的性质；
（3）根据（2）中的性质可得，即可求得；
（4）作出翻折后的新图像，再求得一次函数分别与直线AC，直线CE平行时k的值，即可求得.
23．（2020·北京模拟）已知 均是x的函数，下表是 与 的几组对应值．
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 与x之间的变化规律，分别对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：
①当 时，对应的函数值 约为 ；
②写出函数 的一条性质： ；
③当 时， 的取值范围是 ．
【答案】（1）解：描点作图如下：
如图：
（2）①3.13；当 时， 有最小值 ； ，或 ．
【知识点】数学思想；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（2）观察图像得：①3.13；
②当 时， 有最小值 ；
③ ，或 ．
故答案为： 当 时， 有最小值 ， ，或 ．
【分析】(1)根据给出的对应数值描点作图即可；(2)①根据图形观察可得答案，②根据图像得出性质即可，③观察图像利用函数值的大小确定自变量的取值范围即可．
24．（2021·郑州模拟）小星在学习中遇到这样一个问题：如图1
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，点
是线段
上一动点，连接
，以
为圆心、
的长为半径画弧交线段
于点
，连接
，当
是
中某条边的
倍时，求
的长.小星的探究过程如下：
⑴小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当
时，通过推理计算可得
的长为 .但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到
的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
⑵小星将线段
的长度记为
，
和
的长度分别记为
，
，并分别对函数
，
随着自变量
的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：
①在探究过程中，小星发现当
时，无须测量可以求出
的长，此时
的长约为 （结果精确到
.参考数据：
）.
②利用表格中的数据，小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了
关于
的函数图象，请你根据上文中
和
的
组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出
关于
的函数图象
⑶小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式： ，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
⑷请结合图象直接写出：当
是
或
的
倍时，
的长约为（结果精确到
）.
【答案】解：（1）3.60；
（2）①2.48；
②根据上文中 和 的 组对应值描点连线绘制函数图象如下，
（3）y=1.5x；
（4）2.0和1.5（答案不唯一）.
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）在
中，
，
，则
，
，
为等腰直角三角形，
当
时，则
，
解得
，则
cm，
故答案为：3.60；
（2）①当
时，则
，
而
，故
cm，
故答案为：2.48；
（3）要想求出结果，必须确定一条直线
，这样会出现1.5倍的关系，
故答案为：
；
（4）从图象看
和其他两个函数交点的横坐标分别约为
和
（答案不唯一），
故答案为：2.0和1.5（答案不唯一）.
【分析】（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合CE=2求得BE的长，然后结合BP=1.5PE，即可求得BP的长；
（2）①当x=0时，点P与B点重合，然后得到AP=AQ=6，再由勾股定理求得AE的长，进而得QE的长即为y2的值；②根据表格中数据进行描点，再按照描点、连线作出函数图象即可；
（3）根据已知条件需分当BP=1.5PQ和当BP=1.2QE分别求出y1与x的关系和y2与x 的关系，即可得到结果；
（4）结合（2）中的数据得到y1与x的关系和y2与x的关系，分别联立y=
x求得x的值，即可得到结果.
25．（2020八上·余姚期末）如图，在 中， 是 的中点， 是边 上一动点，连结 ，取 的中点 ，连结 .小梦根据学习函数的经验，对 的面积与 的长度之间的关系进行了探究：
（1）设 的长度为 ， 的面积 ，通过取 边上的不同位置的点 ，经分析和计算，得到了 与 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知， ， .
（2）在平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令 的面积为 .
①用 的代数式表示 .
②结合函数图象.解决问题：当 时， 的取值范围为 .
【答案】（1）2；1
（2）解：
（3）解：①由题意可得在 ，边 上的高为2. ∴ . ∵F是AE的中点 ∴ . ；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）设 中DE边上的高为h
当 时， 可知
当 时， ，∴
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
故答案为：2，1；
（ 3 ）②如图
根据图象可知当 时， 的取值范围为
故答案为：.
【分析】（1）先通过表中的已知数据得出 的高，然后再代入到面积公式中即可得出答案；（2）根据表中的数据描点，连线即可；
（3）①直接利用面积公式及中线的性质即可得出答案；②将两个图象画在同一个直角坐标系中，从图象中即可得出答案.
26．（2023八下·南岸期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程，请你补充完整
（1）列表：
① ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则 ；
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最大值为 ；
②写出函数图象的两条性质： ；
③若方程有两个实数解，求的取值范围： ；
④当时的取值范围是 ；
⑤将沿轴至少平移 个单位长度，能使与的函数图象无交点？
【答案】（1）；
（2）解：该函数的图象如图所示：
（3）1；该函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小等；；；
【知识点】分段函数；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：①当x=4时，y=1-|4-1|=-2，
则k=y=-2，
故答案为：-2；
②当y=-6时，-6=1-|x-1|，
解得：x=8（舍去）或x=-6，
则m=x=-6，
故答案为-6；
（3） ① 由图象可得函数的最大值为1；
②该函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小等；
③ 原式化简为，
要使方程有两个实数解，则，
解得：n<2，
④ 作的图像，
当的图像在 的图像 下方时，有，
则
⑤ 将的图像向上平移个单位时， 能使与的函数图象无交点
【分析】（1）根据表格及点的坐标代入函数式解析式即可求出答案。
（2）根据描点法即可求出答案。
（3）根据函数图象即可求出答案。
27．（2023七下·金堂期末）如图，在中，点D是边的中点，点E是边上的一个动点，连接．设的面积为y，的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据：
请根据以上信息，解答下列问题：
x 0 3 6
y 3 0 3
（1）题中的自变量和因变量分别是什么？当时，y的值是多少？直接写出的值；
（2）当的面积为面积的时，求出x的值．
【答案】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积；
当时，；
由表可知：
当时，即，此时点E与点B重合，
，即的面积为3，
当时，即，此时点E与点D重合，
，即的面积为0，
∴；
∵点D是边的中点，
∴；
（2）解：当的面积为面积的时，
，
当点E在点D左侧时，
；
当点E在点D右侧时，
；
综上：x的值为或．
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）由题意知：的面积y随着x的变化而变化，可知：x是自变量，y是因变量，由表格中数据可知x=0时，y=3，先求出BD的长，再利用线段的中点，求出BC即可；
（2） 由的面积为面积的，可求出，分两种情况： 当点E在点D左侧时， x=BE =DE +BD， 当点E在点D右侧时， x=BE=BD-DE，据此分别求解即可.
28．（2021九下·盐城期中）八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式．例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解；一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集．
（1）【类比解决】
利用图像解下列方程或不等式．
Ⅰ.如图①，方程ax2＋bx＋c－m=0的解为 ；
Ⅱ.如图②，不等式kx＋b< 的解为 ．
（2）【拓展探究】
已知函数y1=|60－x|，y2=|120－x|．
Ⅰ.利用分类思想，可将函数y1=|60－x|先转化为 ，然后分别画出y1=60－x的图像x≤60的部分和y1=x－60的图像x＞60的部分，就可以得到函数y1=|60－x|的图像，如图③所示．请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120－x|的图像．
Ⅱ.已知min{m，n} =m（m≤n），例如：min{1，－2} =－2．若y=min{y1，y2}的图像为W，请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积．
（3）【实际应用】
有一条长为600米的步行道OA，A是垃圾投放点w1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设B（x，0），现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2（t，0），点B与w1的距离为d1=|600－x|，点B与w2的距离为d2＝|x－t|，d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离，即：d＝min{d1，d2}．若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利
【答案】（1）x=-1或4；x<-1或0
Ⅱ. 看图可知：，
∴图像W与坐标轴围成图形的总面积=×60×60+×60×30=2700；
（3）解：∵ d＝min{d1，d2} =min{ |600－x| ， |x－t| }，
当d1=d2时，600－x=x－t，得x=0.5t+300，
∴，
∴d与坐标轴围成的面积，如图所示，
∴S=t2+（600-t）2=t2-300t+90000，
当t=300，S=×3002-300×300+90000=67500，
由题可知，S＜S（300）即t2-300t+90000<67500，
整理得：t2-300t+22500<0，
（t-100）（t-300）<0，
解得100
【知识点】分段函数；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） Ⅰ.∵ax2＋bx＋c－m=0 ，
∴ax2＋bx＋c=m，
看图象可知：当x=1或4时，y=ax2＋bx＋c与y=m的图象有交点，
∴方程ax2＋bx＋c－m=0的解为：x=-1或4；
Ⅱ.一次函数kx＋b在y=下方部分图象的自变量取值范围是不等式kx＋b< 的解集，
∴x<-1或0
Ⅱ. 看图找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时自变量x的范围即可；
(2)、【拓展探究】Ⅰ. 根据题意利用分类思想画出函数图象即可；
Ⅱ. 先确定图象W的位置，然后分块求出两个三角形的面积，再可求出总面积；
(3)、【实际应用】根据题意可得，再根据图象表示出d与坐标轴围成的面积，结合中点的面积列出关于面积的不等式求解即可.
29．（2020·许昌模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝ 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.
（1）列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 3 m 1 0 1 2 1 n …
其中，m＝ ，n＝ .
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（ ，y1），B（5，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ▲ y2，x1 ▲ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围.
【答案】（1）2；
（2）如图所示：
（3）①＞，＞；②解：x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2，
∴m＝2，
把x＝3代入y＝ 中得，y＝ ，
∴n＝ ，
故答案为2， ；
（4）∵函数解析式为：y＝ ，图像如下
当直线y＝﹣x+b在向右平移的过程中，如下图，与函数的交点个数是在变化的：
由图形可知，当直线向右平移过程中，直线与函数交点个数为：①0个，②然后变为1个，③然后变为2个，④然后又变为1个
我们分别求出①②、②③、③④之间的临界点即可
有图形可知，①②之间的临界点为：x=－1
我们求出直线与函数有2个交点的情况：
联立解析式 得：
当△＞0时，即直线与函数有两个个交点
△＞
解得b＞2 或b＜－2
故而﹣1＜b＜2 时，直线与含有有且仅有一个交点
还存在一种情况：如下图
由上面分析可知当b＞2 时，直线是与函数有2个交点的
但是反比例函数的取值范围为x＞1的部分
∴如上图，反比例函数是点A(1，2)右侧的部分
∴当直线y=－x+b从A点继续向右平移时，直线与反比例函数仅有一个交点
将点A代入直线得：2=－1+b，解得：b=3
∴当b＞3时，直线与函数也仅有一个交点
综上得，﹣1＜b＜2 或b＞3.
【知识点】函数的图象；分段函数
【解析】【解答】（3）解：由图象可知A与B在y＝ 上，y随x的增大而减小，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；
故答案为＞，＞；
②当y＝1时，x≤1时，有1＝|x+1|，
∴x＝0或x＝﹣2，
当y＝1时，x＞1时，有1＝ ，
∴x＝2，
故x＝0或x＝﹣2或x＝2；
【分析】（1）将x=﹣3代入y＝|x+1|得m的值；将x＝3代入y＝ 中得n的值；
（2）用平滑的曲线连接坐标系中描的点可得；
（3）A与B在y＝ 上，C与D在y＝|x﹣1|上，分别根据函数增减性判断；
（4）如下图，求解出直线y＝﹣x+b与函数图象有一个交点的临界点，从而得出b的取值范围.
30．（2021·涧西模拟）小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点 是半圆 上一动点，线段AB=6，CD平分 ，过点 作 交 于点 ，连接 .当 为等腰三角形时，求线段 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 的长度作为自变量 ， ， 和 的长度都是 的函数，分别记为 ， 和 .请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在半圆 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表的几组对应值：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中 的值是 ▲
②操作中发现，“无需测量线段 的长度即可得到 关于 的函数解析式”.请直接写出 关于 的函数解析式.
（2）小亮已在平面直角坐标系 中画出了函数 的图象，如图2所示.
①请在同一个坐标系中画出函数 和 的图象；
②结合图象直接写出当 为等腰三角形时，线段 长度的近似值（结果保留一位小数）.
【答案】（1）解：①4.0；②∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵ ，
∴∠ADC=∠BCD=45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠BCD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD= ，
∴
（2）解：①如图所示.
②当BC=BD时，BC与BD即为交点，
∵∠ACB=90°， ，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=∠BCD，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，
∵BC=CD，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∵AC=AD，
∴AC=BC，
∵AB=6，
∴AC= ，
当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD，
当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠BDC=90°，则在等腰直角△ACD中， ，
在等腰直角△BCD中， ，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，
∴ ，
故AC的长为：2.7或4.2.
【知识点】动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：
，
当AC=4.5时， ，
∴a≈4.0；
故答案为：4.0；
【分析】（1）①利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC的长，然后求出当AC=4.5时，利用勾股定理求出BC的长；②利用圆周角定理求出∠ACB=90°，利用角平分线的定义和平行线的性质，可证得∠ADC=∠BCD=45°，利用等边三角形的性质可得AC=AD，利用三角形的内角和定理求出∠CAD的度数，由此可证得△ACD是等腰直角三角形，由此可求出yCD与x之间的函数解析式；
（2）①利用描点法分别画出两函数图象；②当BC=BD时，BC与BD即为交点，利用平行线的性质及角平分线的定义可证得∠ACD=∠ADC=45°，由此可推出AC=AD；再证明∠ADB=90°，可证得四边形ABDC是矩形，利用矩形的性质可证得AC=BC=AD，从而可求出AC的长；当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD；当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，利用解直角三角形表示出CD，BC的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的长.
备考2024年中考数学探究性训练专题16 分段函数与函数动点问题
一、选择题
1．（2021七下·清苑期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额 ，与购书数量 之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：
⑴小明说： 与 之间的函数关系为 ；
⑵小刚说： 与 之间的函数关系为 ；
⑶小聪说： 与 之间的函数关系在 时， ；在 时， ；
⑷小斌说；我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系．
购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
其中，表示函数关系正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
2．（2023八下·武昌期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：
①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；
③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号）
3．（2017九上·乐清月考）心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第 分钟开始讲解这道题．
4．（2021八下·温岭期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点的坐标（1， ）
（2）根据图象，当的取值范围为 时，的周长大于的周长.
三、数形结合探究题
5．（2023八下·沙坪坝月考）小飞哥根据学习“一次函数”时积累的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小飞哥的探究过程，请补充完整：
（1）平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①在函数中，自变量的取值范围是 ；
②列表：
… 0 1 2 3 …
… 0 …
其中， ；
③描点、连线，在平面直角坐标系中，画出的图象；
（2）结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
性质1： ；
性质2： ；
（3）小飞哥利用所画函数图象，估算不等式的解集是 ．
6．（2020·北京模拟）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为射线BA上一个动点，连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC。过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE。请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。
小明根据学习函数的经验，对线段BE，BP，BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整：
（1）对于点PC在射线BA上的不同位置，画图、测量，得到了线段BE，BP，BC的长度的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
BC/cm 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83 2.83
BE/cm 2.10 1.32 0.53 0.00 1.32 2.10 4.37 5.6
BP/cm 0.52 1.07 1.63 2.00 2.92 3.48 5.09 5.97
在BE，BP，BC的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数， 的长度是常量。
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。
7．（2020·鼓楼模拟）如图1，AB为半圆O的直径，半径的长为4cm，点C为半圆上一动点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，点D为弧AC的中点，连接DE，如果DE=2OE，求线段AE的长.
小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决.
小华假设AE的长度为xcm，线段DE的长度为ycm.
（当点C与点A重合时，AE的长度为0cm），对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.
下面是小何的探究过程，请补充完整：（说明：相关数据保留一位小数）.
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y/cm 0 1.6 2.5 3.3 4.0 4.7 5.8 5.7
当x=6cm时，请你在图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量此时线段DE的长度，填写在表格空白处：
（2）在图2中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象解决问题，当DE=2OE时，AE的长度约为 cm.
8．（2019九上·朝阳期中）如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
y/cm2 4.0 3.7 3.9 3.8 3.3 2.0 …
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为 cm．
9．（2022八下·郑州期中）问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究.下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：
（1）如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：
若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m= ▲ ；
（2）观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质；
（3）直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围.
10．（2022·信阳模拟）小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点C是上一动点，直径，过点C作交于点D，O为AB的中点，连接OC，OD，当的面积为时，求线段CD的长.
小航结合学习函数的经验探究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量、计算线段CD的长度和的面积得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，的面积为0）.
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
0 2.0 3.9 5.6 m 7.8 7.9 6.8 0
填空：m= .（结果保留一位小数，参考数据：，）
（2）将线段CD的长度作为自变量x（cm），的面积是x的函数，记为，请在如下平面直角坐标系xOy中画出y关于x的函数图象，并根据图象判断下列说法是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
①该函数图象为抛物线的一部分；（ ）
②当时，y随x的增大而增大；（ ）
③的面积有最大值.（ ）
（3）继续在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当的面积为时，线段CD长度的近似值.（结果保留一位小数）
11．（2022·衢州模拟）如图1，中，，，cm，点D为AB边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动的过程中，设cm，cm.根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完整：
（1）通过取点、画图、测量或计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm … 1 2 3 …
y/cm … 0.4 0.8 1.0 m 1.0 0 4.0 …
则表中m的值为 .（保留一位小数）
（2）在图2的平面直角坐标系中，以表格中各对x，y的值为坐标描点，并画出该函数的大致图象；
（3）结合（2）中画出的函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为 cm.
12．（2021·驿城模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.
（1）列表：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中， ， .
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 ，在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时 ，求自变量x的值；
13．（2020·重庆模拟）小东同学根据函数的学习经验，对函数y = + 进行了探究，
下面是他的探究过程：
（1）已知x＝－3时 = 0；x＝1 时 = 0，化简：
①当x＜－3时，y＝
②当－3≤x≤1时，y＝
③当x＞1时，y＝
（2）在平面直角坐标系中画出y = + 的图像，根据图像，写出该函数的一条性质.
（3）根据上面的探究解决，下面问题：
已知A(a，0)是x轴上一动点，B(1，0)，C(－3，0)，则AB＋AC的最小值是
14．（2021·兰州）在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转，角的两边分别交射线 于 ， 两点， 为 上一点，连接 ，且 （当点 ， 重合时，点 ， 也重合）.设 ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距离为 .
小刚根据学习函数的经验，对因变量 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小刚的探究过程，请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据 ， 两点间的距离 进行取点，画图，测量分别得到了 与 的几组对应值；
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8
6.00 5.76 5.53 5.31 5.09 4.88 4.69 4.50 4.33 4.17 4.02 3.79 3.65
请你通过计算补全表格： ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 关于 的图象；
（3）探究性质：随着自变量 的不断增大，函数 的变化趋势；
（4）解决问题：当 时， 的长度大约是 .（结果保留两位小数）
15．（2023九上·长春期中）利用函数图象探究方程x|x-2|=的实数根的个数．
（1）设函数y=x|x-2|，则这个函数的图象与直线y=的交点的 坐标（填横或纵）就是方程x|x-2|=的实数根．
（2）分类讨论：当x<2时，y=-x2+2x；当x≥2时，y= ．
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≥2时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x<2时的函数图象．
（4）在给定的坐标系中画直线y=，观察图象可知方程x|x-2|=的实数根有 个．
（5）深入探究：若关于x的方程2x|x-2|=m有3个实数根，则m的取值范围是
16．（2023九上·榆树月考）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程．
下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，补全该分段函数的图象．
写出该分段函数的一条性质： ；
（2）直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是 ；
（3）若该分段函数图象上有两点，且，则的取值范围是 ；
（4）当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，直接写出满足条件的的取值范围及其对应的值．
17．（2022·江北模拟）如图1 ，在菱形 中， ，连结 ．设 ， 小宁根据学习函数的经验，对变量 与 之间的关系进行了如下探究．
（1）【探究】列表：通过观察补全下表（精确到 0.01）．
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165
1.72 1.08 0.37 0 0.73 1.08 1.41 1.72
描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点 ，并画出 关于 的函数图象．
（2）【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
（3）【应用】有一种 “千斤顶”，它是由4根长为 的连杆组成的菱形 ，当手柄顺时针旋转时， 两点的距离变小（如图 3）．在这个过程中，当 时， 的度数约为 ．（精确到1°）．
18．（2020八上·北京月考）如图，在 中， ， 厘米， 厘米，点P从点B出发，沿 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x（s） 0 1 2 3 4 5 6 7
y（ ） 0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7 m 3.6
m的值是 ．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在 中画出点P所在的位置，此时P运动的时间为 ▲ 秒
19．（2020九上·金水月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
x/cm 0 0.6 1.2 1.8 2.3 2.9 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.8
y/cm a 4.6 4.3 3.9 3.6 3.1 2.6 2.4 b 1.2 0.9 0.4 0.2
请你补全表格：a＝ ；b＝ .
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： .
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 cm.（保留一位小数）
20．（2020九下·北碚月考）某数学小组对函数y1＝ 图象和性质进行探究.当x＝4时，y1＝0.
（1）当x＝5时，求y1的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣ 的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集.
21．（2017八下·海淀期中）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 的取值范围是 ．
（2）下表是 与 的几组对应值．
如图，在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．
根据描出的点，画出该函数的图象，标出函数的解析式．
（3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
22．（2024八上·龙岗期末）探究与应用
【探究发现】
某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：
点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，的距离为．随着x的变化，的距离y会如何变化呢？
（1）数学小组通过列表得到以下数据：
0 1 2 3 4 5
4 m 2 1 0 1 2 3
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）；
（2）请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【应用拓展】
若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系： ；
（4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ．
(备注：直线y=2即过点且与x轴平行的直线．)
23．（2020·北京模拟）已知 均是x的函数，下表是 与 的几组对应值．
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 与x之间的变化规律，分别对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：
①当 时，对应的函数值 约为 ；
②写出函数 的一条性质： ；
③当 时， 的取值范围是 ．
24．（2021·郑州模拟）小星在学习中遇到这样一个问题：如图1
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，点
是线段
上一动点，连接
，以
为圆心、
的长为半径画弧交线段
于点
，连接
，当
是
中某条边的
倍时，求
的长.小星的探究过程如下：
⑴小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当
时，通过推理计算可得
的长为 .但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到
的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题.
⑵小星将线段
的长度记为
，
和
的长度分别记为
，
，并分别对函数
，
随着自变量
的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：
①在探究过程中，小星发现当
时，无须测量可以求出
的长，此时
的长约为 （结果精确到
.参考数据：
）.
②利用表格中的数据，小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了
关于
的函数图象，请你根据上文中
和
的
组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出
关于
的函数图象
⑶小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式： ，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.
⑷请结合图象直接写出：当
是
或
的
倍时，
的长约为（结果精确到
）.
25．（2020八上·余姚期末）如图，在 中， 是 的中点， 是边 上一动点，连结 ，取 的中点 ，连结 .小梦根据学习函数的经验，对 的面积与 的长度之间的关系进行了探究：
（1）设 的长度为 ， 的面积 ，通过取 边上的不同位置的点 ，经分析和计算，得到了 与 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知， ， .
（2）在平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令 的面积为 .
①用 的代数式表示 .
②结合函数图象.解决问题：当 时， 的取值范围为 .
26．（2023八下·南岸期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程，请你补充完整
（1）列表：
① ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则 ；
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最大值为 ；
②写出函数图象的两条性质： ；
③若方程有两个实数解，求的取值范围： ；
④当时的取值范围是 ；
⑤将沿轴至少平移 个单位长度，能使与的函数图象无交点？
27．（2023七下·金堂期末）如图，在中，点D是边的中点，点E是边上的一个动点，连接．设的面积为y，的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据：
请根据以上信息，解答下列问题：
x 0 3 6
y 3 0 3
（1）题中的自变量和因变量分别是什么？当时，y的值是多少？直接写出的值；
（2）当的面积为面积的时，求出x的值．
28．（2021九下·盐城期中）八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式．例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解；一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集．
（1）【类比解决】
利用图像解下列方程或不等式．
Ⅰ.如图①，方程ax2＋bx＋c－m=0的解为 ；
Ⅱ.如图②，不等式kx＋b< 的解为 ．
（2）【拓展探究】
已知函数y1=|60－x|，y2=|120－x|．
Ⅰ.利用分类思想，可将函数y1=|60－x|先转化为 ，然后分别画出y1=60－x的图像x≤60的部分和y1=x－60的图像x＞60的部分，就可以得到函数y1=|60－x|的图像，如图③所示．请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120－x|的图像．
Ⅱ.已知min{m，n} =m（m≤n），例如：min{1，－2} =－2．若y=min{y1，y2}的图像为W，请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积．
（3）【实际应用】
有一条长为600米的步行道OA，A是垃圾投放点w1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设B（x，0），现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2（t，0），点B与w1的距离为d1=|600－x|，点B与w2的距离为d2＝|x－t|，d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离，即：d＝min{d1，d2}．若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利
29．（2020·许昌模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝ 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.
（1）列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 3 m 1 0 1 2 1 n …
其中，m＝ ，n＝ .
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（ ，y1），B（5，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ▲ y2，x1 ▲ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围.
30．（2021·涧西模拟）小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点 是半圆 上一动点，线段AB=6，CD平分 ，过点 作 交 于点 ，连接 .当 为等腰三角形时，求线段 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 的长度作为自变量 ， ， 和 的长度都是 的函数，分别记为 ， 和 .请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在半圆 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表的几组对应值：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中 的值是 ▲
②操作中发现，“无需测量线段 的长度即可得到 关于 的函数解析式”.请直接写出 关于 的函数解析式.
（2）小亮已在平面直角坐标系 中画出了函数 的图象，如图2所示.
①请在同一个坐标系中画出函数 和 的图象；
②结合图象直接写出当 为等腰三角形时，线段 长度的近似值（结果保留一位小数）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的表示方法；分段函数；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：在0≤x≤10时，y=8x；在x＞10时，y=6.4x+16．
列表如下：
购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
所以（1）（2）错误，（3）（4）正确．
故答案为：B．
【分析】本题采取分段收费，分别求出①在0≤x≤10时，②x＞10时的付款金额 与购书数量 之间的函数关系式，然后逐一进行判断即可.
2．【答案】①③④
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：当x<-1时，y=-a(x+1)=-ax-a，y随x的增大而减小；
当-1≤x≤0时，y=a(x+1)=ax+a，y随x的增大而增大；
当0
∴当-1≤x≤1时，y有最小值、也有最大值，图象关于y轴对称，故①正确，②错误，③正确；
当x=0时，y=a，
∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，a），
若图象与直线y=b至少有3个交点，则0
【分析】分x<-1、-1≤x≤0、0
3．【答案】7.5
【知识点】分段函数；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】根据分段函数可画出函数的图象，
然后设上课后第t 分钟讲这道题，则 = ，解方程可求得t=7.5或t=211.5（舍去），因此可知教师应在上课后7.5分钟开始讲解这道题.
故答案为：7.5
【分析】根据分段函数可画出函数的图象，根据题意建立方程，解方程求出t的值，即可解决问题。
4．【答案】（1）1
（2）0＜x＜1
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当时，，
故点的坐标为，
故答案为1；
（2）由，得：，
由题意得：，，
则的周长，
而的周长，
则当的周长的周长时，
即，
由（1）知，当时，，当时，，
则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、，
从图象看，当0＜x＜1时，，即的周长大于的周长，
故答案为：0＜x＜1.
【分析】（1）当x＝1时，把x=1代入y与x的函数关系式可求得y的值，即可得点P的坐标；
（2）由△COD的周长 △AOB的周长＝12＋y x 12＝y x＞0，即可求解．
5．【答案】（1）x为任意实数；；描点、连线，画出函数的图象如图： ；
（2）当时，函数有最小值为；图象关于直线对称；
（3）
【知识点】函数值；函数的图象；分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】（1） ① 自变量的取值范围是任意实数，没有实际问题的限制。 ② 观察列表取值，发现x=0和x=2时，y=-2，可知，x=-1和x=3时，y值相同，则m=-1，
（3） 估算不等式 的解集
把不等式右边看作y=，过（3，-1）的正比例函数，与 交于（-3，1）和（3，-1）两点，则不等式的解集是
【分析】本题考查函数的图象性质与不等式的关系，掌握基础知识是关键。（1）画图象三步骤，列表，描点，连线。（2）函数性质从增减性，函数最大值和最小值，对称轴来描述。（3）考查函数与不等式的关系时，把不等号两边分别看作两个函数，找出其交点，即可找出不等式的解集。
6．【答案】（1）BP；BE；BC；BC
（2）解：如图
（3）解：BC±BE= BP
【知识点】分段函数；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合题意，即可判断自变量和常量；
（2）根据（1）中的函数关系，画出图象即可；
（3）根据函数图象，表示出三条线段之间的数量关系即可。
7．【答案】（1）5.3
（2）解：根据数据表格画图象得
（3）2.5或6.9
【知识点】分段函数；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）根据题意取点、画图、测量的x=6时，y=5.3
故答案为5.3
（ 3 ）当DE=2OE时，问题可以转化为折线y= 与（2）中图象的交点经测量得x=2.5或6.9时DE=2OE.
故答案为2.5或6.9
【分析】（1）（2）按照题意取点、画图、测量即可.（3）中需要将DE=2OE转换为y与x的函数关系，注意DE为非负数，函数为分段函数.
8．【答案】（1）0≤x＜4
（2）解：3.8；4.0
（3）解：描点，连线，画出如图所示的图象，
（4）0或2
【知识点】函数自变量的取值范围；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵点E在AB上，
∴0≤x＜4，
故答案为：0≤x＜4；（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEF，
∴ ，
∵AE＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∴ ，
∴BF＝ ，
当x＝1时，BF＝ ，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣ ＝ ，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣ ×2×1﹣ ×3× ﹣ ×4× ＝3.75≈3.8，
当x＝2时，BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，
y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣ ×2×2﹣ ×2×2＝4.0
故答案为：3.8，4.0；（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，
即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，
故答案为0或2．
【分析】（1）利用点E在线段AB上，即可得出结论；（2）先判断出△ADE∽△BEF，得出 ，进而表示出BF= ，再取x=1和x=2求出y的即可；（3）利用画函数图象的方法即可得出结论；（4）由图象可知，即可得出结论．
9．【答案】（1）解：将各点连接起来，画出该函数的图象如下：
；-6
（2）解：图象的两条性质：1、函数的图象关于轴对称；2、当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
（3）解：或
【知识点】分段函数；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：为该函数图象上不同的两点，
，
将点代入得：，
将点代入得：，
解得或（舍去），
故答案为：-6；
（3）解：对于函数，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
结合图象可知，当时，或.
【分析】（1）将各点连接起来，画出该函数的图象；将点B(6，n)代入函数的解析式求出n的值，再将点A(m，n) 代入函数的解析式，即可得出结果；
（2）分析函数的对称性和增减性，即可得出结果；
（3）先分别求出y=0和y=3时的x值，再结合函数图象，即可得出自变量x的取值范围 .
10．【答案】（1）6.9
（2）解：图象如图所示
×；×；√
（3）解：图象如图所示
1.7cm或7.8cm
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵直径AB＝8cm，
∴OC＝OD＝4.0cm，
当CD＝4.0cm时，△OCD为等边三角形，
设△OCD的高为h，则h＝4×sin60°＝2，
∴S△OCD＝×4×≈4×1.73＝6.9（cm2），
故答案为：6.9；
(2)图象如图所示
①二次函数关于对称轴对称，当x＝0时和x＝8时，y＝0，则x＝1应和x＝7相等，与题意矛盾，故错误；，
②由图象当x＞7时图象呈下降趋势，故错误；
③结合图象函数先递增后递减，存在最大值，故正确.
故答案为：×，×，√；
（3）由图象可知，当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.7cm或7.8cm.
答：线段CD长度的近似值为1.7cm或7.8cm
【分析】（1）由直径AB＝8cm，得OC＝OD＝4cm，当CD＝4cm时，可得△OCD为等边三角形，利用60°的正弦求出高，最后代入面积公式即可求出△OCD的面积；
（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；①由二次函数的对称性可得出结论错误；②由图象可得当x＞7时图象呈下降趋势，结论错误；③结合图象可得函数先递增后递减，可判断存在最大值，结论正确；
（3）结合函数图象，直接估计答案即可.
11．【答案】（1）1.2
（2）解：根据已知数据画出图形，如下
（3）2.6或3.1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；描点法画函数图象；动点问题的函数图象；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）当x=2时，AD=2，
∵cm，
∴AD=BD，
∵，
∴CD=AD=2，
∴，
∴CE=2DE，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
即表中m的值为1.2；
故答案为：1.2
（3）当时，即，在（2）中图象画出直线，
观察图象，并测量两个函数图象得：交点的横坐标为2.6或3.1，
即AD的长度约为2.6或3.1.
故答案为：2.6或3.1.
【分析】（1）当x=2时，AD=2，根据AB=4cm可得AD=BD，结合直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=2，推出∠ACD=∠A=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE=2DE，利用勾股定理可得DE，据此可得m的值；
（2）根据描点、连线即可画出函数的图象；
（3）当AE=AD时，即y=x，画出y=x的图象，结合图象找出两个函数图象的交点的横坐标即可.
12．【答案】（1）；2
（2）解：如图所示：
（3）解：①＜；＜； ②当 时， 时，有 ， ∴ 或 ， 当 时， 时，有 ， ∴ ， 故 或 或 ；
【知识点】分段函数；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1） 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 中得， ，
∴ ，
故答案为： ，2；
（3）①由图象可知A与B在 上，y随x的增大而增大，所以 ；
C与D在 上，所以 ；
故答案为：＜，＜；
【分析】（1）把x= 3代入y= 中即可求得m的值；把x=3代入y=|x-1|中，即可求得n的值；
（2）描点连线即可；
（3）①A与B在y= 上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y=|x-1|上，观察图象可得x1＜x2；
②当y=1时，1=|x-1|，则有x=0或x=2；1= ，则有x= 2；
13．【答案】（1）-2-2x；4；2x+2
（2）解：在平面直角坐标系中画出y=|x-1|+|x+3|的图象，如图所示：
根据图象，该函数图象不过原点.
故答案为：函数图象不过原点；
（3）4
【知识点】函数的图象；分段函数；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】（1）∵x=-3时|x+3|=0；x=1时|x-1|=0
∴①当x＜-3时，y=1-x-x-3=-2-2x；
②当-3≤x≤1时，y=1-x+x+3=4；
③当x＞1时，y=x-1+x+3=2x+2；
故答案为：-2-2x；4；2x+2.
（ 3 ）根据上面的探究可知当A（a，0）位于点B（1，0）和点C（-3，0）之间时，AB+AC有最小值4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象，则易得一条函数性质；（3）A（a，0）位于点B（1，0）和点C（-3，0）之间时，AB+AC等于线段BC的长，此时为其最小值.
14．【答案】（1）3.6
（2）解：函数图象如下图：
；
（3）解：根据图象可知：随着自变量 的不断增大，函数 不断减小；
（4）3.50
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当 时，即 两点之间的距离为 ，
旋转至如图所示时：
∴此时点 和点C重合，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3.6；
（4）∵ ，
∴ ，
如图： 与（2）中函数图象交点即为所求
∴ ，
即 的长度大约是： cm，
故答案为：3.50.
【分析】（1）如图1中，连接DF．首先证明∠AFD＝∠ACD＝90°，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△ABC，于是可得比例式，然后由比例式可求得a的值；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据函数图象可得结论；
（4）作出直线CD的解析式y＝ x＋8的图象，两个函数图象的交点的横坐标，即为BD的值．
15．【答案】（1）横
（2）x2-2x
（3）解：当x<2时，y=-x2+2x=-(x-1)2+1
∴顶点坐标为（1，1）
当y=0时，x=0或2
∴函数y=-(x-1)2+1与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）
描点，连线，函数图象如图所示
（4）；3
（5）0
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
函数y=x|x-2|的图象与直线y=的交点的横坐标就是方程x|x-2|=的实数根
故答案为：横
（2）当x≥2时，x-2≥0
∴y=x|x-2|=x(x-2)=x2-2x
故答案为：x2-2x
（4）函数图象如图，
直线y=的图象与y=x|x-2|的图象有3个交点
则方程x|x-2|=的实数根有3个
故答案为：3
（5）根据图象可知，当x=1时，y=1
关于x=的方程2x|x-2|=m有3个实数根
即直线的图象与y=x|x-2|的图象有3个交点
∴
∴0
（2）根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案.
（3）根据（2）中的函数解析式，找到特殊点坐标，通过描点，连线，即可求出答案.
（4）根据方程的根为两函数图象相交点的个数即可求出答案.
（5）根据两函数图象相交点的横坐标的特征，进行分析即可求出答案.
16．【答案】（1）当时，随的增大而增大答案为唯一
（2）或
（3）或
（4）解：，
【知识点】分段函数；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
（2）由图可知-1≤k≤4，或k=-5时图象与分段函数有两个交点。
（3）由图可知m＜-1或-1＜m＜4.
【分析】（1）根据函数图象进行解答即可。
（2）如图当-5＜k＜-1时，y=k会与图象有3个交点，k=-5有两个交点，-1≤k≤4时有两个，因此能够得出答案。
（3）当x=-3时y=-4，由图象知当x＜-3或-1＜x＜4时y值都大于-4，由此可得m取值范围。
（4） 由图象可知，若-5
由表格中数据可知：x=90°时，y=0，当x≠90°，若∠ADB取值满足两角互补关系时，对应的函数值相等，
据此补全表格为：
x/° 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165
y/cm 1.72 1.41 1.08 0.73 0.37 0 0.37 0.73 1.08 1.41 1.72
根据表格中数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象，如图：
（2）当x=90°时，y的最小值为0；图象关于直线x=90°对称
（3）44°或136°
【知识点】菱形的性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（2）根据画出的函数图象，可知：
①当x=90时，y=0，为图象的最低点；②图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大.
故答案为：当x＝90时，y有最小值0；图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大；
（3）∵33÷30=1.1cm，
∴可将边长按比例缩小，
∴结合（2）探究结论：当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大，
∴可近似用一次函数求解x值，设直线y=kx+b，
∵1.08＜1.1＜1.41，
∴30°＜∠ABD＜45°，
∴函数图象经过点（45°，1.08），（30°，1.41），
∴，解得：，
∴解析式为y=-0.022x+2.07，
∴1.1=-0.022x+2.07，
解得：x≈44°，
∴由函数图象关于x=90对称，
∴x=136°时，y=1.1.
故答案为：44°或136°.
【分析】（1）由表格中数据可知：x=90°时，y=0，当x≠90°，若∠ADB取值满足两角互补关系，对应的函数值相等，即x=30°和x=150°的y值相等，y=1.41；x=60°和x=120°的y值相等，y=0.73；x=75°和x=105°的y值相等，y=0.37，即可补全表格数据；根据表格中的数据，用“描点法”画出函数图象即可；
（2）根据已画出的函数图象可知：当x=90时，y=0，为图象的最低点，图象关于x=90对称，当0°＜x≤90°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而减小，当90°＜x＜180°时，对角线之差的绝对值随角度的增大而增大，即可解答. 答案不唯一，写出两条符合该函数图象的性质即可；
（3）由33÷30=1.1cm，可将边长按比例缩小，再结合（2）已探究的结论，可将此函数近似看作为一次函数，利用一次函数性质求解；由该图象经过点（45°，1.08），（30°，1.41），利用待定系数法求出解析式，把y=1.1代入求出x=44°，再根据函数图象的对称性，求出关于x=90对称的角度即可解决问题.
18．【答案】（1）3
（2）解：描点，连线，画图像如下．
（3）解：P点位置如图
；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）根据表可知，运动6s，即BC+CP=6．
∵BC=3， ∴CP=6-3=3
∵
∴ 是等边三角形，所以BP=3，即m=3
故答案为3
（3）P点位置如图，此时曲线位置为最低点，
∵ ，∴ ．
所以运动时间 ．
故答案为
【分析】（1）根据题意，P点走6s时，得到CP为3厘米，即可证明 为等边三角形，所以BP=3，即m=3．（2）描点，连线即可画出图像．（3）由点到直线的距离垂线最短，即可得出 时，图像有最低点．由图结合勾股定理可求出CP长度，即可求出x．
19．【答案】（1）4.9；1.8
（2）解：根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）y随x的增大而减小
（4）3.0
【知识点】锐角三角函数的定义；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，则AB＝10，AD＝5，cos∠BAC＝ ，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，
∵∠MDN＝∠A，故AH＝ AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝ ，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣ ≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为：4.9，1.8；
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看.两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为：3.0.
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，则可求出AD的长，在Rt△ABC中，根据三角函数定义求出cos∠BAC的值，当x＝0时，点A、M重合，过点N作NH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，然后利用三角函数定义求出AN，再根据线段间的和差关系求出CN，即y值，从而确定b值；用同的方法可求b值；
（2）根据表格数据描点、连线，绘出函数图象即可；
（3）观察函数图象可得图象向右下降，即可作答；
（4）在图2的基础上，画出直线y =x，找出两个函数的交点横坐标，即可作答.
20．【答案】（1）解：由题意x＝0时，y1＝0，
∴16+4b+8＝0，
∴b＝﹣6，
∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3
（2）解：函数图象如图所示：
性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大.
（3）x＜﹣2或x＞0.
【知识点】分段函数
【解析】【解答】解：（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0.
【分析】（1）利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可；（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可；（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可.
21．【答案】（1）任意实数
（2）解：如图所示：
（3）当 时， 随 增大而增大
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；描点法画函数图象
【解析】【解答】（ ） 取值范围是全体实数．
（ ）由图可得：当 时， 随 增大而增大（答案不唯一）．
【分析】因为不论x取何值，≥0，所以根据二次根式有意义的条件可得x的取值范围是全体实数；
（2）根据二次根式的双重非负性可知，y ≥0，所以该函数的图象在一、二象限，根据表格中的值描出各点，再用平滑的曲线连接起来即可；
（3）由图可得，当 x＜时， y 随 x 增大而减小（答案不唯一）。
22．【答案】（1）3；是
（2）解：依题意得：
所画函数图象如图所示
函数的性质：该函数图象关于直线对称
（3）
（4）或
【知识点】函数的概念；函数的图象；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）y===3，∴ m=3；
给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数.
故答案为：3；是；
（3）由（2）可知P（a，n），Q（b，n）关于直线x-=2对称，
∴，
∴ a+b=4.
故答案为：a+b=4.
（4）新函数图象如图，
∵ y=kx+3，
∴ 该函数过点（0，3），
∵ A（2，4），C（0，2），E（-4，6），
∴ k直线AC==1，k直线CE==-1
当函数与直线AC平行时，k=1，
当函数与直线CE平行时，k=-1，
∵ 一次函数y=kx+3与新函数图象只有一个交点，
∴ k≥1或k≤-1.
故答案为：k≥1或k≤-1.
【分析】（1）根据两点的距离公式，即可求得m；根据函数的定义，即可判断y是x的函数；
（2）根据题意可得该分段函数，描点，连线，即可画出函数图象，观察图象可得函数的性质；
（3）根据（2）中的性质可得，即可求得；
（4）作出翻折后的新图像，再求得一次函数分别与直线AC，直线CE平行时k的值，即可求得.
23．【答案】（1）解：描点作图如下：
如图：
（2）①3.13；当 时， 有最小值 ； ，或 ．
【知识点】数学思想；描点法画函数图象；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（2）观察图像得：①3.13；
②当 时， 有最小值 ；
③ ，或 ．
故答案为： 当 时， 有最小值 ， ，或 ．
【分析】(1)根据给出的对应数值描点作图即可；(2)①根据图形观察可得答案，②根据图像得出性质即可，③观察图像利用函数值的大小确定自变量的取值范围即可．
24．【答案】解：（1）3.60；
（2）①2.48；
②根据上文中 和 的 组对应值描点连线绘制函数图象如下，
（3）y=1.5x；
（4）2.0和1.5（答案不唯一）.
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）在
中，
，
，则
，
，
为等腰直角三角形，
当
时，则
，
解得
，则
cm，
故答案为：3.60；
（2）①当
时，则
，
而
，故
cm，
故答案为：2.48；
（3）要想求出结果，必须确定一条直线
，这样会出现1.5倍的关系，
故答案为：
；
（4）从图象看
和其他两个函数交点的横坐标分别约为
和
（答案不唯一），
故答案为：2.0和1.5（答案不唯一）.
【分析】（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合CE=2求得BE的长，然后结合BP=1.5PE，即可求得BP的长；
（2）①当x=0时，点P与B点重合，然后得到AP=AQ=6，再由勾股定理求得AE的长，进而得QE的长即为y2的值；②根据表格中数据进行描点，再按照描点、连线作出函数图象即可；
（3）根据已知条件需分当BP=1.5PQ和当BP=1.2QE分别求出y1与x的关系和y2与x 的关系，即可得到结果；
（4）结合（2）中的数据得到y1与x的关系和y2与x的关系，分别联立y=
x求得x的值，即可得到结果.
25．【答案】（1）2；1
（2）解：
（3）解：①由题意可得在 ，边 上的高为2. ∴ . ∵F是AE的中点 ∴ . ；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）设 中DE边上的高为h
当 时， 可知
当 时， ，∴
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
故答案为：2，1；
（ 3 ）②如图
根据图象可知当 时， 的取值范围为
故答案为：.
【分析】（1）先通过表中的已知数据得出 的高，然后再代入到面积公式中即可得出答案；（2）根据表中的数据描点，连线即可；
（3）①直接利用面积公式及中线的性质即可得出答案；②将两个图象画在同一个直角坐标系中，从图象中即可得出答案.
26．【答案】（1）；
（2）解：该函数的图象如图所示：
（3）1；该函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小等；；；
【知识点】分段函数；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（1）解：①当x=4时，y=1-|4-1|=-2，
则k=y=-2，
故答案为：-2；
②当y=-6时，-6=1-|x-1|，
解得：x=8（舍去）或x=-6，
则m=x=-6，
故答案为-6；
（3） ① 由图象可得函数的最大值为1；
②该函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小等；
③ 原式化简为，
要使方程有两个实数解，则，
解得：n<2，
④ 作的图像，
当的图像在 的图像 下方时，有，
则
⑤ 将的图像向上平移个单位时， 能使与的函数图象无交点
【分析】（1）根据表格及点的坐标代入函数式解析式即可求出答案。
（2）根据描点法即可求出答案。
（3）根据函数图象即可求出答案。
27．【答案】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积；
当时，；
由表可知：
当时，即，此时点E与点B重合，
，即的面积为3，
当时，即，此时点E与点D重合，
，即的面积为0，
∴；
∵点D是边的中点，
∴；
（2）解：当的面积为面积的时，
，
当点E在点D左侧时，
；
当点E在点D右侧时，
；
综上：x的值为或．
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）由题意知：的面积y随着x的变化而变化，可知：x是自变量，y是因变量，由表格中数据可知x=0时，y=3，先求出BD的长，再利用线段的中点，求出BC即可；
（2） 由的面积为面积的，可求出，分两种情况： 当点E在点D左侧时， x=BE =DE +BD， 当点E在点D右侧时， x=BE=BD-DE，据此分别求解即可.
28．【答案】（1）x=-1或4；x<-1或0
Ⅱ. 看图可知：，
∴图像W与坐标轴围成图形的总面积=×60×60+×60×30=2700；
（3）解：∵ d＝min{d1，d2} =min{ |600－x| ， |x－t| }，
当d1=d2时，600－x=x－t，得x=0.5t+300，
∴，
∴d与坐标轴围成的面积，如图所示，
∴S=t2+（600-t）2=t2-300t+90000，
当t=300，S=×3002-300×300+90000=67500，
由题可知，S＜S（300）即t2-300t+90000<67500，
整理得：t2-300t+22500<0，
（t-100）（t-300）<0，
解得100
【知识点】分段函数；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） Ⅰ.∵ax2＋bx＋c－m=0 ，
∴ax2＋bx＋c=m，
看图象可知：当x=1或4时，y=ax2＋bx＋c与y=m的图象有交点，
∴方程ax2＋bx＋c－m=0的解为：x=-1或4；
Ⅱ.一次函数kx＋b在y=下方部分图象的自变量取值范围是不等式kx＋b< 的解集，
∴x<-1或0
Ⅱ. 看图找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时自变量x的范围即可；
(2)、【拓展探究】Ⅰ. 根据题意利用分类思想画出函数图象即可；
Ⅱ. 先确定图象W的位置，然后分块求出两个三角形的面积，再可求出总面积；
(3)、【实际应用】根据题意可得，再根据图象表示出d与坐标轴围成的面积，结合中点的面积列出关于面积的不等式求解即可.
29．【答案】（1）2；
（2）如图所示：
（3）①＞，＞；②解：x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2，
∴m＝2，
把x＝3代入y＝ 中得，y＝ ，
∴n＝ ，
故答案为2， ；
（4）∵函数解析式为：y＝ ，图像如下
当直线y＝﹣x+b在向右平移的过程中，如下图，与函数的交点个数是在变化的：
由图形可知，当直线向右平移过程中，直线与函数交点个数为：①0个，②然后变为1个，③然后变为2个，④然后又变为1个
我们分别求出①②、②③、③④之间的临界点即可
有图形可知，①②之间的临界点为：x=－1
我们求出直线与函数有2个交点的情况：
联立解析式 得：
当△＞0时，即直线与函数有两个个交点
△＞
解得b＞2 或b＜－2
故而﹣1＜b＜2 时，直线与含有有且仅有一个交点
还存在一种情况：如下图
由上面分析可知当b＞2 时，直线是与函数有2个交点的
但是反比例函数的取值范围为x＞1的部分
∴如上图，反比例函数是点A(1，2)右侧的部分
∴当直线y=－x+b从A点继续向右平移时，直线与反比例函数仅有一个交点
将点A代入直线得：2=－1+b，解得：b=3
∴当b＞3时，直线与函数也仅有一个交点
综上得，﹣1＜b＜2 或b＞3.
【知识点】函数的图象；分段函数
【解析】【解答】（3）解：由图象可知A与B在y＝ 上，y随x的增大而减小，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；
故答案为＞，＞；
②当y＝1时，x≤1时，有1＝|x+1|，
∴x＝0或x＝﹣2，
当y＝1时，x＞1时，有1＝ ，
∴x＝2，
故x＝0或x＝﹣2或x＝2；
【分析】（1）将x=﹣3代入y＝|x+1|得m的值；将x＝3代入y＝ 中得n的值；
（2）用平滑的曲线连接坐标系中描的点可得；
（3）A与B在y＝ 上，C与D在y＝|x﹣1|上，分别根据函数增减性判断；
（4）如下图，求解出直线y＝﹣x+b与函数图象有一个交点的临界点，从而得出b的取值范围.
30．【答案】（1）解：①4.0；②∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵ ，
∴∠ADC=∠BCD=45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠BCD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD= ，
∴
（2）解：①如图所示.
②当BC=BD时，BC与BD即为交点，
∵∠ACB=90°， ，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=∠BCD，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，
∵BC=CD，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∵AC=AD，
∴AC=BC，
∵AB=6，
∴AC= ，
当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD，
当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠BDC=90°，则在等腰直角△ACD中， ，
在等腰直角△BCD中， ，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，
∴ ，
故AC的长为：2.7或4.2.
【知识点】动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：
，
当AC=4.5时， ，
∴a≈4.0；
故答案为：4.0；
【分析】（1）①利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC的长，然后求出当AC=4.5时，利用勾股定理求出BC的长；②利用圆周角定理求出∠ACB=90°，利用角平分线的定义和平行线的性质，可证得∠ADC=∠BCD=45°，利用等边三角形的性质可得AC=AD，利用三角形的内角和定理求出∠CAD的度数，由此可证得△ACD是等腰直角三角形，由此可求出yCD与x之间的函数解析式；
（2）①利用描点法分别画出两函数图象；②当BC=BD时，BC与BD即为交点，利用平行线的性质及角平分线的定义可证得∠ACD=∠ADC=45°，由此可推出AC=AD；再证明∠ADB=90°，可证得四边形ABDC是矩形，利用矩形的性质可证得AC=BC=AD，从而可求出AC的长；当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD；当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，利用解直角三角形表示出CD，BC的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的长.
