湖南省永州市冷水滩区重点中学2023-2024学年八年级上学期数学第三次月考考试试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023八上·冷水滩月考）下列各式中不是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·冷水滩月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．3cm、4cm、8cm
C．1cm、1cm、3cm D．5cm、6cm、10cm
3．（2023八上·冷水滩月考）下列四个实数，是无理数的为（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2023八上·冷水滩月考）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
5．（2023八上·冷水滩月考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·冷水滩月考）的立方根是（ ）
A． B．2 C． D．16
7．（2023八上·冷水滩月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．如果，那么
C．对应角相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等
8．（2023八上·冷水滩月考）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·冷水滩月考）解分式方程会出现增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021·鄂州）已知锐角 ，如图，按下列步骤作图：①在 边取一点D，以O为圆心， 长为半径画 ，交 于点C，连接 .②以D为圆心， 长为半径画 ，交 于点E，连接 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2019·武汉模拟）计算 的结果是 .
12．（2023八上·冷水滩月考）若m、n是9的两个平方根，则 ．
13．（2023八上·冷水滩月考）已知：请写出一个使不等式成立的m值，这个值可以为 ．
14．（2023八上·冷水滩月考）若，，则 ．
15．（2020八下·北京期中）在实数范围内因式分解： = ．
16．（2023八上·冷水滩月考）如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E， BC=5，DE=2，则的面积等于 ．
三、解答题（本大题共9个题，共72分）
17．（2023八上·冷水滩月考） 计算：
18．（2020八下·偃师期中）解方程
19．（2023八上·冷水滩月考） 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20．（2023八上·冷水滩月考） 先化简：再从、0、1、2中选择一个合适的x的值代入求值．
21．（2023八上·冷水滩月考） 已知，且，且，求的平方根．
22．（2023八上·冷水滩月考）如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，，．
求证：
（1）
（2）
23．（2023八上·冷水滩月考） 永州市李达中学，为了应对秋季流行感冒交叉感染，学校后勤部购买了一批一次性医用口罩，但物资清单不慎被墨汁覆盖，采购老师只记得KN95口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同．根据下述表格的采购清单，解决下列提出的问题
疫情物资清单
口罩类型 单价（元/个） 总费用（元） 数量（个）
KN95 ■ 15000 ■
一次性 ■ 3000 ■
（1）两种类型口罩的单价各是多少元？
（2）后来一位爱心人士捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，后勤部老师最多可以购买多少个KN95口罩？
24．（2023八上·冷水滩月考） 永州市李达中学课后服务数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，求x的值．
25．（2023八上·冷水滩月考）如图1，四边形ABCD中，，，，，，动点N从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，连接DN，设点N运动的时间为t秒．
（1）若，求t的值：
（2）当t为何值时，点D在线段CN的垂直平分线上，并说明理由；
（3）如图2，动点M同时从点A出发，以每秒1个单位的运度沿AD向点D运动，当点N停止运动时，点M也随之停止运动．连接MN，当t为何值时，，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】A：是分式 ，不符合题意；B：是分式 ，不符合题意；C：分母是常数，不是分式 ，符合题意；D：是分式 ，不符合题意；故答案为：C.
【分析】利用分式的定义进行逐一判断即可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A：2+3=5，故不能构成三角形，不符合题意；
B：3+4<8，故不能构成三角形，不符合题意；
C：1+1<3，故不能构成三角形，不符合题意；
D：5+6>10，故能构成三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用三角形三边的关系进行逐一判断即可求解.
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A：0，是有理数，不符合题意；B：，是无理数，符合题意；C：，是有理数，不符合题意；D：，是有理数，不符合题意；故答案为：B.
【分析】利用无理数的概念进行逐一判断即可求解.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】将一个大于0小于1的数表示成的形式，，这样的技术方法称为科学记数法.
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，被开方数含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D：被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式的概念进行逐一判断即可求解.
6．【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】 8的立方根是2，
故答案为：B.
【分析】先求出的值。再根据立方根的定义即可求解.
7．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A：相等的角是对顶角，说法错误，不符合题意；
B：如果，那么或a=-b，故B说法错误，不符合题意；
C：对应角相等的两个三角形全等，说法错误，不符合题意；
D：两直线平行，同位角相等，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用对顶角的概念、绝对值的性质，三角形全等的判定条件以及平行线的性质进行逐一判断即可求解.
8．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】由图可得： 该不等式组可能为 ，故答案为：A
【分析】由图可得该不等式组的解集，进而得出结论.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】由
去分母得x-5=-m
m=5-x，
当x-3=0时，即x=3时出现增根，
m=5-3=2，
故答案为：B.
【分析】现将分式方程化为整式方程，再根据方程出现增根求得x的值，将x的值代入m=5-x，从而求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵以O为圆心， 长为半径画 ，交 于点C，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40 ，
∴∠ODC=∠OCD= ，
∵以D为圆心， 长为半径画 ，交 于点E，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40 ，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70 =40 +∠CDE，
∴∠CDE=30 ，
故答案为：B.
【分析】根据作法得出OD=OC，DO= DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD 和∠ODC的度数，∠DEO和∠DOE的度数，然后利用三角形外角性质计算∠CDE的度数即可.
11．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：1.
【分析】由题意，通分并约分可求解。
12．【答案】0
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】9的两个平方根为3或-3，
两个平方根互为相反数，
【分析】先求出9的两个平方根，从而求解.
13．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】当 时，只需m为负数即可得到 ，
故这个m的值可以为-1（答案不唯一），
【分析】根据时，m取负数即可得出结论.
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】 ，，
【分析】利用同底数幂的除法法则进行逆运算即可求解.
15．【答案】(x+ )(x- )
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： ＝(x+ )(x- )．
故答案为(x+ )(x- )．
【分析】运用平方差在实数范围内因式分解即可
16．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EFBC，
EFBC，CDAB， BE平分，
EF=DE=2，
的面积等于
【分析】过点E作EFBC，利用角平分线的性质得到EF=DE=2，再利用三角形的面积公式即可求解.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负指数、绝对值、0指数、二次根式，再依次计算即可求解.
18．【答案】解：对方程进行变形可以得到 去分母可得到整式方程
解得x=3，将检验当x=3时最简公分母 ，所以x=3是分式方程的增根，方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的计算得出到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
19．【答案】解：解不等式：得
解不等式：得
不等式解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解 得 ，再解不等式：得，并在数轴上表示出来，从而求解.
20．【答案】解：原式
x不等于1、、0将代入化简中得原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的化简顺序，先计算括号内、将除法改为乘法，化简得结果，再根据分式有意义的条件取适合的x的值代入求解.
21．【答案】解：∵∴
∵
∴，，
解得，， 又∵∴
将，，，代入
∴得平方根为
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先根据 求得a的取值范围，再利用绝对值、偶次方、二次根式的非负性求的a，b，c的值，将a，b，c的值代入代数式，从而求解.
22．【答案】（1）证明：由题意，，AC=AC，
（ASA）
（2）解：∵∴，
∴AC为线段BD得垂直平分线 ∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据，，AC=AC，利用ASA即可证明；
（2）利用三角形全等的性质可得 ， ，进一步得到 AC为线段BD得垂直平分线 ，根据垂直平分线的性质即可求解.
23．【答案】（1）解：设一次性医用口罩的价格为x元/个，则KN95口罩的价格为元/个．
由题意得
解得 经检验为原分式方程的解
KN95口罩得价格为：
（2）解：设后勤部老师最多可以购买m个KN95口罩
由题意得
解得
答：后勤部老师最多可以购买350个KN95口罩.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设一次性医用口罩的价格为x元/个，则KN95口罩的价格为元/个，根据KN95口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同以及KN95口罩和一次性口罩的总费用即可列出关于x的分式方程，解方程并检验，从而求解；
（2）设后勤部老师最多可以购买m个KN95口罩 ，根据捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
24．【答案】（1）；4
（2）解：由题意得：， 解得
（3）解：a．当时， 解得（舍去）
b．当时， 解得
c．当时，、、小于0，大于0，不符合题意
综上所述
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由数学符号可得
【分析】（1）先化简括号里的数据，再根据数学符号的规定即可求解；
（2）根据数学符号的规定得到 的最大值为2，进而列出关于x的一元一次不等式组，不等式组，解一元一次不等式组即可求解；
（3）根据数学符号的规定，分当时，当时，当时三种情况进行讨论，取符合题意的x的值，从而求解.
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：
过点D做于Q点，∵，且，
∴∴，
又∵，
∴
又∵DB为CN的垂直平分线
∴
∴
∴
（3）解：∵
∴
∴
解的
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质，以及路程、速度、时间之间的关系即可求解；
（2） 过点D做于Q点，∵，且， ，利用平行线的性质求得 ， ，利用垂直平分线的性质得到 ，进而求出CN的值，根据路程、速度、时间之间的关系从而求解；
（3）利用全等三角形的性质得到 ，进一步得到关于t的一元一次方程，解方程即可求解.
湖南省永州市冷水滩区重点中学2023-2024学年八年级上学期数学第三次月考考试试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023八上·冷水滩月考）下列各式中不是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】A：是分式 ，不符合题意；B：是分式 ，不符合题意；C：分母是常数，不是分式 ，符合题意；D：是分式 ，不符合题意；故答案为：C.
【分析】利用分式的定义进行逐一判断即可求解.
2．（2023八上·冷水滩月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．3cm、4cm、8cm
C．1cm、1cm、3cm D．5cm、6cm、10cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A：2+3=5，故不能构成三角形，不符合题意；
B：3+4<8，故不能构成三角形，不符合题意；
C：1+1<3，故不能构成三角形，不符合题意；
D：5+6>10，故能构成三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用三角形三边的关系进行逐一判断即可求解.
3．（2023八上·冷水滩月考）下列四个实数，是无理数的为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A：0，是有理数，不符合题意；B：，是无理数，符合题意；C：，是有理数，不符合题意；D：，是有理数，不符合题意；故答案为：B.
【分析】利用无理数的概念进行逐一判断即可求解.
4．（2023八上·冷水滩月考）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】将一个大于0小于1的数表示成的形式，，这样的技术方法称为科学记数法.
5．（2023八上·冷水滩月考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，被开方数含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D：被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式的概念进行逐一判断即可求解.
6．（2023八上·冷水滩月考）的立方根是（ ）
A． B．2 C． D．16
【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】 8的立方根是2，
故答案为：B.
【分析】先求出的值。再根据立方根的定义即可求解.
7．（2023八上·冷水滩月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．如果，那么
C．对应角相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A：相等的角是对顶角，说法错误，不符合题意；
B：如果，那么或a=-b，故B说法错误，不符合题意；
C：对应角相等的两个三角形全等，说法错误，不符合题意；
D：两直线平行，同位角相等，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用对顶角的概念、绝对值的性质，三角形全等的判定条件以及平行线的性质进行逐一判断即可求解.
8．（2023八上·冷水滩月考）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】由图可得： 该不等式组可能为 ，故答案为：A
【分析】由图可得该不等式组的解集，进而得出结论.
9．（2023八上·冷水滩月考）解分式方程会出现增根，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】由
去分母得x-5=-m
m=5-x，
当x-3=0时，即x=3时出现增根，
m=5-3=2，
故答案为：B.
【分析】现将分式方程化为整式方程，再根据方程出现增根求得x的值，将x的值代入m=5-x，从而求解.
10．（2021·鄂州）已知锐角 ，如图，按下列步骤作图：①在 边取一点D，以O为圆心， 长为半径画 ，交 于点C，连接 .②以D为圆心， 长为半径画 ，交 于点E，连接 .则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵以O为圆心， 长为半径画 ，交 于点C，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40 ，
∴∠ODC=∠OCD= ，
∵以D为圆心， 长为半径画 ，交 于点E，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40 ，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70 =40 +∠CDE，
∴∠CDE=30 ，
故答案为：B.
【分析】根据作法得出OD=OC，DO= DE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD 和∠ODC的度数，∠DEO和∠DOE的度数，然后利用三角形外角性质计算∠CDE的度数即可.
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2019·武汉模拟）计算 的结果是 .
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：1.
【分析】由题意，通分并约分可求解。
12．（2023八上·冷水滩月考）若m、n是9的两个平方根，则 ．
【答案】0
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】9的两个平方根为3或-3，
两个平方根互为相反数，
【分析】先求出9的两个平方根，从而求解.
13．（2023八上·冷水滩月考）已知：请写出一个使不等式成立的m值，这个值可以为 ．
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】当 时，只需m为负数即可得到 ，
故这个m的值可以为-1（答案不唯一），
【分析】根据时，m取负数即可得出结论.
14．（2023八上·冷水滩月考）若，，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】 ，，
【分析】利用同底数幂的除法法则进行逆运算即可求解.
15．（2020八下·北京期中）在实数范围内因式分解： = ．
【答案】(x+ )(x- )
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： ＝(x+ )(x- )．
故答案为(x+ )(x- )．
【分析】运用平方差在实数范围内因式分解即可
16．（2023八上·冷水滩月考）如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E， BC=5，DE=2，则的面积等于 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EFBC，
EFBC，CDAB， BE平分，
EF=DE=2，
的面积等于
【分析】过点E作EFBC，利用角平分线的性质得到EF=DE=2，再利用三角形的面积公式即可求解.
三、解答题（本大题共9个题，共72分）
17．（2023八上·冷水滩月考） 计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负指数、绝对值、0指数、二次根式，再依次计算即可求解.
18．（2020八下·偃师期中）解方程
【答案】解：对方程进行变形可以得到 去分母可得到整式方程
解得x=3，将检验当x=3时最简公分母 ，所以x=3是分式方程的增根，方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的计算得出到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
19．（2023八上·冷水滩月考） 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式：得
解不等式：得
不等式解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解 得 ，再解不等式：得，并在数轴上表示出来，从而求解.
20．（2023八上·冷水滩月考） 先化简：再从、0、1、2中选择一个合适的x的值代入求值．
【答案】解：原式
x不等于1、、0将代入化简中得原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的化简顺序，先计算括号内、将除法改为乘法，化简得结果，再根据分式有意义的条件取适合的x的值代入求解.
21．（2023八上·冷水滩月考） 已知，且，且，求的平方根．
【答案】解：∵∴
∵
∴，，
解得，， 又∵∴
将，，，代入
∴得平方根为
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先根据 求得a的取值范围，再利用绝对值、偶次方、二次根式的非负性求的a，b，c的值，将a，b，c的值代入代数式，从而求解.
22．（2023八上·冷水滩月考）如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，，．
求证：
（1）
（2）
【答案】（1）证明：由题意，，AC=AC，
（ASA）
（2）解：∵∴，
∴AC为线段BD得垂直平分线 ∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据，，AC=AC，利用ASA即可证明；
（2）利用三角形全等的性质可得 ， ，进一步得到 AC为线段BD得垂直平分线 ，根据垂直平分线的性质即可求解.
23．（2023八上·冷水滩月考） 永州市李达中学，为了应对秋季流行感冒交叉感染，学校后勤部购买了一批一次性医用口罩，但物资清单不慎被墨汁覆盖，采购老师只记得KN95口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同．根据下述表格的采购清单，解决下列提出的问题
疫情物资清单
口罩类型 单价（元/个） 总费用（元） 数量（个）
KN95 ■ 15000 ■
一次性 ■ 3000 ■
（1）两种类型口罩的单价各是多少元？
（2）后来一位爱心人士捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，后勤部老师最多可以购买多少个KN95口罩？
【答案】（1）解：设一次性医用口罩的价格为x元/个，则KN95口罩的价格为元/个．
由题意得
解得 经检验为原分式方程的解
KN95口罩得价格为：
（2）解：设后勤部老师最多可以购买m个KN95口罩
由题意得
解得
答：后勤部老师最多可以购买350个KN95口罩.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设一次性医用口罩的价格为x元/个，则KN95口罩的价格为元/个，根据KN95口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同以及KN95口罩和一次性口罩的总费用即可列出关于x的分式方程，解方程并检验，从而求解；
（2）设后勤部老师最多可以购买m个KN95口罩 ，根据捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
24．（2023八上·冷水滩月考） 永州市李达中学课后服务数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数a，b，c，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，求x的值．
【答案】（1）；4
（2）解：由题意得：， 解得
（3）解：a．当时， 解得（舍去）
b．当时， 解得
c．当时，、、小于0，大于0，不符合题意
综上所述
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由数学符号可得
【分析】（1）先化简括号里的数据，再根据数学符号的规定即可求解；
（2）根据数学符号的规定得到 的最大值为2，进而列出关于x的一元一次不等式组，不等式组，解一元一次不等式组即可求解；
（3）根据数学符号的规定，分当时，当时，当时三种情况进行讨论，取符合题意的x的值，从而求解.
25．（2023八上·冷水滩月考）如图1，四边形ABCD中，，，，，，动点N从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，连接DN，设点N运动的时间为t秒．
（1）若，求t的值：
（2）当t为何值时，点D在线段CN的垂直平分线上，并说明理由；
（3）如图2，动点M同时从点A出发，以每秒1个单位的运度沿AD向点D运动，当点N停止运动时，点M也随之停止运动．连接MN，当t为何值时，，说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：
过点D做于Q点，∵，且，
∴∴，
又∵，
∴
又∵DB为CN的垂直平分线
∴
∴
∴
（3）解：∵
∴
∴
解的
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质，以及路程、速度、时间之间的关系即可求解；
（2） 过点D做于Q点，∵，且， ，利用平行线的性质求得 ， ，利用垂直平分线的性质得到 ，进而求出CN的值，根据路程、速度、时间之间的关系从而求解；
（3）利用全等三角形的性质得到 ，进一步得到关于t的一元一次方程，解方程即可求解.
