2023-2024学年四川省成都市金牛区铁路中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．（4分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣2
C．＝﹣2 D．＝2+3
4．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．等角的余角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．＝，SA2＞SB2，则A组数据更稳定
5．（4分）如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（4分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
7．（4分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．（4分）关于一次函数y＝kx﹣2k图象，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
9．（4分）在平面直角坐标系内，一个点的坐标为（2，﹣3），则它关于x轴对称的点的坐标是 ．
10．（4分）已知，则（a﹣b）2＝ ．
11．（4分）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
12．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4 ．
三、解答题
13．（10分）（1）计算：（1）；
（2）解方程组：．
14．（10分）解不等式（组）
（1）解不等式5x﹣12≤2（4x﹣3），并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
16．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
17．（8分）武侯区某校开展了“我阅读我快乐”活动，王华调查了本校40名学生本学期购买课外书的费用情况，数据如下表：
费用（单位：元） 20 30 50 80 100
人数 6 10 12 8 4
（1）这40名学生本学期购买课外书的费用的众数是 ，中位数是 ，
（2）求这40名学生本学期购买课外书的平均费用；
（3）若该校共有学生1000名，试估计该校本学期购买课外书费用在50元以上（含50元）的学生有多少名？
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是 ．
20．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．
21．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合 ．
22．（4分）如图，直线y1＝mx与直线y2＝kx+b交于点P（2，1），则不等式组的解集为 ．
23．（4分）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，则BE的最小值为 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发展理念的公园城市示范区行动计划（2021﹣2025年）》．某学校同学为此积极设计了两款文创产品共100件，需成本25元；3件A产品与2件B产品
（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？
（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低于4500元，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，以及最大利润是多少？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4）（4，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．
26．（12分）如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，EC＝EF，点E在AC边上．
（1）如图1，连接BE，若AE＝3，求FC的长度；
（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，求旋转角α的度数；
（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，点P为BF的中点，连接AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【解答】解：，
∴3.1415，，是有理数，．
故选：B．
2．（4分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥8．
故选：D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝±4 B．＝﹣2
C．＝﹣2 D．＝2+3
【解答】解：A、原式＝4；
B、原式＝﹣2；
C、原式＝|﹣8|＝2；
D、原式＝，
故选：B．
4．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．等角的余角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．＝，SA2＞SB2，则A组数据更稳定
【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝±b，故错误；
B、等角的余角相等，是真命题；
C、同旁内角互补，故错误；
D、＝，SA3＞SB2，则B组数据更稳定，故错误；
故选：B．
5．（4分）如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
故选：C．
6．（4分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
【解答】解：A、不等式的两边都减2，故A错误；
B、不等式的两边都除以2，故B错误；
C、不等式的两边都乘以﹣6，故C正确；
D、不等式的两边都乘以﹣1，故D错误；
故选：C．
7．（4分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是2cm．
故选：D．
8．（4分）关于一次函数y＝kx﹣2k图象，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、k＞0，故A正确；
B、k＜0，故B错误；
C、k＜5，故C错误；
D、k＞0，故D错误；
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
9．（4分）在平面直角坐标系内，一个点的坐标为（2，﹣3），则它关于x轴对称的点的坐标是 （2，3） ．
【解答】解：一个点的坐标为（2，﹣3），6），
故答案为：（2，3）．
10．（4分）已知，则（a﹣b）2＝ 25 ．
【解答】解：∵，
∴a﹣2＝8，b+3＝0，
解得a＝6，b＝﹣3．
∴（a﹣b）2＝（4+3）2＝25．
故答案为：25．
11．（4分）若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|+3＞2是关于x的一元一次不等式，
∴m﹣1≠0，|m|＝4．
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵折叠，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE，
在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，
AE4＝（4﹣AE）2+3，
∴AE＝
故答案为：
三、解答题
13．（10分）（1）计算：（1）；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1+2﹣8
＝3；
（2），
②×2﹣①得：7y＝﹣7，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：3x+1＝3，
解得：x＝3，
故原方程组的解为．
14．（10分）解不等式（组）
（1）解不等式5x﹣12≤2（4x﹣3），并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）5x﹣12≤2（5x﹣3），
5x﹣12≤6x﹣6，
5x﹣8x≤﹣6+12，
﹣3x≤4，
x≥﹣2，
在数轴上表示为：
；
（2），
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
所以不等式组的解集是﹣7≤x＜1．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7为所作；A1（0，﹣4），B1（3，﹣6），C1（2，﹣8）；
（2）△A1B1C6的面积＝2×3﹣×2×6﹣×1×6＝2．
16．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
17．（8分）武侯区某校开展了“我阅读我快乐”活动，王华调查了本校40名学生本学期购买课外书的费用情况，数据如下表：
费用（单位：元） 20 30 50 80 100
人数 6 10 12 8 4
（1）这40名学生本学期购买课外书的费用的众数是 50 ，中位数是 50 ，
（2）求这40名学生本学期购买课外书的平均费用；
（3）若该校共有学生1000名，试估计该校本学期购买课外书费用在50元以上（含50元）的学生有多少名？
【解答】解：（1）这次调查获取的样本数据的众数是50元，这次调查获取的样本数据的中位数是50元，
故答案为：50，50；
（2）平均数为：×（6×20+10×30+12×50+3×80+4×100）＝51.5（元）；
（3）调查的总人数是40人，其中购买课外书花费50元以上（含50元）的学生有24人，
∴该校本学期购买课外书费用在50元以上（含50元）的学生有：1000×＝600（人）．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入正比例函数y4＝kx得，k＝﹣2，
∴正比例函数为y2＝﹣2x；
∵一次函数y1＝mx+n的图象经过A（﹣1，5），0）．
∴，
解得
∴一次函数为y5＝﹣x+；
（2）设BC的解析式为y＝﹣2x+b，把B（4，可得
b＝10，
∴y＝﹣2x+10，
令x＝0，则y＝10，10），
∴OC＝10，
∴四边形AOBC的面积＝S△ACO+S△BCO＝×10×1+；
（3）∵y6＜y1，
∴（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，
整理得：（2a﹣5+）x+（2a+b﹣2﹣，
根据题意得，
解得a＝，b＜﹣2．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【解答】解：，
①+②得2x+7y＝2m+4，
则x+y＝m+3，
根据题意得m+2＞0，
解得m＞﹣3．
故答案为：m＞﹣2．
20．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 1＜a≤2 ．
【解答】解：解不等式2x+1≥2得：x≥1，
解不等式x﹣a＜1得：x＜4+a，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为1≤x＜1+a，
不等式的两个整数解为x＝4和x＝2，
∴2＜4+a≤3，
解得：1＜a≤6，
即实数a的取值范围是1＜a≤2，
故答案为：8＜a≤2．
21．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合 8 ．
【解答】解：如图，连接AI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为8．
故答案为：6．
22．（4分）如图，直线y1＝mx与直线y2＝kx+b交于点P（2，1），则不等式组的解集为 ﹣1＜x＜2 ．
【解答】解：将P（2，1）代入解析式y5＝mx得，1＝2m，
解得m＝，
∴y1＝x，
将y＝﹣代入解析式得，﹣＝x，
∴x＝﹣1，
∵直线y8＝mx，y2＝kx+b交于点P（2，3），
∴不等式组﹣＜mx＜kx+b的解集为﹣7＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜4．
23．（4分）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，则BE的最小值为 ．
【解答】解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，则∠BCF＝90°，
∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，
∴∠PCE＝90°，PC＝EC，
∴∠BCP＝∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
，
∴△BCP≌△FCE（SAS），
∴∠CBP＝∠CFE，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BHF＝90°，
∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，
∵BH⊥EF，
∴当点E与点H重合时，BE＝BH最短，
∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，
∴CP＝BC＝CP＝，
又∵∠PCE＝∠CPH＝∠PHE＝90°，CP＝CE，
∴正方形CPHE中，PH＝CP＝，
∴BH＝BP+PH＝，
即BE的最小值为，
故答案为：．
解法2：如图，连接PD，
由题意可得，PC＝EC，BC＝DC，
∴∠DCP＝∠BCE，
在△DCP和△BCE中，
，
∴△DCP≌△BCE（SAS），
∴PD＝BE，
当DP⊥OM时，DP最短，
∵∠AOB＝30°，AB＝，
∴OD＝OA+AD＝3+，
∴当DP⊥OM时，DP＝，
∴BE的最小值为．
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24．（8分）2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发展理念的公园城市示范区行动计划（2021﹣2025年）》．某学校同学为此积极设计了两款文创产品共100件，需成本25元；3件A产品与2件B产品
（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？
（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低于4500元，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，以及最大利润是多少？
【解答】解：（1）设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元
，
解得：，
答：A产品的成本是10元，B产品的成本是15元；
（2）设A产品的数量为m件，则B产品的数量为（100﹣m）件
，
解得：，
故不等式组的解集为：40≤m≤50，
利润为：（50﹣10）m+（65﹣15）×（100﹣m）＝﹣10m+5000，
当m＝40时，其利润最大，
则B产品的数量为：100﹣40＝60（件），
答：A产品的数量为40件，则B产品的数量为60釿时．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4）（4，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．
∵点A（﹣4，2），0）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2；
（2）∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
∴有∠BAM＝90°或∠ABM＝90°，
①当∠BAM＝90°时，如图6，
过A作AB的垂线，交x轴于点M1，交y轴于点M2，
则可知△AEM7∽△BEA，
∴＝，
由（1）可知OE＝OB＝AE＝4，
∴＝，解得M1E＝2，
∴OM7＝2+4＝2，
∴M1（﹣6，3），
∵AE∥y轴，
∴＝，即＝，解得OM2＝12，
∴M4（0，12）；
②当∠ABM＝90°时，如图2，
过B作AB的垂线，交y轴于点M3，
设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，
∴OE＝2，OB＝4，
由题意可知△BOE∽△M3OB，
∴＝，即＝，解得OM3＝8，
∴M5（0，﹣8），
综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，﹣2）；
（3）不变．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线、H，如图3．
则∠AGC＝∠AHD＝90°，
又∵∠HOC＝90°，
∴∠GAH＝90°，
∴∠DAG+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAH．
∵A（﹣4，5），
∴OG＝AH＝AG＝OH＝4．
在△AGC和△AHD中
∴△AGC≌△AHD（ASA），
∴GC＝HD．
∴OC﹣OD＝（OG+GC）﹣（HD﹣OH）＝OG+OH＝8．
故OC﹣OD的值不发生变化，值为7．
26．（12分）如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，EC＝EF，点E在AC边上．
（1）如图1，连接BE，若AE＝3，求FC的长度；
（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，求旋转角α的度数；
（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，点P为BF的中点，连接AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝7，
∴EF＝EC＝AC﹣AE＝7﹣5＝4，
∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3，
∴CF＝＝＝6；
（2）①如图2﹣5中，当CM＝CN时∠ACB＝22.3°．
如图2﹣2中，当NM＝NC时．
如图8﹣3中，当CN＝CM时∠BCM＝67.5°．
综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．
（3）结论：CF+AE＝BP．
理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE，
∵P是BF的中点，
∴BP＝BF，
∵BP＝BF＝，CF＝，DE＝，
∴BP＝（CF+，
∴CF+AE＝BP．
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