2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（05）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2023的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2.如图图形中的轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
3. 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5.下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3 m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n2
6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5
7.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
8．不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：__________．
12. 计算﹣2的结果是 ．
13. 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________．
14. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）
15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当 1
17.某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
18. “一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像的高度，某数学兴趣小组在处用测角仪测得雕像顶部的仰角为，测得底部的俯角为．已知测角仪与水平地面垂直且高度为1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
20. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
21. 党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是__________吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是__________，平均数是__________；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
（1）求的长和关于的函数表达式．
（2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
（3）延长交半圆于点，当时，求的长．
23. 如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为______；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（05）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2023的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据只有符号不同两个数互为相反数进行解答即可得．
的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.如图图形中的轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念判断即可．
A.不是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.不是轴对称图形。
3. 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
数12910000用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】B
【解析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°．
5.下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3 m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n2
【答案】B
【解析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
A.3mn﹣2mn＝mn，故本选项不合题意；
B．（m2n3）2＝m4n6，故本选项符合题意；
C．（﹣m）3 m＝﹣m4，故本选项不合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不合题意．
6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5
【答案】A
【解析】根据众数和中位数的概念求解．
将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据列表法求概率即可求解．
列表如下，
女 女 女 男
女 女，女 女，女 女，男
女 女，女 女，女 女，男
女 女，女 女，女 女，男
男 男，女 男，女 男，女
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
8．不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解两个一元一次不等式，再在数轴上画出两个不等式的解集．
解：，
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥1，
如图，在数轴上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式组的解集是：1≤x＜3．
9. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接根据圆周角定理即可得．
∵，
∴由圆周角定理得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】二次函数开口向下，则，
二次函数对称轴为，则，，，
∴，故①正确；
∵过点，
∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为，
由函数图象可得时，
，故②正确；
时，
，
代入得：，故③错误；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，，
∴当时，
点到对称轴距离小于点到对称轴的距离
∵二次函数开口向下
∴，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选： D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：__________．
【答案】a（a+1）2
【解析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：
a±2ab+b=（a±b）
a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），
=a（a+1）2．
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键
12. 计算﹣2的结果是 ．
故答案为：2．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
13. 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________．
【答案】
【解析】【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解．
【详解】把代入，得
，
设当时，与之间的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得：，
∴与之间的函数表达式为
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
14. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．
【详解】第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
【答案】．
【解析】根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到GN的长，然后通过图形可知，△AGF的面积＝△ABF的面积﹣△ABG的面积，代入数据计算即可．
解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴，
即，
解得x＝，
∴GN＝4x＝，
∴△AGF的面积是：＝＝，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
【答案】
【解析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、零指数幂，再进行实数混合运算即可．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（2）已知二次函数y=x2 2x 3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当 1
【答案】
【解析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．
y=x2 2x 3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2 2x 3的图象如图：
由图象知．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．
17.某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【解析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
18. “一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像的高度，某数学兴趣小组在处用测角仪测得雕像顶部的仰角为，测得底部的俯角为．已知测角仪与水平地面垂直且高度为1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【答案】米
【解析】【分析】过点作于，则四边形是矩形，则，在与中，分别表示出，根据即可求解．
【详解】如图，过点作于，则四边形是矩形，
，
中，，
，
中，，
，
米
答：雕像的高为米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
20. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交于点P，则即为所求；
（2）过点P作，根据和题中条件可求出的面积，再结合角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交于点P，则即为所求．
（2）过点P作，如图所示，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【点睛】主要考查作图—基本作图，解题关键是掌握角平线的尺规作图及角平分线的性质．
21. 党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：
请根据图中信息回答下列问题：
（1）该种粮大户2022年早稻产量是__________吨；
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是__________，平均数是__________；
（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？
【答案】（1）9.2 （2）160吨；172吨 （3）264.5吨
【解析】【分析】（1）用2022年总量乘以早稻所占的百分比求解即可；
（2）根据中位数和平均数的概念求解即可；
（3）首先求出年增长率，进而求解即可．
【详解】（1）
（吨）
故答案为：9.2．
（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：
120，150，160，200，230
∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；
（吨）
∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的平均数是172吨；
故答案为：160吨，172吨；
（3）
（吨）
∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．
【点睛】扇形统计图和条形统计图，求中位数和平均数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
（1）求的长和关于的函数表达式．
（2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
（3）延长交半圆于点，当时，求的长．
【答案】（1），
（2）或或 （3）
【解析】【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得；
（2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解．
（3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接．
∵切半圆于点，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
如图2，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，三边之比为（如图2），
∴可分为三种情况．
i）当时，
，，
解得，
∴．
ii）当时，
，，
解得，
∴．
iii）当时，
，，
解得，
∴．
（3）如图3，连接，，过点作于点，
则，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键．
23. 如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
（1）当点和点重合时，线段的长为______；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
（4）作点关于直线对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
【答案】（1） （2）
（3）见解析 （4）或或
【解析】【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解．
（2）证明，得出；
（3）过点作于点，证明得出，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解．
【详解】
（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形
∴
∵，
∴四边形是矩形，
当点和点重合时，
∴，
在中，，
故答案为：．
（2）如图所示，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（4）①如图所示，当点在上时，
∵，
在中，，
则，
∵，则，，
在中，，
∴
解得：
当时，点在矩形内部，符合题意，
∴符合题意，
②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，
则，，
在中，
，
解得：，
③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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