2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（01）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果+10°C表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案．
因为°C表示零上10度，
所以零下8度表示“”．
故选B
【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义．
2.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
A.是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不合题意．
3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】过点E作GE∥AB．利用平行线的性质得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定义∠EFD＝90°，进而得出∠GEF＝90°，根据角的和差得到∠BEG＝60°，再根据平行线的性质求解即可．
如图，过点E作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠GEF+∠EFD＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，
∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，
∵GE∥AB，
∴∠ABE＝∠BEG＝60°。
5. 化简的结果是（ ）
A． B． C．（x+1）2 D．（x﹣1）2
【答案】D
【解析】将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果：
。故选D。
6. 某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A. 本次调查的样本容量为100 B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C. 最喜欢足球的学生为40人 D. “排球”对应扇形的圆心角为
【答案】D
【解析】A.随机选取100名学生进行问卷调查，数量100就是样本容量，据此解答；
B.由扇形统计图中喜欢篮球的占比解答；
C.用总人数乘以即可解答；
D.先用1减去足球、篮球、乒乓球的占比得到排球的占比，再利用乘以排球的占比即可解答．
【详解】A. 随机选取100名学生进行问卷调查，数量100就是样本容量，故A正确；
B.由统计图可知， 最喜欢篮球的人数占被调查人数的，故B正确；
C. 最喜欢足球的学生为（人），故C正确；
D. “排球”对应扇形的圆心角为，故D错误
故选：D．
【点睛】本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据概率公式可直接求解．
∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
9. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
【答案】B
【解析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
∵抛物线对称轴，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
12. 计算：_____________．
【答案】
【解析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
13．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是________尺．
【答案】8
【解析】设绳长x尺，由题意得x-4=x-1，解得x=36，井深：×36-4=8（尺），故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．
14. 某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是______．
【答案】65
【解析】根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.故答案是：65.
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并且得到关键的信息．
15. 如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 _____（填上所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】【分析】①正确，证明△ADM≌△DCN（SAS），可得结论．
②③错误，利用反证法证明即可．
④正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正确，
不妨假设∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故②错误，
不妨假设△PQN≌△BQN，
则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故③错误，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQAN＝5．故④正确，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
【答案】
【解析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和.
【答案】5
【解析】∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
17. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】见解析。
【解析】设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．由桥梁和隧道全长共55km，得x+y＝55．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得y＝9x﹣4，然后列出方程组，解方程组即可．
解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
18. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】如图，过点作于点，
由题意得：米，，
，
，
在中，米，米，
在中，米，米，
则（米），
答：压折前该输电铁塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为多少．
【答案】（1）见解析； （2）
【解析】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
20. （2023浙江温州）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【详解】（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．
（2）画法不唯一，如图3或图4．
【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．
21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
（1）填空：__________；___________；___________；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【答案】（1）19，26.8，25 （2）见解析
【解析】【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解；
（2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可．
【详解】（1）将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为：，
由题意可知B线路所用时间得平均数为：
，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴B线路所用时间的众数为：
故答案为：19，26.8，25；
（2）根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．
因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．
【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】（1），
（2），，证明见解析
（3）
（4）或
【解析】【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设交于点，
∵
∴，
故答案为：，．
（2）结论：，；
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）如图所示，
连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，
延长至，使得，
则是等腰直角三角形，
∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
过点作于点，
设，则，
中，，
在中，
∴
∴
解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，
∴，
综上所述，或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
23.【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1） （2）成立；理由见解析 （3）或
【解析】【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年广东省统一命题初中学业水平考试数学三模仿真试卷八套
2024年广东省数学三模专用卷（01）
满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果+10°C表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A. B. C. D.
2.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5. 化简的结果是（ ）
A． B． C．（x+1）2 D．（x﹣1）2
6. 某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A. 本次调查的样本容量为100 B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C. 最喜欢足球的学生为40人 D. “排球”对应扇形的圆心角为
7. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：________．
12. 计算：_____________．
13．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是________尺．
14. 某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是______．
15. 如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 _____（填上所有正确结论的序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和.
17. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
18. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为多少．
20. （2023浙江温州）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
（1）填空：__________；___________；___________；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
23.【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
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