2024年高考数学模拟试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数轴法解决集合的交集运算即可得解.
【详解】
因为，
所以.
答案：B
2．若复数满足，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
借助复数的性质设，结合题意计算即可得.
【详解】设，则，故有，
即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确，
B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误.
故选：A.
3．已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，公比为q，前n项和为，
若，即，则，即数列是单调递增数列；
若数列是单调递增数列，则，所以；
所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件.
故选：C.
4．设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，结合题意建立建立方程，可得答案.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程可表示为，
由题意整理方程可得，则，解得.
故选：A.
5．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
6．已知函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】若函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
函数，
因为函数在上递增，函数在定义域上递增，
所以函数在上是增函数.
故选：A
7．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．23 B．100 C．150 D．232
【答案】B
【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别，
依题意，，即，两边取对数得，
因此，
所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
故选：B
8．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为，高分析可得新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，由此可得，由圆柱的侧面积公式计算可得答案.
【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为，高，其轴截面的面积为，
新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，
若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，
即
所以圆柱的侧面积为.
故选：A.
9．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦型函数的图象与性质得到不等式，解出即可.
【详解】由题意可得
.
令，解得，
因为，所以.
因为在上恰有两个零点，
所以，解得.
故选：B.
10．已知圆，点，过原点的直线与圆相交于两个不同的点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取线段的中点，求出点的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心，半径为2，
取线段的中点，连接，当与圆的圆心不重合时，，
点在以线段为直径的圆上（在圆内的圆弧上），当与重合时，也在此圆弧上，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆在圆内的圆弧，圆弧所在圆心为，方程为，
显然，过点与点的直线斜率，
过点与点的直线斜率，显然，即过点与点的直线与该圆弧相交，
因此，点与点的距离为3，则，
所以的取值范围为.
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据对数的底数大于零且不等于及对数的真数大于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
12．已知向量，，若，则 .
【答案】/
【分析】
首先求出的坐标，再由向量垂直得到，即可求出，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：
13．抛物线的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为 ．
【答案】 ；
【分析】由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角，此时取最大值.
【详解】抛物线即的准线l的方程为；
l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大，
设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得.
∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为.
故答案为：；.
14．已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是奇函数，则函数的解析式为 ；函数的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据周期可得，进而根据平移可得，根据奇偶性即可得，进而可得解析式；由三角恒等变换可得，即可求解最值.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，
将的图象向右平移个单位长度后得的图象，
即，因为是奇函数，所以，
得，又，所以．所以，
由，
因为，所以的最大值为，当，即时取得．
故答案为：，
15．定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的有
①的值域为 ②是偶函数
③存在无理数，使 ④对任意有理数，有
【答案】①②④
【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定选项①;由偶函数的定义，可判定选项②;由函数的解析式可验证选项③④
【详解】由题意，函数，可得函数的值域为，故①正确；
若为有理数,则为有理数，可得
；
若为无理数,则为无理数，可得
，
所以函数为定义域上的偶函数，故②正确；
当为无理数，若为有理数，则为无理数，
若为无理数，则可能为有理数，也有可能是无理数，
不满足，所以③错误；
对任意有理数，若为有理数，则为有理数，
若为无理数，则为无理数，所以，则④正确.
故选：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，
（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.
【详解】（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，则，
因为，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，可得，
所以，
由余弦定理可得，所以.
17．某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2023年和2024年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：
2023年 2024年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 60人 40人 50人 50人
第二次 70人 30人 60人 40人
第三次 80人 20人 m人 人
假设每次考试是否通过相互独立．
(1)从2023年和2024年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
(2)在2024年参加考试的众多考生中，随机抽取3人，这3人中至多参加两次考试就通过了的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)若2024年考生成绩合格的概率不低于2023年考生成绩合格的概率，求m的最小值．（直接写出结果）
【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)
【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；
（2）根据二项分布可求分布列，根据公式可求期望.
（3）分别求出2023年和2024年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.
【详解】（1）记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，
记事件：“2024年第次参加考试的考生通过考试”，，
则，，
从2023年和2024年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；
（2）由题设有，
在2024年参加考试的众多考生中，随机抽取1人，至多参加两次考试就通过的概率为：
，
又可取值.
则，，
，，
故随机变量的分布列为：
所以.
（3）2023年考生成绩合格的概率为,
2024年考生成绩合格的概率为，
要使2024年考生成绩合格的概率不低于2023年考生成绩合格的概率，
则，解得.
18．在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)存在，
【分析】（1）首先证明平面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明底面；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论.
【详解】（1）在中，，
所以．
在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，
所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，则，
所以，，
因为，、平面，
所以面．
（2）因为平面，以点A为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，
设为面的法向量，则有，
取，则，
所以，平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为
，
由题意可得，
可得，因为，所以．
因此，存在点使得与平面所成角的余弦值为，且．
19．已知椭圆C：的左、右焦点分别为,、,，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.试问x轴上是否存在定点Q，使得x轴恰好平分？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，点
【分析】（1）由题意，根据两点距离公式和椭圆的定义求得，进而，即可求解；
（2）易知当l与x轴重合时，符合题意；当l不与x轴重合时，设l：，，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示可得、，结合两点表示直线斜率得，进而，化简计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，，，
则，，
，
故椭圆C的方程为；
（2）当l与x轴重合时，x轴上的任意一点都符合题意；
当l不与x轴重合时，设l：，，，，
由，得：，
，，
，即，
得，
所以，
∴ x轴上存在定点，使得x轴恰好平分.
20．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案.
（2）将原问题转化为对于任意，都有恒成立，即需；从而结合函数的单调性，确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式，构造函数，利用导数即可求解.
【详解】（1）由于，故，切点为，
，
所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为．
（2）令，则，
所以为R上单调递增函数，
因为，所以时，时，，
所以在单调递减，在单调递增．
若对于任意，都有恒成立，即只需．
因为在单调递减，在单调递增，
所以的最大值为和中最大的一个，
所以，
设，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
，故当时，．
当时，，则成立．
当时，由的单调性，得，即，不符合题意．
当时，，即，也不符合题意．
综上，的取值范围为.
21．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①的可能值为.②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.
【详解】（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
2024年高考数学模拟试卷
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则可以为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
6．已知函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数
7．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．23 B．100 C．150 D．232
8．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆，点，过原点的直线与圆相交于两个不同的点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数的定义域是 .
12．已知向量，，若，则 .
13．抛物线的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为 ．
14．已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是奇函数，则函数的解析式为 ；函数的最大值为 ．
15．定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）
①的值域为
②是偶函数
③存在无理数，使
④对任意有理数，有
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
17．（13分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2023年和2024年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：
2023年 2024年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 60人 40人 50人 50人
第二次 70人 30人 60人 40人
第三次 80人 20人 m人 人
假设每次考试是否通过相互独立．
(1)从2023年和2024年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
(2)在2024年参加考试的众多考生中，随机抽取3人，这3人中至多参加两次考试就通过了的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)若2024年考生成绩合格的概率不低于2023年考生成绩合格的概率，求m的最小值．（直接写出结果）
18．（14分）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（15分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为,、,，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.试问x轴上是否存在定点Q，使得x轴恰好平分？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（15分）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
21．（15分）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
