第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
1.下列实物不能近似看成多面体的是( )
A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔
2.下列关于棱柱的命题中,真命题的个数是( )
①同一棱柱的侧棱平行且相等;
②一个棱柱至少有5个面;
③当棱柱的底面是正多边形时,该棱柱一定是正棱柱;
④当棱柱的底面是等腰梯形时,该棱柱一定是平行六面体.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示的几何体中,为棱柱的是 (填写所有正确的序号).
4.下列关于棱锥的叙述,正确的是( )
A.五面体一定是四棱锥 B.五棱锥有六个顶点
C.侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D.正棱锥的侧棱都相等
5.如图所示的几何体中,为棱锥的是( )
A.①③ B.①③④ C.①②④ D.③④
6.如图所示的几何体中,为棱台的是( )
7.一个棱锥所有的棱长都相等,则该棱锥一定不是( )
A.正三棱锥 B.正四棱锥 C.正五棱锥 D.正六棱锥
8.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( )
A.棱柱的侧棱长都相等 B.四棱锥有四个顶点
C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等
9.下列图形中,不能折成三棱柱的是( )
A B C D
10.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台
11.下列说法正确的有( )
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过点E,F,G作正方体的截面,则截面的面积为 .
13.如图,正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为,高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面(不能通行),则爬行的最短路程是 ( )
A. B.2+ C.4 D.+
14.下列说法中正确的是( )
A.有两个面相互平行,其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱
B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥
C.用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
15.下列关于正棱锥的叙述不正确的是( )
A.正棱锥的高与底面的交点是底面的中心
B.正四棱锥的各侧面都是锐角三角形
C.正棱锥的各侧面都是等腰三角形
D.底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
16.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,AA1=2,P、Q分别为棱AA1,C1D1的中点,则从点P出发,沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为( )
A.3 B.4 C. D.5
18.(多选)过正方体棱上三点D,E,F(均为棱的中点)的截面过点P(点P为BB1的中点)的是( )
A B C D
19.(多选)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几何图形的4个顶点,这些几何图形可以是( )
A.直角梯形
B.有三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体
C.每个面都是等边三角形的四面体
D.每个面都是直角三角形的四面体
20.如图,在将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,求倾斜后水槽中的水形成的几何体是 .
21.如图,在正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,求截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线构成的三角形的周长的最小值.
22.如图所示的正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为3,求该正四棱台的侧棱长.
北京大兴国际机场的显著特点是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体(所有棱都相等的四面体)在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×=π,故其总曲率为4π.求四棱锥的总曲率和三棱柱的总曲率.
第2课时 旋转体
1.下列关于圆柱的说法中,不正确的是( )
A.分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面
D.以一个矩形一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴,各边旋转180°而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
2.一个圆锥的高为2 cm,母线与旋转轴的夹角为30°,求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
3.如图,某工厂生产的一种机器零件原胚是一个中空的圆台,中空部分呈圆柱形状,且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合,该零件原胚可由下面图形中的一个绕对称轴(直线l)旋转而成,这个图形是( )
A B C D
4.下列说法正确的是( )
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一直线上
C.球面上任意两点的连线是球的直径
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
5.请描述下列组合体是由哪些几何体组成的.
6.下列命题中正确命题的个数是 ( )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个;
②用任意一个平面去截球得到的截面图形一定是一个圆;
③用任意一个平面去截圆锥得到的截面图形一定是一个圆.
A.0 B.1 C.2 D.3
7.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得到的几何体可拆分为( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
8.如图,阴影部分绕虚线旋转一周形成的几何体为( )
A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体
9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
10.如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,则圆台O'O的母线长为( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
11.(多选)由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形拼接形成的轴对称平面图形如图所示,若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体,下面命题中是真命题的为( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.用经过轴l的平面截该组合体得到的截面图形都相同
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
12.若球的半径为2,则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为( )
A.4π B.π C.2π D.π
13.如图所示的螺母可以看成一个组合体,对其结构特征最接近的表述是( )
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
14.给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
15.碾子是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如图,近似圆柱形的碾子的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,当人推动木柄时,碾子在圆盘上滚动.若人推动木柄绕圆盘转动1周,碾子恰好滚动了3圈,则该圆柱形碾子的高与其底面圆的直径之比为( )
A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3
16.一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫做“球台”,两平行平面间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看成如图2所示的球台,已知杯底的直径为2cm,杯口直径为4cm,杯的深度为cm,则该卧足杯侧面所在球面的半径为 ( )
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
17.已知圆锥SO的底面半径R=5,高H=12.
(1)求圆锥SO的母线长.
(2)设圆锥SO的内接圆柱OO'的高为h,当h为何值时,内接圆柱OO'的轴截面面积最大 求出最大值.
参考答案
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
1.答案：C
2.答案：B
3.答案：③⑤
4.答案：D
5.答案：C
6.答案：C
7.答案：D
8.答案：B
9.答案：C
10.答案：B
11.答案：A
12.答案：3
13.答案：A
14.答案：B
15.答案：D
16.答案：C
17.答案：B
18.答案：AD
19.答案：BCD
20.答案：棱柱
21.解析：把正三棱锥A-BCD展开,CC'即是截面与正三棱锥侧面交线构成的三角形周长的最小值.
正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,∴AC⊥AC',又AB=2,
∴AC=AC'=AB=2,∴CC'=2,
∴周长的最小值是2.
22.解析：连接O'A',OA,过A'作A'E⊥OA,交OA于点E,
∵正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为3,
∴A'O'=OE=A'C'=,AO=AC=4,A'E=O'O=3,
∴AE=AO-OE=3,
∴AA'==6.
故该正四棱台的侧棱长为6.
23.解析：四棱锥是一种五面体,它的总曲率等于五面体5个顶点的曲率之和.
如图,四棱锥P-ABCD的表面由4个三角形,1个四边形组成,面角和为4×π+1×2π=6π,
则其总曲率为2π×5-6π=4π.
三棱柱也是五面体,它的总曲率等于五面体6个顶点的曲率之和.
如图,面角和为2×π+3×2π=8π,
则其总曲率为2π×6-8π=4π.
第2课时 旋转体
1.答案：C
2.解析：轴截面SAB如图所示：
圆锥SO的底面直径为AB,高为SO,母线为SA,则∠ASO=30°.
在Rt△SOA中,AO=SO·tan 30°=(cm),
SA==(cm),
所以S△ASB=SO·2AO=(cm2).
所以圆锥的母线长为 cm,
圆锥的轴截面的面积为 cm2.
3.答案：B
4.答案：D
5.解析：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;
②是由一个长方体截去一个三棱锥得到的组合体;
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥得到的组合体.
6.答案：C
7.答案：D
8.答案：B
9.答案：D
10.答案：A
11.答案：BCD
12.答案：D
13.答案：C
14.答案：A
15.答案：B
16.答案：A
17.解析：(1)∵圆锥SO的底面半径R=5,高H=12,
∴圆锥SO的母线长l==13.
(2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,
其中SO=12,OA=OB=5,OO'=h(0
设圆柱的轴截面面积为S',则S'=2r·h=(12h-h2)=[-(h-6)2+36](0
