黄石八中教联体2023--2024学年九年级3月份学业质量评价数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．（﹣pq）3＝p3q3 B．x x3+x2 x2＝x8
C．±5 D．（a2）3＝a6
6．估计（＋）的值应在（ ）
A.7和8之间 B.8和9之间
C.9和10之间 D.10和11之间
7．下列运算正确的是（ ）
A.a5÷a2＝a3 B.a3＋a3＝a6 C.（a3）2＝a5 D.＝a
8．化简＋x－2的结果是（ ）
A.1 B. C. D.
9．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上）
11．废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水7．数据7用科学记数法可表示 ．
12．化简：的结果为 ．
13．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
14.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
15．如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是 ．
三、解答题（本大题有8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）（1）计算：||+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
19．（8分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积．
22．在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为多少？（精确到．参考数据：）
23．（11分）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
黄石八中教联体2023--2024学年九年级3月份学业质量评价数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．
【解答】解：由题可知：﹣20＜﹣10＜0＜2，
所以最低气温是﹣20℃．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，题目难度较小，一般出现在期末第一题．
2．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．【答案】D
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
故选：D．
4．【答案】C
【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，，则此项正确，符合题意；
D、，，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
5．【分析】本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．
【解答】解：A：（﹣pq）3＝（﹣p）3q3＝﹣p3q3，故选项A错误，
B：x x3+x2 x2＝x4+x4＝2x4，故选项B错误，
C：5，故选项C错误，
D：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：D．
【点评】本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．解题的关键是理解算术平方根的意义，幂的乘方的运算．
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】D
【详解】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，，，
，，
∵∴
∵
∴在中，，
，．
故选：D．
10．【答案】A
【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④．
【详解】解：由图可知，
∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，
∴，∴，故①不正确，不符合题意；
∵向上平移个到位长度得到，
∴的对称轴也为直线，
∵，∴，
∵，∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离，
∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴，故②不正确，不符合题意；
作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，
把代入得：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则，
∴，整理得：，
∴，则，
把代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴，故③正确，符合题意；
方程整理为，
∵，
由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，
则原方程无实数根，
∵，∴，
解得：，
∵，
∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有③，共1个，
故选：A．
填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上）
11．【答案】7.6×
12．【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13．【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．6（＋1）
15．【答案】
【分析】如图，由题意可得：在上，过作于，由点B关于直线的对称点，可得，，，，当与切于点时，最大，此时，证明，重合，可得，，求解，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：在上，过作于，
∵点B关于直线的对称点，
∴，，，，
当与切于点时，最大，此时，
∴，∴，重合，∴，
∵矩形，∴，，，，
∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，∴点到的距离是．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值对原式进行化简，然后再合并即可．
【解答】解：||+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，能够灵活使用各种运算法则是解题的关键．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
17．解：，
∵，
∴当时，
原式．
18．【分析】连接AC交BD于O，根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，于是得到结论．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AM∥CN，∴∠EAC＝∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴BO﹣OE＝OD﹣OF，∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
19．【分析】（1）根据统计图中的数据，可以写出a的值，计算出b、c的值；
（2）根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义解答即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，
a＝8，b＝1﹣20%＝80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c＝（7+8）÷2＝7.5，
由上可得，a＝8，b＝80%，c＝7.5；
（2）600×85%＝510（人），
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
（3）根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩（答案不唯一）．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
20．【分析】（1）根据反比例函数过A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）反比例函数y的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a （﹣1），∴m＝﹣4，a＝4，∴反比例函数为y，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y上，∴5+n，
解得n．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，表示出Q点的坐标是解题的关键．
21．【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答；
（2）连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CB，∴∠E＝90°，∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠DBE，
∴OD∥BE，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BCAB＝2，∠BOC＝60°，
在Rt△OBF中，OF＝OB sin60°＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积
BC OF
2
，
∴图中阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．略
23．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，得到∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G＝∠DFC＝90°，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠ADC＝90°，求得∠ADG＝∠CDF，根据全等三角形的性质得到AG＝CF，DG＝DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，∴△AHM是等腰直角三角形，∴∠HAM＝45°，∴∠HAB＝∠MAC，
∵，∴△AHB∽△AMC，∴，
即BHCM．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24．【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为，即可求出P2（，）；
（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．
【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，
得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），
∴B（3，0），
设直线BD解析式为y＝kx+e，
∵B（3，0），D（1，﹣4），∴，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，
得﹣3＝2×0+d，
解得：d＝﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
故P1（4，5），
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，
解得：，
∴E（，0），
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC＝OG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），
∴，
∴，
∴F（3，），
设直线CF解析式为y＝k1x+e1，
∵C（0，﹣3），F（3，），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得，
解得：x1＝0（舍），，
∴P2（，），
综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，）；
（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t﹣3），
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，
∵MQ∥x轴，
∴Q（，t﹣3），
∴，
解得：t＝﹣9或，
∴M1（，），Q1（，）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，
∵N（t，0），
∴Q（﹣1，0），
∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣1）|，
解得：t＝1，
∴M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，
∴Q（，），
∴，
解得：t＝﹣3或，
∴M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，），Q5（，）；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
M1（，），Q1（，）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（，），Q5（，）．
