第十七章 勾股定理
全章复习题
一、选择题
1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 ( )
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有 ( )
A．② B．①② C．①③ D．②③
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则 ( )
A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．△ABC不是直角三角形
5．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2 021A2 022的长度为 ( )
A．()2 021 B．()2 022
C．2()2 021 D．2()2 022
二、填空题
6．如图，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，点C(1，3)，点D(4，4)，点E(5，2)则∠BAC ____ ∠DAE(填“＞”“＝”或“＜”).
7．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的数学“风车”，则这个数学“风车”的外围周长是______．
8．(2022·金华)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为 _________ cm.
9．如图是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 _____ 米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
10．如图，在△ABC中，B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BE＞CE)，点F是AC的中点，连接AE，EF，若CE＋AC＝8，AE＝4，则△ABC的面积为 ______．
11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 ______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ___________．
三、解答题
13．如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1.四边形ABCD的四个点都在格点上．
(1)四边形ABCD的面积为 _________，周长为 ____________；
(2)求证：∠BAD是直角．
14．为了预防新冠肺炎疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地面的距离AB＝2.1米(如图所示)，当人体进入感应范围内时测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值．
15．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2.求CD的长．
16．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
17．如图，在4×3的长方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在网络线的交点上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果可以保留根号)；
(2)在图中四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．
18．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)求AC＋CE的最小值；
(3)根据(2)中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式＋的最小值．
5
参考答案
一、选择题
1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是 ( C )
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为 ( C )
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有 ( D )
A．② B．①② C．①③ D．②③
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则 ( A )
A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．△ABC不是直角三角形
5．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2 021A2 022的长度为 ( C )
A．()2 021 B．()2 022
C．2()2 021 D．2()2 022
二、填空题
6．如图，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，点C(1，3)，点D(4，4)，点E(5，2)则∠BAC ____ ∠DAE(填“＞”“＝”或“＜”).
【答案】＝
7．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的数学“风车”，则这个数学“风车”的外围周长是______．
【答案】152
8．(2022·金华)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为 _________ cm.
【答案】(8＋2)
9．如图是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 _____ 米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
【答案】2.9
10．如图，在△ABC中，B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BE＞CE)，点F是AC的中点，连接AE，EF，若CE＋AC＝8，AE＝4，则△ABC的面积为 ______．
【答案】14
11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为 ______．
【答案】60
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ___________．
【答案】5或8或
三、解答题
13．如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1.四边形ABCD的四个点都在格点上．
(1)四边形ABCD的面积为 _________，周长为 ____________；
【答案】10.5 4＋
(2)求证：∠BAD是直角．
解：(2)连接BD，由题意得：BD2＝42＋32＝25，
∵AD2＋AB2＝12＋22＋22＋42＝25，
∴BD2＝AD2＋AB2，∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角
14．为了预防新冠肺炎疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地面的距离AB＝2.1米(如图所示)，当人体进入感应范围内时测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值．
解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB－BE＝2.1－1.6＝0.5(米).
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝＝＝1.3(米)，
答：人头顶离测温仪的距离AD的值为1.3米
15．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2.求CD的长．
解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB，∵AB＝2，∴AD＝，
∴BD＝＝＝3，
∵∠C＝90°，∴CD2＋BC2＝BD2，∵BC＝CD，∴2CD2＝(3)2，解得CD＝3(负值舍去)，∴CD的长为3
16．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
解：(1)∵(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0，且(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2≥0，∴(a－5)2＝0，(b－12)2＝0，(c－13)2＝0，∴a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13 (2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169，c2＝132＝169，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形
17．如图，在4×3的长方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在网络线的交点上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果可以保留根号)；
(2)在图中四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．
解：(1)AB＝，AC＝，AD＝2，AE＝2 (2)存在．线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．理由：∵AD2＋AB2＝(2)2＋()2＝13，AC2＝()2＝13，∴AD2＋AB2＝AC2，∴线段AB，AC，AD可以构成直角三角形
18．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)求AC＋CE的最小值；
(3)根据(2)中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式＋的最小值．
解：(1)∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴△ABC与△CDE是直角三角形，∵BD＝8，设CD＝x，∴BC＝8－x，在Rt△ABC中，AC＝＝，在Rt△CDE中，CE＝＝，∴AC＋CE＝＋
(2)以点D为原点，建立如图③所示的平面直角坐标系，AC＋CE＝＋表示点C(x，0)与点A(8，－2)，E(0，1)的距离和，当点C(x，0)、点A(8，－2)、点E(0，1)共线时，AC＋CE最小，∴AC＋CE的最小值为点A(8，－2)和点E(0，1)的距离AE，即82＋[1－(－2)]2＝
(3)如图建立坐标系，＋的最小值表示x轴上一点C到点A(0，1)与到点B(4，2)的距离和最小，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点即为C点，∵AC＝A′C，∴AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，∵A′(0，－1)，∴A′B＝5，∴＋的最小值为5
