专题01 集合（15区真题速递）
一、单选题
（2023·上海宝山·统考一模）
1．“”是“”的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
（2023·上海青浦·统考一模）
2．已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
（2023·上海金山·统考一模）
3．设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（ ）．
A． B． C． D．
（2023·上海嘉定·统考一模）
4．已知四面体．分别对于下列三个条件：
①；②；③，
是的充要条件的共有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·上海青浦·统考一模）
5．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）.
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
（2023·上海宝山·统考一模）
6．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题
C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题.
（2023·上海徐汇·统考一模）
7．已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．① ②都是真命题 D．① ②都是假命题
（2023·上海闵行·统考一模）
8．已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“”是“”的充要条件；
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件．
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
二、填空题
（2023·上海闵行·统考一模）
9．已知集合，若，则实数 ．
（2023·上海青浦·统考一模）
10．已知集合，，则 ．
（2023·上海长宁·统考一模）
11．已知集合，则 .
（2023·上海徐汇·统考一模）
12．已知全集，集合，则 ．
（2023·上海奉贤·统考一模）
13．设集合，，则 ．
（2023·上海杨浦·统考一模）
14．已知全集为，集合，则的补集可用区间表示为 .
（2023·上海长宁·统考一模）
15．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 .
（2023上·上海·高三上海市大同中学校考期中）
16．已知的三边长之比为5∶6∶9，记的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为 ．
（2023·上海普陀·统考一模）
17．设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为 .
三、问答题
（2023·上海普陀·统考一模）
18．设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】
根据不等式利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可得出结论.
【详解】可得，则充分性成立，
得出或，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，
故选：A.
2．C
【分析】
直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
即“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．B
【分析】
根据子集的个数，先求解的有序集合对的个数，然后用总个数减去即可求解.
【详解】对于给定的,集合是集合的任意一个子集与的并，故有种不同的取法，
又,所以的任意一个非空子集，共有种取法，
因此，满足的有序集合对的个数为，
由于有序对有个，
因此满足的有序集合对的个数为
故选：B
4．C
【分析】
根据题意，逐项分析判断即可.
【详解】
取线段中点，连接，
因为，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，所以，
过作平面，
连接并延长分别交于，
则，，
所以平面，平面，
所以，
对于①，若，又，
则平面，则，
所以点为三角形垂心，
则，又，
同理可知平面，平面，
所以.
若已知，同理可证，
所以是的充要条件，①正确；
对于②，在如图立方体中，设，
则易知四面体，且，
易知，若使则需，而在矩形中，
当且仅当时，，
所以在四面体中，不为的充要条件，
所以②错误；
对于③，在四面体中，
因为，
所以
所以若，则，即，
若，即，则，
则，
所以为的充要条件，③正确；
故选：C
5．A
【分析】
根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假．
【详解】记，
易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称，
从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹，
由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同），
由得，
时，或，
所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线，
当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线，
（实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可）
命题均正确，
故选：A．
【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势．
6．C
【分析】
根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，故①是假命题；
记，
当时，，因为，，，所以；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，，当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，依次类推，
当时，，，，所以，
下面讨论时，集合中元素与集合的关系，
因为，有，，且，所以，
综上所述，，有，
即，故②是真命题.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
7．C
【分析】
对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解.
【详解】对于①：因为，
若该数列为“弱减数列”，
因为，则，
可得，即，
同理可得，所以；
当时，，
所以该数列为“弱减数列”；
综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题；
对于②：因为，显然，
若存在使得数列为“2阶弱减数列”，
则，即，整理得，
所以对一切正整数恒成立，
若，当时，当，则；
当为奇数，；
可知不合题意，所以，
则，
当时，
则，
可得，不合题意；
若，取，则，符合题意；
若，则，则，
取，则，符合题意；
综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解.
8．C
【分析】
对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.
【详解】
对于①：
设，，则，
因为在R上为严格增函数，故，
即，则在R上单调递增，
由于，故，即。
即；
当成立时，即，
由于在R上单调递增，故，
故“”是“”的充要条件，①为真命题；
对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；
当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在R上为严格增函数，故时，，
此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，
这与对任意都有矛盾，
则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立，
即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立.
9．
【分析】
利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为集合，若，则，解得.
故答案为：.
10．
【分析】
根据集合间的运算直接得解.
【详解】由，，
得，
故答案为：.
11．
【分析】
根据集合的交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
12．
【分析】
根据补集的定义直接进行运算即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
13．
【分析】先求出集合，然后求解.
【详解】由题意得，，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
根据补集的概念直接求解出结果.
【详解】因为全集为，集合，
所以，
故答案为：.
15．
【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题，
注意到，整理得，
原题意等价于“任意，使得”是真命题，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
16．##
【分析】
首先得出，再结合余弦定理以及平方关系、商数关系即可求解.
【详解】如图所示：
不失一般性，不妨分别设，则由余弦定理有，
故是钝角，是锐角，
则由大边对大角可得，所以，
又函数在上递增，此时，在上递增，此时，
所以三个内角的正切值最大为，
，，
所以集合M中的最大元素为.
故答案为：.
17．
【分析】
分和讨论即可.
【详解】，则，解得，
若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素，
因为为正实数，则，，
若，则，解得，
若，则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
18．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】
（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
答案第1页，共2页
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