2024年云南省初中学业水平考试数学模拟练习试卷（解析版）
（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，
在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1.云南香格里拉某一个月的平均最高气温为，平均最低气温为，
那么香格里拉这个月的平均最低气温比平均最高气温低（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数减法列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
故选：C．
2 .如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体粉笔盒，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】图中圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，据此选出即可．
【详解】解：图中正立摆放的圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，
故选：D．
2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．
据中国铁路昆明局集团消息，截至12月26日，累计发送旅客超180000人次，
数据“180000”用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：C．
4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：由图知，是中心对称图形的是A、B两个选项中的图形，是轴对称图形的是B、C、D三个选项中的图形，因此，B选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用积的乘方、合并同类项、零指数幂、负整数指数幂进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
6 .如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
【答案】A
【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：平均数为，
众数是10，
中位数为，
故选：A．
7 .如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，
若，则菱形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
故选：B．
8. 已知都在反比例函数的图象上，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质先得到当时，函数值的大小，然后跟时函数值的大小作比较即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数，
∴当时，随的增大而减小，当时随的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：B．
9.如图，四边形内接于，的半径为4，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查圆内解四边形对角互补及扇形弧长公式，根据得到，从而得到，结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成第100个图形，则第100个图形需要的小木棒的数量为（ ）
A．796 B．798 C．800 D．802
【答案】B
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论．
【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要根小木棒，
第3个图形需要根小木棒，
按此规律，第个图形需要根小木棒，
当时，，
∴第100个图形需要的小木棒的数量为798根，
故选B．
11.如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】设，先根据矩形的性质和折叠的性质分别表示出的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】∵四边形为矩形，，
∴，，
∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
故选：B．
12. 如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据作图可得是线段的垂直平分线，设与的交点为O，证明，得到，进而证明四边形是菱形，即可判断①，进而根据等边对等角和三角形外角的性质即可判断②；根据菱形的性质求面积即可求解判断③；根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解④．
【详解】解：如图，设与的交点为O，
根据作图可得是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确．
∵
∴，
∴，故②正确．
由菱形的面积可得，故③错误．
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13.分解因式： ．
【答案】/
【详解】解：，
故答案为：．
14. 一个五边形的内角和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据n边形内角和为求解即可．
【详解】解：五边形的内角和是．
故答案为：．
15. 设，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得到两根和与两根积，结合即可得到结果．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴；
故答案为：．
16.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17. 计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方，特殊角三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，再计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴
∴，
在与中，
，
∴
∴．
19. 清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节．清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗主题在中国自古传承，至今不辍．某学校数学兴趣小组为了了解该校学生对清明节的了解情况，在全校范围内随机抽取一部分学生进行问卷调查，并将调查结果适当整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查抽查了______人，请补全条形统计图；
(2)本次调查的中位数落在______（填了解程度），扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为______度；
(3)已知该学校共有人，请你估计该校学生对清明节“不了解”的人数．
【答案】(1)，图见解析
(2)比较了解，
(3)人
【分析】（1）由直接得到本次调查抽查的人数，那么计算出“非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数的定义直接作答，根据即可得到扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角；
（3）计算即可得到该校学生对清明节“不了解”的人数．
【详解】（1）解：本次调查抽查的人数为（人）
“非常了解”的人数为（人）
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为本次调查抽查的人数为人，且“不了解”“了解一点 ”“比较了解”“非常了解”的人数分别为，，和，所以本次调查的中位数落在了“比较了解”，扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为，
故答案为：比较了解，；
（3）解：该校学生对清明节“不了解”的人数为（人），
答：该校学生对清明节“不了解”的人数约为60人．
20. 保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动” “趣味问答” “模拟投放”三项活动（分别以、、来依次表示这三项活动）．活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
(1)求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；
(2)用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）
解：依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；
（2）
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，
小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为．
21. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】（1）每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
（2）当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【解析】
【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；
（2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．
【小问1详解】
解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得，
答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
【小问2详解】
解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
22. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的周长为36，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，的周长为36，
∴，则，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．
23.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点于点．
【初步感知】（1）求证：为的切线；
【深入研究】（2）当时，若，求的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当时，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析（2）6（3）6
【分析】此题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；
（2）过点作于点，证明四边形是矩形，根据，，推出，证明，求出，设的半径为，则有，然后利用勾股定理求解即可；
（3）过点作于点，同（2）证明四边形是矩形，，求出，设的半径为，则有，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，即
解得，
设的半径为，则有，
，
在中，，由勾股定理可得：
，即，
解得，
故，
故的长为6．
（3）解：过点作于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
解得，
设的半径为，则有，
，
，在Rt中，，由勾股定理可得：
，即，解得，
故，
故的长为6．
24. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）或或或
【解析】
【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可；
（2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可．
【小问1详解】
解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
【小问2详解】
解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年云南省初中学业水平考试数学模拟练习试卷
（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，
在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1.云南香格里拉某一个月的平均最高气温为，平均最低气温为，
那么香格里拉这个月的平均最低气温比平均最高气温低（ ）
A． B． C． D．
2 .如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体粉笔盒，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．
据中国铁路昆明局集团消息，截至12月26日，累计发送旅客超180000人次，
数据“180000”用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6 .如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
7 .如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，
若，则菱形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8. 已知都在反比例函数的图象上，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，四边形内接于，的半径为4，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成第100个图形，则第100个图形需要的小木棒的数量为（ ）
A．796 B．798 C．800 D．802
11.如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
12. 如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13.分解因式： ．
14. 一个五边形的内角和为_________．
15. 设，是一元二次方程的两根，则 ．
16.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
解答题（本大题共8小题，共56分）
17. 计算：．
18. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
19. 清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节．清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗主题在中国自古传承，至今不辍．某学校数学兴趣小组为了了解该校学生对清明节的了解情况，在全校范围内随机抽取一部分学生进行问卷调查，并将调查结果适当整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查抽查了______人，请补全条形统计图；
(2)本次调查的中位数落在______（填了解程度），
扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为______度；
(3)已知该学校共有人，请你估计该校学生对清明节“不了解”的人数．
20. 保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动” “趣味问答” “模拟投放”三项活动（分别以、、来依次表示这三项活动）．活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
(1)求小南抽到参加“趣味问答”活动的概率；
(2)用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．
21. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
22. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，的周长为36，求菱形的面积．
23.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点于点．
【初步感知】（1）求证：为的切线；
【深入研究】（2）当时，若，求的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当时，若，求的长．
24. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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