专题2.20 一元一次不等式和一元一次不等式组（全章知识梳理与核心考点分类讲解）
【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【知识点二】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【知识点三】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点四】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【知识点五】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集；（2）在同一数轴表示不等式的解集；（3）写出不等式组的解集。
【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ；
（4）解不等式组；检验并作答。
【核心考点目录】
【考点1】不等式的基本性质； 【考点2】一元一次不等式；
【考点3】一元一次不等式与一次函数； 【考点4】一元一次不等式组；
【考点5】一元一次不等式的应用； 【考点6】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合.
【考点一】不等式的基本性质；
【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足：．
求证： （1）； （2）
【变式1】（2023·安徽·九年级专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是 ．
【考点二】一元一次不等式；
【例2】（2024下·全国·七年级假期作业）已知不等式．
（1）若不等式的解集为，求m的值；
（2）若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【考点三】一元一次不等式与一次函数；
【例3】（2024上·安徽六安·八年级校考期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点．
（1）求直线、与轴的交点坐标；
（2）求的面积；
（3）利用图象直接写出当取何值时，．
【变式1】（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（ ）
A．; B．; C．; ; D．或.
【变式2】（2023上·四川成都·八年级四川省成都市第十七中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线与线段有公共点，则的取值范围是 ．
【考点四】一元一次不等式组；
【例4】（2023下·全国·八年级假期作业）解下列不等式（组）：
（1）； （2）； （3）．
【变式1】（2022下·陕西咸阳·八年级统考期中）若不等式组的解集为，那么（ ）
A． B．
C．， D．
【变式2】（2022下·陕西咸阳·八年级统考期中）已知不等式组，有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【考点五】一元一次不等式（组）的应用
【例5】（2024上·山东枣庄·九年级统考期末）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）某校组织七年级学生参观科技馆，门票优惠标准为：30张到99张按8折优惠，100张以上（含100张）按7折优惠．该校七年级共有人，若按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，那么最小是 ．
【例6】（2024·全国·八年级竞赛）某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
（1）若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
（2）哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【变式1】（2023上·浙江湖州·八年级校考期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·湖南怀化·八年级校考期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
【考点六】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合
【例7】（2023下·福建福州·七年级校考期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，关于z的不等式的解为．
【变式1】（2023下·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．专题2.20 一元一次不等式和一元一次不等式组（全章知识梳理与核心考点分类讲解）
【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【知识点二】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【知识点三】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点四】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【知识点五】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集；（2）在同一数轴表示不等式的解集；（3）写出不等式组的解集。
【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ；
（4）解不等式组；检验并作答。
【核心考点目录】
【考点1】不等式的基本性质； 【考点2】一元一次不等式；
【考点3】一元一次不等式与一次函数； 【考点4】一元一次不等式组；
【考点5】一元一次不等式的应用； 【考点6】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合.
【考点一】不等式的基本性质；
【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足：．
求证： （1）； （2）
【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可；
（2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可．
解：（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴
即，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点拨】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式1】（2023·安徽·九年级专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式，可以采用特殊值的方法进行判断．根据，可以取满足条件的特殊值，进行判断．
解：，当，时，
A、，，，故该选项错误，不符合题意；
B、∵m＞n，
∴，,
∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵m＞n，
∴，
又∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
D、，，，故该选项错误，不符合题意．
故选C．
【变式2】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质．根据两边同除以，得，不等号的方向发生改变，得到，求解即可．掌握不等式的两边同时除以一个负数，不等式的方向发生改变，是解题的关键．
解：∵不等式两边同时除以，得，
由题意，得：，
∴；
故答案为：．
【考点二】一元一次不等式；
【例2】（2024下·全国·七年级假期作业）已知不等式．
（1）若不等式的解集为，求m的值；
（2）若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
解：（1）解不等式，得．
∵该不等式的解集为，∴，解得．
（2）∵解原不等式，得，且x取任意正数都能使不等式成立，∴，解得
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答．
解：，
，
，
不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键．
解：，
得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【考点三】一元一次不等式与一次函数；
【例3】（2024上·安徽六安·八年级校考期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点．
（1）求直线、与轴的交点坐标；
（2）求的面积；
（3）利用图象直接写出当取何值时，．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次方程和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键．
（1）根据直线与直线，分别令即可求出A，B点坐标，
（2）联立函数解析式求出P点坐标，即可求出面积．
（3）由图可知交点P的右边．
（1）解：把代入中得：，
解得：，所以
把代入中得：，
解得：，所以．
（2）∵，，
∴．
解方程，
得，
把代入中得：，
∴，
∴．
（3）由图可知交点的右边．
即当时，
【变式1】（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是（ ）
A．; B．; C．; ; D．或.
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据题意，画出图象，可得当时，，当时，，即可求解．
解：如图，
观察图象得：当时，，
即，解得：，
当时，，
即，解得：，
∴k的取值范围是或．
故选：D．
【变式2】（2023上·四川成都·八年级四川省成都市第十七中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线与线段有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用一次函数图像上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，列出关于的不等式是解题的关键．
解：当时，，
直线与线段有公共点，
，
解得：，
故答案为：．
【考点四】一元一次不等式组；
【例4】（2023下·全国·八年级假期作业）解下列不等式（组）：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）x≤－21; （2）x＜7; （3）－1≤x＜2
解：（1）去分母，得30－2（2－3x）≤5（1＋x），
去括号，得30－4＋6x≤5＋5x，
移项，得6x－5x≤5＋4－30，
合并同类项，得x≤－21．
（2）去分母，得4（x＋2）＞7（x－1）－6，
去括号，得4x＋8＞7x－7－6，
移项，得4x－7x＞－7－6－8，
合并同类项，得－3x＞－21，
两边都除以－3，得x＜7．
（3）
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥－1，
∴原不等式组的解集为－1≤x＜2．
【变式1】（2022下·陕西咸阳·八年级统考期中）若不等式组的解集为，那么（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a、b当作已知条件表示出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可得出结论．
解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故选：D
【变式2】（2022下·陕西咸阳·八年级统考期中）已知不等式组，有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的不等式的取值范围．
先解每一个不等式，再根据不等式组有3个整数解，确定含a的不等式的取值范围．
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有3个整数解，即：，0，1，
，
，
故答案为：．
【考点五】一元一次不等式（组）的应用
【例5】（2024上·山东枣庄·九年级统考期末）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书
【答案】（1）甲种书为每本元，乙种书为每本元；（2）本
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：购买2本甲种书的费用购买1本乙种书的费用100元；购买3本甲种书的费用购买2本乙种书的费用175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）不等关系式：购买甲种书的费用购买乙种书的费用元；据此列出不等式，解不等式，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得
，
解得：，
答：甲种书为每本元，乙种书为每本元．
（2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得
，
解得：，
为整数，
取，
答：该校最多可以购买本乙种书．
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得．
解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
【变式2】（2024·全国·七年级竞赛）某校组织七年级学生参观科技馆，门票优惠标准为：30张到99张按8折优惠，100张以上（含100张）按7折优惠．该校七年级共有人，若按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，那么最小是 ．
【答案】
【分析】设门票为1，根据按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，可得，，即可求解．
解：设门票为1，则买100张需，依题意，
则，
解得，
所以最小是88．
故答案为：．
【例6】（2024·全国·八年级竞赛）某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
（1）若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
（2）哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）4种；（2）派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为4300元
【分析】（1）设派用甲型卡车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）根据（1）中求出的x的范围，确定方案，即可得到答案；
此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键．
（1）解：设派用甲型卡车辆，
则
解得，
所以共有4种运输方案．
（2），
当，即派用甲型卡车8辆时，利润最大，
最大利润为（元）．
答：派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为元．
【变式1】（2023上·浙江湖州·八年级校考期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解答本题的关键．
根据第二次运算结果不大于且第三次运算结果大于，列出关于的一元一次不等式组，解出不等式组，得到答案．
解：由题意得：
，
解得：，
故选：．
【变式2】（2024上·湖南怀化·八年级校考期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据定义运算的法则写出不等式组，再解不等式组即可．
解：由题意得：，即
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
故答案为：．
【考点六】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合
【例7】（2023下·福建福州·七年级校考期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，关于z的不等式的解为．
【答案】（1）；（2）m的整数值为： ；
【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得；
（2）先根据不等式的性质得出，解得，结合以上求出m的范围可得答案．
（1）解：解方程组得：
由题意知，
解得：；
（2）解：由得：，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得：，
则，
∴m的整数值为： ．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式1】（2023下·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案．
解：解关于x的方程得，
∵方程的解为非正数，
，
∵，
，
由二元一次方程组将得，
满足，
，
，
，
，
为整数，
满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个.
故选：C．
【点拨】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
【变式2】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
解：，
①+②得，
则，而，
根据题意得，
解得．
故答案是：．
