乌市实验学校2023-2024学年第一学期九年级数学第一次月考试卷
（考试时间：120分钟，卷面分值150分）
一、单选题（每小题4分，共36分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、B在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．11或13 D．12或9
7．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x,则方程可以列为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A,B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，,当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题4分，共24分）
10．若点关于原点对称，则__________．
11．设是一元二次方程的两根，则____________________．
12．抛物线的对称轴是直线__________,顶点坐标是__________
13．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是__________．
14．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于x的不等式的解集为__________
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接,则线段的最大值是__________．
三、解答题
16．（11分）计算（1）：
（2）化简
17．解下列方程（16分）
（1）． （2）．
（3）； （4）．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
（1）的面积是__________；
（2）若经过平移后得到,已知点的坐标为，则顶点的坐标为__________；
（3）将绕着点O按顺时针方向旋转得到,请画出旋转后的图形，写出的坐标为__________．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程（m为实数，）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若方程一个根是1．求m的值及方程的另一个根？
20．（8分）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
21．（8分）如图，正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若,求的长．
22．（10分）某商家利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少元？
23．（8分）如图，交于点是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若,求的半径．
24．（14分）如图1，已知抛物线与x轴交于点和点,与y轴交于点C．
图1 图2
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q,使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接,求四边形面积的最大值，并求此时E点的坐标.
