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2023-2024学年八年级下学期第一次月考模拟卷
班级： 姓名： 学号： 得分：
选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1、已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（ ）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
2、若直角三角形两条直角边的边长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）
A．3 cm B．3 cm C．9cm D．27cm
3、下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、如图，在中，，，，是的垂直平分线，交于点，
交于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第 4 题图 第 5 题图
5、如图， 在 的网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 点 都在格点上. 若 是 的高线， 则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6、定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形”中，，，则边的长是（ ）
A． B．
C．或 D．或
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7、函数中，自变量的取值范围是 ．
8、如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于 ．
第 8 题图 第 10 题图 第 11 题图
对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，
则 ．
10、如图，在中，，边上的垂直平分线与、分别交于点E和D，若，，则的长为 ．
11、我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
12、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为 ．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13、计算：（1）； （2）．
14、如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，试化简：
16、如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．
17、《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18、小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
19、塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料．如图1是塔吊实物图，图2是塔吊示意图，线段，表示钢丝绳，表示起重臂，，综合与实践小组向工人了解到如下信息：米，米，米．求钢丝绳的长度（参考数值：）
20、根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
五、（本大题共1小题，共10分）
21、阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
答案解析：
1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．D
7．且 8． 9． 10．0.9
11．8 12．
13．（1）解：原式，
，
；
（2）解：
=，
=，
=．
14．解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
15．解：由数轴可知：，
∴，
∴
．
．
．.
16．解：无触礁危险．
理由如下，
过点A作AD垂直于BC的延长线于点D
结合题意可知∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABD＝30°
∴∠BAC＝∠ABD＝30°，
∴AC＝BC＝100
在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠ACD＝30°，
∴
∴，
∴继续前行无触礁危险
17．解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
18．（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴，
∴，
∴该物品落地的时间为
（2）解：该玩具最低的下落高度为，
∴．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
19．解：在中，米，
∴米，
在中，米，
答：钢丝绳的长度为36米．
20．解：由题意，设，则．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
21．（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
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