1 等腰三角形
第1课时
【基础作业】
1.不能确定两个三角形全等的条件是 ( )
A.三条边对应相等
B.两边及其夹角对应相等
C.两角及其中一角的对边对应相等
D.两条边和一条边所对的角对应相等
2.已知在等腰△ABC中,∠A=50°,则∠B的度数为 ( )
A.50° B.65°
C.50°或65° D.50°或80°或65°
3.如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使△ABC≌△ABD,可以补充的一个条件是 (写出一个即可).
4.若等腰三角形的一个角等于30°,则它的顶角的度数是 .
5.若等腰三角形的两条边长分别为6和8,则其周长为 .
【巩固作业】
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 ( )
A.18° B.24° C.30° D.36°
7.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5 cm,BC=6 cm,则AD= cm.
9.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是 .
10.如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.求证:OA=OC.
11.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=35°,E是BC边上一点且AE=CE,D是BC边上的中点,连接AD、AE.
(1)求∠DAE的度数.
(2)若BD上存在点F,且∠AFE=∠AEF,求证:BF=CE.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D从点B出发,沿B→C方向运动到点C(点D不与点B、C重合),连接AD,作∠ADE=30°,DE交线段AC于点E,设∠BAD=x,∠AED=y.
(1)当BD=AD时,求∠DAE的度数.
(2)求y与x之间的关系式.
(3)当BD=CE时,求x的值.
【素养作业】
13.如图,∠AOB是一个钢架,且∠AOB=20°,为了使钢架更加牢固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH、MH、……添加的钢管长度都与OE相等,请问最多需要这样的钢管多少根
参考答案
1.D 2.D
3.AD=AC或∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE
4.30°或120°
5.20或22
6.A 7.A
8.4
9.30°
10.证明:方法不唯一,如:∵AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SSS),
∴∠AED=∠CFB,
∴∠AEB=∠CFD.
∵∠AOE=∠COF,AE=CF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OA=OC.
11.解:(1)∵AB=AC,∠ABC=35°,∴∠C=35°.∵AE=CE,∴∠CAE=35°.∵D是BC边上的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=180°-90°-35°=55°,∴∠DAE=∠DAC-∠C=55°-35°=20°.
(2)证明:∵D是BC边上的中点,∴BD=CD.
∵∠AFE=∠AEF,∴AF=AE.∵AD⊥BC,∴D是EF边上的中点,∴FD=ED,∴BD-FD=CD-ED,即BF=CE.
12.解:(1)当BD=AD时,∠B=∠BAD=30°.∵△ABC为等腰三角形,∴∠BAC=120°,∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°.
(2)由题可知,∠BAD+∠DAE=120°即x+∠DAE=120,∠AED+∠DAE=180°-∠ADE=150°即y+∠DAE=150,两式相减得y-x=30即y=x+30.
(3)由题可知,∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC 且∠B=∠ADE=30°,∴∠BAD=∠EDC=x.又∵∠B=∠C,BD=CE,∴△ABD≌△DCE,∴CD=AB=AC,∴△ACD为等腰三角形且∠C=30°,∴∠DAE=75°,∴x=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45°,即x=45.
13.解:∵OE=EF,∴∠EFO=∠AOB=20°,
∴∠FEG=∠EOF+∠EFO=40°,
又∵EF=FG,∴∠FGE=∠FEG=40°,
∴∠GFH=∠GOF+∠FGE=60°,
同理可得∠HGM=80°,∠MHA=100°,
因为∠MHA=100°>90°,不能作为下一个等腰三角形的底角了,可知下面不能再构成等腰三角形了,所以最多能构成4个等腰三角形,即需要这样的钢管4根
2第4课时
【基础作业】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2 cm,则AB的长度是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
2.如图,在等边△ABC中,AD是BC上的高,∠BDE=∠CDF=60°,图中与BD相等的线段有 .
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC上一点,DA⊥BC,AD=2.4,则AB= .
4.在△ABC中,∠A=60°,要使△ABC是等边三角形,则需添加的一个条件是 .
【巩固作业】
5.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:
①AD⊥BC;②EF=FD;③CE=CD;④EF=AD.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.下列条件中,不能说明△ABC为等边三角形的是 ( )
A.∠A=∠B=60°
B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC
D.∠A=60°,AB=AC
7.如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取AB、BC、AC上的点F、D、E,使BD=CE=AF.求证:△DEF是等边三角形.
【素养作业】
8.如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D、E、F,得到△DEF为等边三角形.求证:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
参考答案
1.B
2.BE、DE、AE、AF、DF、DC、CF
3.4.8
4.如:∠B=60°或∠C=60°或△ABC是等腰三角形(答案不唯一)
5.A 6.B
7.证明:在等边△ABC中,∠A=∠B=∠C=60°,
AB=BC=AC.
∵BD=CE=AF,∴AE=BF=CD,
∴△AEF≌△BFD≌△CDE(SAS),
∴EF=DF=DE,∴△DEF是等边三角形.
8.证明:(1)∵BF=AC,AB=AE,∴AF=EC.
∵△DEF是等边三角形,
∴EF=DE.又∵AE=CD,∴△AEF≌△CDE.
(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC,
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,△DEF是等边三角形,
∴∠DEF=60°,∴∠BCA=60°,
同理可得∠BAC=60°.∴△ABC中,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形.
2第3课时
【基础作业】
1.下列条件不能判断△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶1
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶2
2.用反证法证明命题:如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是 ( )
A.假设CD∥EF
B.假设AB∥EF
C.假设CD和EF不平行
D.假设AB和EF不平行
3.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BC=6,则角平分线BD= .
4.把两个一样大的含30°角的直角三角板按如图所示的方式拼在一起,其中AC平分∠BAF,AD平分∠EAF,请写出所有的等腰三角形: .
【巩固作业】
5.如图,BD平分∠ABC,若∠1=∠2,则 ( )
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.AB=CD
D.AD=BC
6.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,角平分线BF、CF交于点F,过点F作DE∥BC,交AC于点E,交AB于点D,则△ADE的周长是 ( )
A.10 B.8 C.9 D.18
【素养作业】
7.如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形).
(2)选择第(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
参考答案
1.B 2.C
3.6
4.△ABC、△ADE、△ACD、△ABE
5.B 6.D
7.解:(1)①③或②③.
(2)答案不唯一,如:已知①③,求证△ABC是等腰三角形.
证明:∵∠EBO=∠DCO,∠BOE=∠COD,BE=CD,
∴△EBO≌△DCO.∴OB=OC,∴∠DBC=∠ECB.
∴∠ABC=∠ACB.即△ABC是等腰三角形.
2第2课时
【基础作业】
1.一个等边三角形的角平分线、高和中线的总数最多有 ( )
A.3条 B.5条 C.7条 D.9条
2.已知一个等腰三角形的周长为13 cm,一边长为5 cm,则另两边长分别为 ( )
A.3 cm,5 cm
B.4 cm,4 cm
C.3 cm,5 cm或4 cm,4 cm
D.以上都不对
3.如图,已知A、D、C在一条直线上AB=BD=CD,∠C=40°,则∠ABD= °.
4.如图,在等边△ABC中,AD是BC边上的高,AB=10 cm,则线段DC的长为 cm.
【巩固作业】
5.如图,△ABD和△ACE均为等边三角形,那么△ADC≌△ABE的根据是 ( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
6.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°,那么这个等腰三角形的顶角等于 ( )
A.15°或75° B.30°
C.150° D.150°或30°
【素养作业】
7.已知△ABC为等边三角形,D为AC上的一个动点,E为BC延长线上一点,且BD=DE.
(1)如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由.
(2)如图2,若点D在AC的延长线上,(1)中的结论是否成立,请说明理由.
参考答案
1.A 2.C
3.20
4.5
5.B 6.D
7解:(1)AD=CE,理由如下:
如图1,过点D作DP∥BC,交AB于点P,∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.又∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,即∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.
(2)如图2,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.
∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠P=∠DCE=60°,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.
2
