05 数列不等式问题
一、必备知识：
1．利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2．数列满足，则是等差数列；
3．数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4．在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5．公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
6．用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
7．用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
8．分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
9．判断数列单调性的方法：（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
10．求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法1：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
二、题组
题组一：放缩法
经典例题：
1．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．若 恒成立，则的最小值为 ．
2．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
变式训练：
3．记分别为数列前n项和，已知是公差为的等差数列．若恒成立，则的最小值为 ．
4．已知数列的前n项和且 ，若 恒成立，则的最小值为 ．
5．已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是 .
达标检测：
6．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 .
7．已知等差数列的前项和为，且，，．记数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为 ．
8．已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是 ．
题组二：不等式法
经典例题：
9．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则使成立的n的最小值为 ．
10．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，若时，恒成立，则的最小值为 ．
11．已知正项数列满足，，若存在m，，使得，则的最小值为 ．
变式训练：
12．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，若时，恒成立，则的最小值为 ．
13．已知数列满足，，且的前项和，则的可能取值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
14．已知等比数列的前项和为，且，，若关于的不等式对恒成立，则实数的最大值为 ．
15．已知等比数列的前项和为，若，且.数列满足，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为 .
达标检测：
16．等差数列中，，，等比数列中，，，则满足的最小正整数是 .
17．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．若时，恒成立，则的最小值为 ．
18．已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
题组三：利用单调性求最值
经典例题：
19．若数列满足，且，那么数列的前项和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
20．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
21．已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
变式训练：
22．已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
23．已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
24．已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ．
25．数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 .
达标检测：
26．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
27．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
28．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##0.75
【分析】根据所给等差数列求出的关系，再由此得出数列的递推关系，据此求出，再由裂项相消法求和即可得解.
【详解】∵，，
∴当时，，
∴，
整理得： ，即为常数列，
由，
∴，显然对于也成立，
∴，所以 ，
∴，
又因为恒成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：
2．D
【解析】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
3．3
【分析】由等差数列的通项公式可得出，当时，，两式相减可得，再由累乘法求出，再由裂项相消法求出，即可得出答案.
【详解】∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，
∴，所以，
即当时，，
∴，
整理得：，即，
∴，
显然对于也成立，∴，
∴．
所以，即的最小值为．
故答案为：3.
4．2
【分析】根据求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】由，，
则当时，，
整理得，即，
∴，
显然对于也成立，
∴的通项公式，所以，
∴
又因为恒成立，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
5．3
【分析】根据数列的递推公式，运用累加法求出数列的通项公式，经分析得到，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，进而求出的最小值.
【详解】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为：.
6．
【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.
【详解】
从而可得
即， 因为，所以.
故答案为：
7．
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式求出，即可求出，再由裂项相消法求出，即可求出的最小值.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
所以．
所以 ，
所以，
所以
，
所以时恒成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
8．6
【分析】根据的关系作差可得，进而求解，即可求解不等式.
【详解】当时，；
当时，①，②，①-②整理得，
．又，
是以3为首项，3为公比的等比数列，
，
令，,
解得，
正整数的最小值是6．
故答案为：6
9．
【分析】利用已知条件求出公差、首项可得，再解不等式可得答案.
【详解】因为，则，
设等差数列的公差为d，从而有，
，
即，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：，所以，
所以，
则不等式即，
整理可得，解得或，
又为正整数，故的最小值为7．
故答案为：7.
10．4
【分析】先根据，，，求出，，进而可得，分奇数偶数分别求，结合恒成立，即可得到.
【详解】设等差数列公差为，而，
则，，，
于是，解得，，
所以，所以，，
当为偶数时，，，
， 时，恒成立．
当为奇数时，，
， 时恒成立
综上，若时，恒成立，则，所以的最小值为4．
故答案为：4
11．64
【分析】由题意可知为等比数列，利用等比数列求出 ，然后根据基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以为等比数列，设的公比为，
又因为，所以，
解得或，
因为，所以，
所以，
因为，且m，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故答案为：64
12．4
【分析】先根据，，，求出，，进而可得，分奇数偶数分别求，结合恒成立，即可得到.
【详解】设等差数列公差为，而，
则，，，
于是，解得，，
所以，所以，，
当为偶数时，，，
， 时，恒成立．
当为奇数时，，
， 时恒成立
综上，若时，恒成立，则，所以的最小值为4．
故答案为：4
13．B
【分析】依据递推公式判断数列类型，使用前项和公式结合构造不等式组解.
【详解】因为即，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
则的前项和.
所以.
因为，所以，
即解得.
故选：B.
14．
【分析】根据已知条件求出的首项和公比，得到和，代入已知的不等式转化为求即可.
【详解】设等比数列的公比为，显然，
则，，
解得，，，，
关于的不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
.
（解法一）设，，
则，
当时，，
当时，，
当时，，
，，；
（解法二），
当且仅当，即时等号成立，
又，当或时，取得最小值24，
故，.
故答案为：.
15．
【分析】由已知与作差，可求得等比数列的公比，从而得通项公式，再求出，利用基本不等式求得的最大值后可得结论．
【详解】将与作差，可得，即.
所以等比数列的公比.
因为，所以.
所以.所以.
因为，所以，当且仅当时“”成立.
所以.故的最小值为.
故答案为：．
16．6
【分析】由求出公差，即可写出的通项公式，再求出等比数列的公比及通项公式，代入不等式中化简，由指数函数的单调性求解不等式即可.
【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
，则，，
所以，，，
因为，所以，化简得，解得，
满足条件的最小正整数的值为6.
故答案为：6
【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，涉及利用指数函数单调性求解不等式，属于基础题.
17．
【分析】根据题中条件结合等差数列前和公式，列出方程，可解得解得，继而求得及，结合题中条件分奇偶讨论可求得及，进一步分析即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，
所以，
所以，
，
当为偶数时，，，
，
，
时恒成立．
当为奇数时，
，
，
时恒成立．
综上知：最小值为．
故答案为：5.
18．5
【分析】根据题意先求得，，从而求得，再构造等比数列，从而得到数列的通项公式，进而根据的单调性即可求解．
【详解】由，解得，
又，所以．
另一方面由，可得，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，易知是递增数列，
又，，
所以满足的最小正整数．
故答案为：5．
【点睛】本题考查递推数列．
19．B
【分析】可得为等差数列，求出并求的最小值时的值.
【详解】根据，可得，所以数列是公差为2的等差数列，
再由，可得，
，
所以，，
所以前项和取到最小值时，，
故选：B.
20．
【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由，可得.
两式相减，可得，所以数列为等差数列.
因为，，所以，所以，，
则.令，则.
当时，，数列单调递减，
而，，，
所以数列中的最大项为1，故，
即实数的取值范围为.
故答案为: .
21．
【分析】借助裂项相消法可得，即可得恒成立，构造函数，结合导数判断单调性进而即得.
【详解】由，则，
故，
由，可得，
即，
设，则恒成立，
故在单调递减，当时，，
即当时，，故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于得到恒成立后，构造函数，结合导数讨论函数单调性，从而得到的范围.
22．
【分析】利用与的关系，求得，由题意，求得并裂项，利用裂项相消，求得，分为奇数或偶数两种情况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案.
【详解】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
当为偶数时，不等式为，
令，，
当时，，则在上单调递增，
由于，故，此时；
当为奇数时，不等式为，
令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，
综上所述，.
故答案为：.
23．##
【分析】设等比数列的公比为，求出、的值，可得出数列的通项公式，可求出的通项公式，求出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，解得，则，
所以，，
，所以，数列为等差数列，
所以，，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
又因为，故的最大值为.
因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.
故答案为：.
24．##0.09375
【分析】先求出，用错位相减法求出，把不等式恒成立，转化为，记，求出的最大值，即可求出t的最小值.
【详解】对于，
当时，
当时，
经检验：对也成立，
∴所以，
∴
，
两式相减得，，
，
所以 所以，
令 ，
，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，t的最小值为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：在分离参数后，设，再利用做差法研究数列的单调性.
25．
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由，
当时，，
两式相减可得：，
∴，由，显然成立，
设，
∴当时，，当时，，
因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减，
由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为，
对任意，所有的正整数n都有成立，可得，
因此，，即对任意恒成立，
由，当且仅当，即时取最小值，则，
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
26．B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则．
由于时，，
故随着的增大而增大，而，，
故满足的最小正整数的值为6．
故选：B.
27．
【分析】分析可得数列是等比数列，求得，由已知可得出，令，分析数列的单调性，求出数列最大项的值，即可得出实数的最小值.
【详解】由有，且，
故数列为首项为，公比为的等比数列，可得，
不等式可化为，令，
当时；当时，．
故有当时，，
则，
当时，，即，
此时，数列单调递减，
综上所述，，可得实数的最小值为．
故答案为：.
28．
【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由，可得.
两式相减，可得，所以数列为等差数列.
因为，，所以，所以，，
则.令，则.
当时，，数列单调递减，
而，，，
所以数列中的最大项为1，故，
即实数的取值范围为.
故答案为: .
答案第1页，共2页
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