专题01 数列大题
1、等差数列通项公式： 或
2、等比数列通项公式：
3、的类型，公式
4、数列求和的常用方法：
（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和．
即
常见的裂项技巧：
（1）；
（2） ；
（3）
（4）
（5）指数型；
（6）对数型．
（7）
（8）
（9）
（10）等
一、解答题
（22·23·保定·二模）
1．设等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
（22·23·潍坊·三模）
2．已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
（22·23·广州·三模）
3．已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
（22·23·山东·二模）
4．已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．
（22·23下·绍兴·二模）
5．设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
（22·23·济宁·三模）
6．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
（22·23下·无锡·三模）
7．记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
（22·23下·苏州·三模）
8．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
（22·23下·江苏·三模）
9．已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.
（22·23下·镇江·三模）
10．已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
（22·23·张家口·三模）
11．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
（22·23·汕头·三模）
12．设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
（22·23·衡水·一模）
13．已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列，的前项和为，证明：.
（22·23·东莞·三模）
14．已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
（22·23·深圳·二模）
15．已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
（22·23·梅州·三模）
16．已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)数列满足，求数列的前项和.
（22·23下·长沙·三模）
17．已知等差数列前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求和：.
（22·23下·岳阳·三模）
18．已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
（22·23·济南·三模）
19．已知等差数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
（23·24上·永州·一模）
20．已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
（23·24上·郴州·一模）
21．在数列中，为数列的前项和，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若.求数列的前项和.
（22·23下·湖北·模拟预测）
22．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
（22·23下·武汉·三模）
23．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
（22·23下·襄阳·三模）
24．已知数列满足，且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
（22·23下·武汉·三模）
25．已知各项均不为零的数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求正整数的最大值.
（23·24上·湖北·一模）
26．已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
（22·23·日照·三模）
27．已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
（22·23下·烟台·三模）
28．已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
（22·23·菏泽·三模）
29．已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
(2)设数列，求出数列的前项和．
（22·23·福州·二模）
30．已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
（22·23·唐山·二模）
31．已知为等差数列的前项和，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
（22·23·宁德·二模）
32．已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
（22·23·三明·三模）
33．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
（22·23·厦门·三模）
34．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
（22·23·龙岩·二模）
35．已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，证明：．
（22·23下·浙江·二模）
36．设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
（22·23下·浙江·二模）
37．记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.
（22·23下·江苏·二模）
38．已知等差数列的各项均为正数，，.
(1)求的前项和；
(2)若数列满足，，求的通项公式.
（22·23下·温州·二模）
39．已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.
（22·23·沧州·三模）
40．设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于与的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设数列的公差为d，
由题意可得，解得，
∴.
（2）由（1）可知，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和的递推式，得出，进而求得的通项公式；
（2）利用裂项相消法求得，即可得出结论.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
即，所以．
即，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以.
（2），
故数列的前项和
，
因为，所以，
所以．
4．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可求出、；
（2）根据高斯函数先推出的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）由，得，
由，得，，因为是正项数列，，
；
（2）因为，
所以，
所以当时
，
当时满足，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求得，即，再根据与的关系采用相减法即可求得数列的通项公式；
（2）由题意得，利用等比数列求和公式即可得数列的前项和.
【详解】（1）是首项为1，公差为1的等差数列，.
时，也符合
（2）显然
于是
6．(1)
(2)
【分析】
（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可;
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
所以，
即，
又因为，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，
所以.
7．(1)
(2)2
【分析】
（1）根据等差数列的定义和增位相减以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列求和和二项式定理即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
即①，
所以②，
由②－①可得，
即，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
所以，
所以
所以除以3的余数为2.
8．(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；
（2）根据数列的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
9．(1)
(2)2023
【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得的通项公式，分析可得的通项公式；
（2）根据的关系式，结合并项求和即可得的前2023项的和.
【详解】（1）对任意的，因为，
当时，
，
因为，故.当时，符合，
所以，.
（2），
所以当时，，
故.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）根据利用可得，利用等差数列定义可求得；
（2）选择①②都可以得到新组成的数列是原来数列的偶数项，利用等比数列前项和公式即可得.
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得；当时，可得，两式相减得，得到，进而求得数列的通项公式；
（2）令，得到，结合裂项法求和，求得，即可得证.
【详解】（1）解：由题意，数列满足，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，所以，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）解：令，由，
可得，
所以，
因为，可得，所以.
12．(1)不是“紧密数列”，理由见解析
(2)数列是“紧密数列”，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可；
（2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”；
（3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1），所以不是“紧密数列”；
（2）数列为“紧密"数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，因此，
所以对任意，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，
所以，满足题意；
当时.，
因为为“紧密"数列，所以.即或，
当时，，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密"数列；
综上，实数的取值范围是.
13．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由前项和与通项之间关系可求得，进而由已知等式得到，推导可得；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可整理得到，结合和可证得结论.
【详解】（1）当时，，；
当且时，，
；
经检验：满足，；
当时，，；
当且时，，
，；
经检验：满足，.
（2）由（1）知：，
；
，在上单调递减，在上单调递增，
，；
又，.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题.
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项；
（2）由（1）可得，在分为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以．
（2）由题意知，，
所以
．
当为偶数时，
，
当为奇数时，
．
综上．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知递推式可得，结合，可得，即可证明数列为以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由已知，得，，两式作差可得，再由错位相减法求数列的前项和．
【详解】（1），．
已知，，得，可得，
数列为以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，，
由，①
取，得，可得；
当时，，②
①②得：，即．
也满足上式，．
，
，
两式作差得：，
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先利用等差数列前项和公式与性质得到，从而结合条件求得公差，从而得解；
（2）先利用推递作差法求得，从而求得，再利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）因为等差数列前项和为，
所以，
又，所以，
又，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
两式相减得：，
又满足上式，所以，
又，所以.
所以，
，
两式相减得：
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式计算可得答案；
（2）由题意可知，利用错位相减求和可得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为.
所以，
所以，，
所以；
（2）由题意可知，
所以①，
②，
①②得，
，
，
，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；
（2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得，
即得，则，
即，可得，由于，故得，
则，故；
（2）由（1）结论可得
，
故的前项和
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由前n项和求递推关系，应用等比数列定义证明等比求通项公式；
（2）应用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，
即，易知，所以.
所以是以为首项，以2为公比的等比数列.
故.
（2），
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过基本量计算可得，然后由等比数列前n项和公式可得，利用定义可证；
（2）由错位相减法可得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以1，
所以，即，又正项等比数列，所以，解得，
因为，所以，得，
所以
所以，
，所以，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）得，，所以，
所以①
②
①-②得，
整理得：.
23．(1)，
(2)（ⅰ），；（ⅱ），，证明见解析
【分析】(1)根据与的关系计算即可，同时注意讨论的情况；
(2) 对于（ⅰ）结合上问结果及等比中项的性质建立方程计算公差即可；对于（ⅰi）由，可放缩，裂项求和即可证明结论.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
整理得．
又因为，所以当时，，
所以，当时，不满足．
所以，.
（2）（ⅰ）设数列的公差为．
因为，，成等比数列，且，，，
所以，即．
又因为，所以．
所以数列的通项公式为，．
（ⅰi）．证明如下：
由（ⅰ）知，，，易知
所以．
，
，．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当为奇数时，；
则偶数项构成以为公差的等差数列，
所以当为偶数时，；
当为偶数时，，
则奇数项构成以1为公差的等差数列，
所以当为奇数时，，
则，又，
所以，
解得，.
（2）由（1）得，，，，
当时，，
∴，
综上，知.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时，得到，两式相减化简求得，得到数列中奇数项和偶数项分别构成等差数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合当时，和当时，，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，各项均不为零的数列的前项和为，满足且，
当时，，解得，
当时，，两式相减得，
因为数列中各项均不为零，即.
所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；
偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
当时，，即；
当时，，即，
综上，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，
因为，所以，
当时，，即不等式恒成立；
当时，.
故正整数的最大值为.
26．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）
当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）
由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
27．(1)
(2)存在，，证明见解析
【分析】(1)根据隔项等比数列的定义和通项公式即可求解；
(2)根据是等比数列的必要条件解出，再根据证明充分性即可.
【详解】（1）由已知，
所以，
相除得；
又，
所以，
所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，
由得，
由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，
所以，
所以存在正数使得数列是等比数列.
28．(1)
(2)
【分析】（1）先把题干条件等价变成，然后用累加法进行求解；
（2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.
【详解】（1）由得，，
所以时，，
故，又，则，当时，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因为，
于是，
所以，．
故数列的前项和为．
29．(1)，
(2)
【分析】（1）当时，根据，利用两式相减得，由等比数列的通项公式可求出；根据等差数列的通项公式可求出；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以，即，因为，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
化简得.
30．(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求数列的和即可.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，得，
所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以
31．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出可得答案；
（2）利用裂项相消求和可得答案．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，
即，所以，
数列的首项为3，公差为1，则，即；
（2）由，得，
所以
．
32．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
33．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.
所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，
所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，
即.
34．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
35．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由为常数，则为常数，即，然后结合等差数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，然后累加求和即可得证．
【详解】（1）依题意，得：，即
所以，，化简得：
因为，所以
所以
经检验：成立
（2）解法一：
因为
所以
，
所以
．
解法二：
所以
．
36．(1)
(2)，
【分析】（1）利用及等比数列的定义求的通项公式；
（2）讨论的奇偶性，应用分组求和及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
37．(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得，即得，即可得答案；
（2）利用（1）中结论可得，结合基本不等式求得，验证后即得答案.
【详解】（1）由题意是等差数列，设其公差为d，
则，
则，故.
（2）由（1）可知，一方面，
故，当且仅当时，取等号，
由于m为正整数，故，
另一方面，时，﹐满足条件，
综上所述，正整数m的最小值是3．
38．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质得到，根据等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的前项和公式进而求解；
（2）结合（1）的结论得到，进而得到，利用累乘法求出.
【详解】（1）等差数列中，因为，所以，
又因为等差数列的各项均为正数.所以，
又因为，所以.
所以.
（2）由（1）得，因为，且，所以，
所以.
所以.
所以.
当时也符合.
所以的通项公式为.
39．(1)
(2)64
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）由（1）可得，根据题意可得，根据等差数列的求和公式分析运算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，则，
所以，
因为，则，
所以，则，
即数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
则，即，
又因为在上单调递增，且，
所以使的最大正整数的值为64.
40．(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的基本量运算即得；
（2）根据条件确定的取值，进而利用分组求和法即得.
【详解】（1）设公比为，由，得，
即，得，
解得或（舍去），得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）由为数列在区间中的项的个数，
可知，，.
当时，；当时，；
当时，；当时，.
∴.
∴数列前100项的和为.
答案第1页，共2页
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