专题22 函数值的大小比较小题
1.构造函数的重要依据
2.常见构造类型
3.常见的指对放缩
，，，
4.常见的三角函数放缩
5.其他放缩
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
方法技巧
1构造相同函数，比较不同函数值
2构造不同函数，比较相同函数值
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了!
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.
一、单选题
（23·24上·郴州·一模）
1．有三个数：，大小顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·朝阳·一模）
2．已知，则大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
（23·24·景德镇·一模）
3．设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·云南·二模）
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23·南开·一模）
5．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·衡水·三模）
6．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·遵义·三模）
7．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·西安·一模）
8．设且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
（23·24上·泸州·一模）
9．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
（22·23·潍坊·三模）
10．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·西安·三模）
11．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（22·23·深圳·二模）
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23·吕梁·二模）
13．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·甘肃·一模）
14．设，则（ ）
A． B．
C． D．
（23·24·大理·一模）
15．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·杭州·一模）
16．若，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·长沙·一模）
17．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·大连·一模）
18．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23上·重庆·一模）
19．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·四川·一模）
20．设，，，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·江苏·二模）
21．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·云南·三模）
22．若，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23·汕头·三模）
23．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·武汉·三模）
24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·浙江·二模）
25．已知函数，，，，若，，则（ ）．
A． B．
C． D．
（22·23下·全国·二模）
26．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·滁州·二模）
27．设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
（22·23下·莆田·期末）
28．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·辽宁·一模）
29．若，，，则（ ）
A． B． C．· D．
（22·23·邯郸·一模）
30．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·巴中·一模）
31．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·四川·一模）
32．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·聊城·一模）
33．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23·宜春·一模）
34．若则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·保定·一模）
35．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23·鹰潭·一模）
36．已知，，，其中e为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·江苏·一模）
37．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（22·23下·浙江·二模）
38．设，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23·福州·二模）
39．设，则（ ）
A． B．
C． D．
（22·23下·武汉·三模）
40．设，，，，则a，b，c，d间的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】，
，
所以.
故选：A
2．C
【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
又因为，且函数在上为增函数，故.
故选：C.
3．B
【分析】由，，，且，构造利用导数研究单调性比较大小，即可得结果.
【详解】由题设，，，显然，
对于，的大小，只需比较大小，
令且，则，即在上递减，
所以，故，
综上，，故.
故选：B
4．A
【分析】将与1比较确定b最大，再构造函数比较大小.
【详解】因为，所以b最大，故排除选项C，D；
取对数得，
构造函数，则，在上单调递增，故，即，所以，即，所以，
故选：A．
5．C
【分析】先求出，再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较和的大小即可.
【详解】由，得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
则，
所以，即，
所以.
故选：C.
6．B
【分析】构造，对求导，得出的单调性、最值，可得，可判断；将不等式中的换为，可得，可知，通过对数运算可得，即可得出答案.
【详解】．
令，则．
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，当且仅当时，等号成立．所以．
将不等式中的换为，可得，
当且仅当时，等号成立，所以；
又，所以．故．
故选：B.
7．D
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，利用单调性比大小即可.
【详解】令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在R上恒成立，即，
令，
则，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
故在上恒成立，即，
而，，即，
令，则，，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
故在上恒成立，即
令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，
所以，
故.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于比大小问题构造函数是关键，需要积累，，等常用的放缩不等式，同时对于本题熟记等的近似值更快捷.
8．A
【分析】根据对数的运算性质，分别得到，即可求解.
【详解】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以.
故选：A.
9．B
【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可
【详解】已知幂函数经过点，可得：，解得：.
即，易知在上为单调递减函数.
由于，可得：，即；
又因为，，可得：，即；
综上所述：.
故选：B
10．D
【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.
【详解】∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
故.
故选：D.
11．B
【分析】令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出、、的大小关系.
【详解】令，其中，则，
因为函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即.
故选：B.
12．B
【分析】先得出，再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，，由题意推出，，然后得出，，即可得出答案.
【详解】因为，所以即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，
所以，即，
令
则，即在上单调递增
所以，即，当时等号成立，
令，得，所以，故，
因为，即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，
得，即，
由可得，所以，当时取得等号，
令，得，所以，综上：.
故选：B.
13．D
【分析】构造函数，，，令求导分析单调性可判断，再令，求导分析单调性可判断.
【详解】，，，构造函数，，，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以．
令，，，所以在上单调递减，
所以，所以，所以，所以，所以．
故选：D
14．B
【分析】分别构造函数和，利用导数判断其单调性，进而确定大小关系.
【详解】记，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.1，故；
记，则，当时，，故在上单调递减，所以，即，所以，故；因此.
故选：B.
15．D
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系.
【详解】令，则，，有.
故函数在单调递增，故，
即，所以，即，
令，则，，有.
故函数在单调递减，故，即，
所以，即.
综上：.
故选：D
16．B
【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：B
17．D
【分析】转化为比较比较的大小，构造函数，先证明，，中最大，设，先证明，再证明，即得解.
【详解】要比较，，等价于比较的大小,
等价于比较,
即比较,
构造函数,,
令得,令得,
所以在单调递增, 单调递减.
所以,
因为，
所以最大，即，，中最大，
设，
结合的单调性得，，
先证明，其中，
即证，
令，，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
则有，
由可知，
所以，
因为，所以即，
因为，在单调递增，
所以，即，
因为 所以所以，
即，
因为，在单调递减.
所以，
即，即，
综上，.
故选：D
【点睛】关键点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
18．A
【分析】构造函数，，根据导函数得出在上单调递增，即可得出，即，构造，根据导函数得出函数的单调性，进而得出，即.
【详解】令，，则.
令，则.
当时，，所以在上单调递增.
又，所以，
即，所以.
令，则恒成立，
所以，在R上单调递增.
又，所以，
即，所以.
综上所述，.
故选：A.
19．C
【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.
【详解】令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，即.
故选：C.
20．D
【分析】根据，，，设，分构造函数和函数，利用其单调性比较.
【详解】解：因为，，，
设，则构造函数，有，则单调递增，且，所以；
再构造函数，有，则单调递增，且，所以，
综上：．
故选：D
21．A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
令，则，
所以函数在上递增，
所以，即，即，
所以，即，
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.
22．D
【分析】构造函数并利用其单调性得出，再构造函数并利用其单调性得出；构造函数通过单调性可得到，从而得到结果.
【详解】设，，则，即当时，，
∴在上单调递增，
∴，∴，即，
设函数，，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，所以；
设函数，则，
令，
，
当时，，所以单调递增，而，所以，
又在成立，所以在上恒成立，
所以，即，所以，
综上，.
故选：D.
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
23．B
【分析】比较大小，转化为比较大小，构造函数，通过求导判断的单调性，可得出大小；比较大小，转化为比较，构造函数，求导判断单调性，得到出大小，即可得出结论.
【详解】设，则，
当时，故在上单调递减，
所以，即，
所以，所以；
设，则，
当时，，故在上单调递减，
所以，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
24．A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
25．B
【分析】根据选项中不等式特征构造函数，根据其单调性可得，继而构造函数，利用其单调性推出，再结合不等式性质即可推出答案.
【详解】设，则在上单调递减，
因为，故，即，
设，则，
故在上单调递增，
因为，故，
即，
由于，，故，
则，即，所以A错误，B正确；
由，，无法确定还是，C，D错误，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据各选项中不等式特征，能够构造函数以及，继而判断其单调性，利用函数单调性解决问题.
26．A
【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.
【详解】因为，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，，即
所以，所以；
由，得，
由，得，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，即，所以，
综上所述.
故选：A
27．D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
28．D
【分析】由于，，，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，
【详解】，，，
令，则，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，所以，
所以，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
29．A
【分析】设，利用导数可得在单调递增，可判断，设，通过导数得到其单调性即可得到，即可求解
【详解】设，则当时，.
因为（当且仅当时，取等号），所以，
于是在单调递增，所以，可得.
设，则当时，，
所以在单调递减，所以，可得.
综上，.
故选：A.
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
30．B
【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.
【详解】解：因为，所以．
设，则，故在上单调递增．
因为，所以，即．
设，则，当时，，则在上单调递减．
因为，所以，即．
综上．
故选：B
31．B
【分析】构造函数和，利用导数求解函数的单调性，进而可比较大小.
【详解】设，则，
设 ，
由于在单调递增，且其值均大于0， 单调递减，
所以单调递减，又 ，所以在单调递减，且，
所以在时，，因此在时单调递减，
故，即，即，
设
当时，，所以在单调递增，
所以，即，
综上可知，
故选：B
【点睛】本题考查了利用导数判断大小.构造函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式或者比较数的大小时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
32．C
【分析】观察可得，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；
构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.
【详解】由，，
构造函数，，
则，
因为在上为减函数，
所以当时，，
又，所以，
故，
所以函数在单调递增，
故，
故，
因为，，
构造函数，，
则，
因为
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
33．B
【分析】根据指数函数的单调性和构造函数并证明单调性即可求解.
【详解】
令，
所以，
令得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
所以，
令，
所以，
所以在单调递增，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题应用构造函数比较大小，需要注意控制变量的唯一性.
34．A
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为，，，
当时，设，
则，
所以在上单调递减且，
所以，
即，所以；
又因为，所以，，即，
所以.
故选：A.
35．D
【分析】利用构造函数法，结合导数，先判断的关系，然后判断的关系，从而确定正确答案.
【详解】构造函数，
在上单调递增，
所以，即，
也即，则.
，
设，
，设，
，所以在上递增，
，即，在上单调递增，
所以，即，
构造函数，
，在上递增，
所以，即，
即.
综上所述，.
故选：D
【点睛】利用导数来比较代数式的大小，主要是通过构造函数法，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来比较出代数式的大小.在比较大小的过程中，如果无法一次比较出大小关系，可通过多次比较大小（放缩法）来进行比较.
36．A
【分析】比较a，b的大小，可构造函数，；比较b，c的大小，可构造函数，.然后求得导数和单调性，即可得到所求大小关系.
【详解】由，，设，，
则，由，得，，于是，即在上递减，
因此，即，则，即有；
由，，设，，
，令，，
函数在上递减，则，即，于是，
即有，函数在上递减，因此，即，
于是，即，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及数的大小比较，注意运用构造函数法，利用导数探讨函数的单调性是解题的关键.
37．A
【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.
【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.
38．B
【分析】根据进行构造函数，利用导数判断单调性，推出a与1的大小关系，同理判断b与1的关系，判断的大小范围时采用分析的方法，结合的特点，构造函数，利用导数判断单调性，即可判断其范围.
【详解】设函数,求导得：,
∴在上单调递减，所以，A错误；
设函数，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，仅当时取等号，
即，则时，，即，
所以，D错误；
由，
下面证明，
，即证,
令，即证：，即，
构造函数 ，即证，
由，所以在上单调递减，则，
即证，
令，，
即在上单调递减，故，即成立，
故成立，所以，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题比较大小，要明确数的结构特点，确定其中的变量，进而构造相应的函数，利用单调性进行大小比较，难点是本题解答时要选择恰当的变量，连续构造相应的函数，进行解答.
39．A
【分析】作差法判断、的大小，构造函数, 利用导数的单调性判断、的大小.
【详解】
，
又，
所以令，，
则，
令，
则 ，
当时,, ，
所以，
故,故在上是增函数，
又∵，
∴当时,, 故在上是增函数，
故,即，
故.
故选:A.
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为变量可以构造函数.
40．B
【分析】证明在上恒成立，得到，确定，证明在上恒成立，得到，根据和的图像得到，得到，得到答案.
【详解】设，则在上恒成立，
故在上单调递增，，即在上恒成立，
故，故，即，即，
，
设，则恒成立，函数在上单调递增，
，故在上恒成立，
，故.
设，，，
画出和的图像，如图所示：
故时，，即，即.
综上所述：
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了数值的大小比较，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将数值的大小比较通过函数构造的方式转化为函数的单调性和最值，是解题的关键，函数构造的方式可以有多种方式，需要灵活掌握.
答案第1页，共2页
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