2024中考辽宁省沈阳市和平区一模考前数学教学成果评估
一．选择题（共10小题，共30分）
1．在1，0，﹣5，四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣5 D．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x+x+x+x＝4x B．x﹣x﹣x﹣x＝﹣4x C．x x x x＝x2 D．x÷x÷x÷x＝1
4．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（ ）
A．152° B．126° C．120° D．108°
5．下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．因式分解“16m2﹣？”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“？”是（ ）
A．5n2 B．25n2 C．75n2 D．125n2
7．新高考“3+1+2”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择化学和生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的余角度数是（ ）
A．15° B．60° C．75° D．105°
10．如图，点A为反比例函数（k＜0，x＜0）的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝0.5，则k的值为（ ）
A．1 B．0.5 C．﹣0.5 D．﹣1
4题 9题 10题
二．填空题（共5小题，共15分）
11．将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为s甲2、s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”则物品的价格为 钱．
13．如图，A、B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地．已知BC＝500m，桥CD＝50m，∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长是 m．
11题 13题
14．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
14题 15题
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线对称轴对称，则点D坐标为 ，连接OD，DB，点P在抛物线第四象限内不与B，C两点重合．过点P作y轴的垂线与线段BC交于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠PEF＝90°，点F在点E的下方，且，点F恰好落在射线BD上，再将△PEF跷点E旋转得到△P′EF′（点P的对应点为点P′，点F的对应点为点F′，当P′E与OD垂直时，点P′的横坐标为 ．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（1）先化简，再求值：，其中，且x为整数；
（2）计算：．
17．（9分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 m 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角α的度数，并通过计算补全条形统计图．
（2）根据频数分布表分别计算相关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数
七年级（篇） 3 y 3
八年级（篇） x 4 3.3
请直接写出x＝ ，y＝ ；
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数中，任选一个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
18．（8分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2250元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
19．（8分）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即Rt△DHA≌Rt△CGD≌Rt△BFC≌Rt△AEB，其中四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，如图2，将图1中的线段EA和线段GC分别延长到点M和点N，使AM＝AE，CN＝CG，连接MB，BN，ND，DM，得到四边形MBND．
（1）求证：四边形MBND是平行四边形；
（2）若AH＝4，DH＝5，求四边形MBND的面积．
20．（8分）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2023年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2023年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．
（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的一次函数关系式；
（2）设该产品2023年第x个月的销售数量为m（单位：台），m与x的关系可以用m＝100x+1000来描述．求哪个月的销售收入最多？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直径DG⊥AB，垂足为点F，C为上的一点，连接DC，交线段AB于点E，作∠DCH＝∠AED，CH交DG延长线于点H．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tanH，求CD的长．
22．（12分）图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
（1）在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
（2）在图3中，若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值．
（3）在图4中，现在需要一条宽为1.75m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为 m？（精确到0.1m）
23．（12分）【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF，其中AB＝8，BC＝6，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在AB，BC边上时，点E，G恰好为边AB，BC的中点．．
然后将矩形纸片EBFG绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接AE与CG．
【观察发现】（1）如图2所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为 ；位置关系为 ；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形EBFG的旋转过程中，连接AG，CE，得AG2+CE2为定值，请直接写出此定值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．A．2．A．3．A．4．B．5．B．6．B．7．B．8．A．9．A．10．C．
二．填空题（共5小题）
11．＜．12．53．13．（300+250）．14．30π．15．（3，﹣4），或．
三．解答题（共8小题）
16．（1）1；（2）1．
17．解：（1）α＝360°×（1﹣14%﹣30%﹣24%﹣12%）＝72°，
七年级投稿的人数为：7÷14%＝50（名），
∵两个年级随机抽取相同数量的学生，
∴八年级投稿的人数为50名，
∴m＝50﹣2﹣10﹣13﹣4＝21，
补全补全条形统计图如下：
（2）∵八年级投稿篇数数据由小到大排列第25、26个数据分别为3，4，
∴x3.5，
∵七班级投稿篇数3篇是出现最多的，
∴众数y＝3；
故答案为：3.5，3；
（3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八班级投稿情况好于七年级．（答案不唯一）．
18．解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：3，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2250，
∵﹣10m+3000≤2250，
∴m≥75，
m最小是75，
答：菜苗基地购买A种菜苗至少75捆．
19．（1）证明：∵Rt△DHA≌Rt△CGD≌Rt△BFC≌Rt△AEB，
∴∠AHD＝∠CGD＝∠BFC＝∠AEB＝90°，DH＝CG＝BF＝AE，AH＝DG＝CF＝BE，
∵AM＝AE，CN＝CG，
∴AM＝CN，
∴AH+AM＝CF+CN，AE+AM＝CG+CN，
∴MH＝NF，ME＝NG，
在△MDH和△NBF中，
，
∴△MDH≌△NBF（SAS），
∴DM＝BN；
在△MBE和△NDG中，
，
∴△MBE≌△NDG（SAS），
∴BM＝DN，
∴四边形MBND是平行四边形．
（2）解：∵AH＝4，DH＝5，
∴AH＝BE＝4，DH＝AE＝5，
∴AM＝AE＝5，EH＝AE﹣AH＝5﹣4＝1，
∴MH＝AH+AM＝4+5＝9，ME＝AE+AM＝5+5＝10，
∴S△MDH＝S△NBFDH MH5×9，S△MBE＝S△NDGBE ME4×10＝20，
∵四边形EFGH是正方形，
∴S四边形EFGH＝EH2＝12＝1，
∴S四边形MBND＝S△MDH+S△NBF+S△MDH+S△NBF+S四边形EFGH20+20+1＝86，
∴四边形MBND的面积是86．
20．解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，
∴，
解得，
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000；
（2）设销售收入为w元，
①当1≤x≤10时，w＝（﹣150x+3000）（100x+1000）＝﹣15000（x﹣5）2+3375000，
∵﹣15＜0，
∴当x＝5时，w最大＝3375000 （元）；
②当10＜x≤12时，w＝1500（100x+1000）＝150000x+1500000，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w最大＝150000×12+1500000＝3300000（元）；
∵3375000＞3300000，
∴第5个月的销售收入最多，最多为3375000元．
21．（1）证明：连接OC，则OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D，
∵DG⊥AB于点F，
∴∠DFE＝90°，
∵∠DCH＝∠OCH+∠OCD，∠AED＝∠DFE+∠D，且∠DCH＝∠AED，
∴∠OCH+∠OCD＝∠DFE+∠D，
∴∠OCH＝∠DFE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CH⊥OC，
∴CH是⊙O的切线．
（2）解：作CL⊥DH于点L，则∠DLC＝∠OCH＝90°，
∴∠OCL＝∠H＝90°﹣∠COH，
∴tan∠OCL＝tanH，
∴OLCL，
∵⊙O的半径为5，
∴OC＝OD＝5，
∵OCCL＝5，
∴CL＝4，
∴OL4＝3，
∴DL＝OD+OL＝5+3＝8，
∴CD4，
∴CD的长是4．
22．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx（a≠0）．
∵抛物线经过点（0，0）和（4，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝2．
∵水柱最高点离地面3 m，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，3）．
∴．
解得：．
∴抛物线的函数表达式为：yx2+3x；
（2）以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，
∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：（h，3），二次项的系数为：．
∴抛物线解析式为：y（x﹣h）2+3．
∵喷水管OA最高时，OB的值最小．
∴抛物线经过点（0，），
∴h2+3．
解得：h1＝1，h2＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴y（x﹣1）2+3．
当y＝0时，（x﹣1）2+3＝0．
（x﹣1）2＝﹣3，
（x﹣1）2＝4，
∴x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴OB＝3．
答：喷泉跨度OB的最小值为3；
（3）设点F的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m+1.75，n）．
∵点E在抛物线yx2+3x上，点F在抛物线y（x﹣1）2+3上，
∴m2+3m（m+1.75﹣1）2+3．
m2+3m（m）2+3，
m2+3m（m2m）+3．
m2﹣4m＝m2m4．
解得：m．
∴n31.6（米）．
答：能够进入该安全通道的人的最大身高为1.6米．
23．解：（1）如图所示，延长AE交CG于点H．
∵点E，G恰好为边AB，BC的中点，
∴，．
∵四边形ABCD和EBGF是矩形，α＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG＝90°，
∴，∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE∽△CBG．
∴，∠BAE＝∠BCG．
由“8”字模型得∠EHC＝∠ABE＝90°，
∴AE⊥CG．
故答案为：，AE⊥CG．
（2）当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论仍然成立．
理由：如图所示，
∵四边形ABCD和EBGF是矩形，
∴∠ABC＝∠EBG＝90°．
∴∠ABC+∠CBE＝∠EBG+∠CBE．
即∠ABE＝∠CBG．
∴，∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE∽△CBG．
∴，∠BAE＝∠BCG．
设BC与AE交于点P，AE与CG交于点O，
由“8”字模型得∠ABP＝∠POC＝90°，
∴AE⊥CG．
∴当90°＜α＜180°时，AE与CG的数量关系是；位置关系是AE⊥CG．
（3）AG2+CE2 的定值为125．
如图3，连接AC，GE，由（2）得AE⊥CG，
∴AG2＝AD2+GD2，CE2＝CD2+DE2，
∴AG2+CE2＝AD2+GD2+CD2+DE2
＝AC2+EG2
＝AB2+BC2+BE2+BG2
＝82+62+42+32
＝125．
