2023—2024学年度第二学期学情练习（3月）
九年级数学模拟试卷
（满分为120分，考试时间为120分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数9的相反数等于（ ）
A. ﹣9 B. +9 C. D. ﹣
2. 277000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A B. C. D.
6. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）
11. 分解因式：______．
12 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
14. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. 计算：
17. 解不等式组．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
19. 如图，在中，交于点，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求证：四边形是菱形．
20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B点的一次函数的图像于D点，交反比例函数的图像于E点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式：
（2）求DE的长．
21. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
六．解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段，上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
25. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．2023—2024学年度第二学期学情练习（3月）
九年级数学模拟试卷
（满分为120分，考试时间为120分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数9的相反数等于（ ）
A. ﹣9 B. +9 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求解即可．
【详解】解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2. 277000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．
4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
8. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
9. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2） 180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形问题，点坐标规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2024次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，，，
∴，
∴，
第1次旋转结束时，点A的坐标为；
第2次旋转结束时，点A的坐标为；
第3次旋转结束时，点A的坐标为；
第4次旋转结束时，点A的坐标为；
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴4次一个循环，
∵，
∴经过第2024次旋转后，点A的坐标为，
故选：D．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
12. 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【详解】∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
14. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC
∴
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=8
故答案为：8．
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．
【答案】
【解析】
【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。
【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF，，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案为∶．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
17. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组， 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集是．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
19. 如图，中，交于点，点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求证：四边形菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；
（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
20. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为，过作轴，交过B点的一次函数的图像于D点，交反比例函数的图像于E点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式：
（2）求DE的长．
【答案】（1）y＝；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y＝x+b即可求得b的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．
【小问1详解】
解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝|k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝，
∵一次函数y＝x+b图像过点B（3，0），
∴×3+b＝0，解得b＝，
∴一次函数为 ；
【小问2详解】
解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝x+b的图像于D点，
∴当x＝5时y＝＝；，
∴E（5，），D（5，3），
∴DE＝3﹣．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图像上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
21. 某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】（1）买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元
（2）至少买乙种快餐37份
【解析】
【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据题意得，
解得
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元；
【小问2详解】
设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据题意得，
解得
至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
五．解答题（三）（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，图形见解析
（2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【解析】
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【小问1详解】
这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
【小问2详解】
在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
【小问3详解】
1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
【答案】（1）PC与⊙O相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；
（2）先证明，再证明△PBC∽△PCA，从而求出，AB=3，，，最后证明△PBC∽△POD，求出，则CD=6，由此求解即可．
【小问1详解】
解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
【小问2详解】
解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键．
六．解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段，上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）①，；②．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数解析式求出的长度，根据三角函数求出的长度，根据P点的坐标得出的长度，根据得出结论即可；
（3）①连接交于点M，设设，则，得出，根据G点在抛物线上得出b的值，即可得出G点的坐标；
②在的下方作，且，连接，，证明，得出，，说明当C、E、Q三点共线时，最小，最小为，过点C作，垂足为H，先证明，算出长度，即可求出、，得出，最后根据勾股定理求出的长度即可得出结果．
【小问1详解】
∵抛物线与x轴交于A，两点，
∴，
解得，
∴，
即抛物线的表达式为；
【小问2详解】
在中，令，得或，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
①如下图，连接交于点M，
∵与关于x轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②如下图，在的下方作，且，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴当C、E、Q三点共线时，最小，最小为，
过点C作，垂足为H，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴，
即的最小值为；
方法二：过点C作轴，使得，作延长线于点G，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴F、D、B三点共线时取到最小值，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，当C、E、Q三点共线时，最小，是解题的关键．
25. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
【答案】（1）答案见解析
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
【小问1详解】
解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
【小问2详解】
解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
【小问3详解】
解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝，
∴△ADP周长最小值为AD+AG＝．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
