2024年中考数学模拟卷（青岛）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（本题3分）估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
2．（本题3分）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线
C．心形线 D．笛卡尔叶形线
3．（本题3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）将一块含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中，点落在直线上，点落在直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，以原点建立坐标系，小明在三角形点的位置，他向右走个单位，再绕原点旋转，则小明站点的对应点的坐标是( )
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．（本题3分）如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围 ．
12．（本题3分）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 ．
13．（本题3分）小明用滴滴打车前往火车站，小明可以选择两条不同路线：路线的全程是千米，但交通比较拥堵．路线的全程是千米，走路线的平均车速比走路线能提高．已知走路线比走路线全程少用分钟．若设走路线的平均速度为千米时，根据题意，可列方程为 ．
14．（本题3分）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是 ．
15．（本题3分）如图，中，，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留π）
16．（本题3分）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，则下列结论正确的有 ．（填写序号）
①；②；③；④；⑤的解集为．
作图题：本题共1小题，共4分。请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．（本题4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（本题6分）（1），其中；
（2）解不等式组：．
19．（本题6分）疫情期间，学校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式”的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
(1)本次调查人数有______ 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)学校共有人，请估计喜欢在线听课的学生大约有多少人；
(4)甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．
20．（本题6分）如图，小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知无人机匀速飞行的速度是，小华的眼睛到地面的距离，当小华在处时，测得无人机在处的仰角为，小华沿正东方向跑步到达处用时，此时测得无人机在处的仰角为，平行地面．设点与点之间的水平距离为．
(1)求点与点之间的铅垂距离（即点到直线的距离）（结果用含的代数式表示）；
(2)求点与地面的距离．
（参考数据：，，，，，；结果精确到）
21．（本题6分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
(3)物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
22．（本题6分）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点 E，F．
(1)求证：；
(2)若，，连接，，求四边形的周长．
23．（本题8分）事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．
定义：对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用表示．例如数与 的“二三联合”为．
(1)填空：_________；_________；
(2)若一个两位数，一个三位数 (其中，，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数，当与s的个位数字的3倍的和能被整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．
24．（本题8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
25．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点，P点在x轴上，且，求出点P的坐标．
26．（本题12分）如图，等腰中，，是边的中点，点沿着从向以每秒的速度运动，同时，点沿着从向以同样的速度运动，点是边的中点，在点运动的同时，过作交于，设运动时间为．
(1)当时，求的值；
(2)连接、，设多边形的面积为，求与的函数关系式；
(3)若点关于的对称点是，请问，存不存在某一时刻，使得点恰好落在线段上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
2024年中考数学模拟卷（青岛）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【详解】解：，
，
即在和之间．
故选：C．
2．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线
C．心形线 D．笛卡尔叶形线
【答案】B
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
故选：A
4．如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、主视图和左视图都是形状大小相同的长方形，故选项不符合题意；
B、主视图和左视图是形状大小相同的等腰三角形，故本选项不合题意；
C、主视图和左视图是形状大小相同的圆，故本选项不符合题意；
D、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D． ，故本选项符合题意；
故选：D
6．将一块含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中，点落在直线上，点落在直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．如图，以原点建立坐标系，小明在三角形点的位置，他向右走个单位，再绕原点旋转，则小明站点的对应点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题可知，点的坐标为，小明向右走个单位，即向右平移个单位，得到坐标为：，再绕原点旋转，得到的坐标为．
故选：D．
8．如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：连接
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形:
∴，
由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，
此时，
即
∴
∴的最小值为，
故选：B．
10．如图，在矩形中，相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作交于点N．交于点E，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③④
【答案】A
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
若是等边三角形，则，
即，不符合题意，故③错误，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；故④正确．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在函数中，自变量x的取值范围 ．
【答案】且
【详解】解：由题意得：，，
解得：且，
故答案为：且．
12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
13．小明用滴滴打车前往火车站，小明可以选择两条不同路线：路线的全程是千米，但交通比较拥堵．路线的全程是千米，走路线的平均车速比走路线能提高．已知走路线比走路线全程少用分钟．若设走路线的平均速度为千米时，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：设走路线时的平均速度为千米小时，则走路线时的平均速度为千米小时，
依题意，得：．即，
故答案为：．
14．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．如图，中，，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：连接．
∵直角中，，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
16．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标等于3，则下列结论正确的有 ．（填写序号）
①；②；③；④；⑤的解集为．
【答案】①②③④⑤
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点位于y轴的正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
即，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵，
又，
∴，即，故③正确；
∵时，二次函数有最大值，
∴，
∴，故④正确；
∵直线与抛物线交于C、D两点，由图象可知C、D之间，，
∴的解集为，
即的解集为，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
作图题：本题共1小题，共4分。请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【答案】见解析
【详解】解：如图，点P为所作．
．
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（1），其中；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）不等式组的解集为
【详解】（1）解：
，
当时，，
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
故答案为：不等式组的解集为．
19．疫情期间，学校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式”的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
(1)本次调查人数有______ 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)学校共有人，请估计喜欢在线听课的学生大约有多少人；
(4)甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．
【答案】(1)，；
(2)图见解析
(3)估计喜欢在线听课的学生大约有人；
(4)
【详解】（1）解：（人），即本次调查人数有人，
“在线答疑”的人数为（人），
在扇形图中的圆心角度数为；
故答案为：，；
（2）解：补全条形统计图如图所示：
；
（3）解：（人），
答：估计喜欢在线听课的学生大约有人；
（4）解：四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用、、、表示，画树状图如图：
共有个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有个，
甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为．
20．如图，小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知无人机匀速飞行的速度是，小华的眼睛到地面的距离，当小华在处时，测得无人机在处的仰角为，小华沿正东方向跑步到达处用时，此时测得无人机在处的仰角为，平行地面．设点与点之间的水平距离为．
(1)求点与点之间的铅垂距离（即点到直线的距离）（结果用含的代数式表示）；
(2)求点与地面的距离．
（参考数据：，，，，，；结果精确到）
2121．某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
(3)物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
【答案】(1)
(2)当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元
(3)50
【详解】（1）解：设这两次平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，，
∴这两次平均增长率为；
（2）解：设解析式为，
根据图像可知，点在上，
∴，解得，
∴y与x的函数关系式为，
设每天获利w元，根据题意得
∵，
∴当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元；
（3）解：由（2）知，当w最大时，
，解得，，
∵当时，时，当时，w最大，
即．
22．如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点 E，F．
(1)求证：；
(2)若，，连接，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为25
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形
设，可得．
在中，，
解得，
∴
∴四边形的周长为
23．事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．
定义：对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用表示．例如数与 的“二三联合”为．
(1)填空：_________；__________；
(2)若一个两位数，一个三位数 (其中，，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数，当与s的个位数字的3倍的和能被整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．
【答案】(1)；；
(2)
【详解】（1）解：；
；
（2）解：，，，且x，y均为整数，
，
的个位数为，
，，，且x，y均为整数，
是t的百位数字和个位数字交换得到新数，
与s的个位数字的3倍的和能被整除，
，
是整数，
，，
，
①当时，
解得：，，
，，
②当时，
解得：，，
，，
③当时，
解得：，，
，，
的最大值．
24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
【答案】(1)
(2)18
(3)，
【详解】（1）解：∵直线过点A，
∴，
又∵，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：如图，
设点，
∵轴，轴，
则，，
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴，
∴，
，
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求，
∵是所求平行四边形的一边，
∴，设点，则，
由题意知：，即．
化简得：或，
解得：（舍去），，，．
则符合条件的M点有三个：，．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点，P点在x轴上，且，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）解：把代入（k为常数，且）得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，
∴B点坐标为，
把代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：连接交x轴于点Q，
设直线的解析式为，
把A、C的坐标代入得，
解得，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴P点的坐标或．
26．如图，等腰中，，是边的中点，点沿着从向以每秒的速度运动，同时，点沿着从向以同样的速度运动，点是边的中点，在点运动的同时，过作交于，设运动时间为．
(1)当时，求的值；
(2)连接、，设多边形的面积为，求与的函数关系式；
(3)若点关于的对称点是，请问，存不存在某一时刻，使得点恰好落在线段上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在某一时刻，使得点恰好落在线段上，此时．
【详解】（1）如图，
∵点是的中点，，
∴，，
由勾股定理得，，
根据题意可知：，
∴，，
当时，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）过点作，，，垂足分别是，，，
∵点是的中点，，
∴平分，
∴，
∵点是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
；
∴与的函数关系式为；
（3）存在某一时刻，使得点恰好落在线段上，
则，
延长交于，作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于，
∵，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴存在某一时刻，使得点恰好落在线段上，此时
