2024年中考数学模拟卷（吉林）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
1．下列各组数中的互为相反数的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方，化简绝对值；根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：A. 与，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 与，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与 ，互为相反数，故该选项正确，符合题意；
D. 与，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据主视图是从正面看的，结合选项图形，即可作答．
【详解】解：依题意，鲁班锁的主视图是
故选：B
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的一元二次方程有实数根，可得根的判别式，据此列出不等式求解即可，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
5．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．
通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N，
则，
设米，由得，，
∵四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
故选：B．
6．如图，中，，，，半径为5的与，分别相切于点，，与交于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理，切线的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．根据切线的性质，正方形的性质以及相似三角形的性质可求出，，进而求出，再根据三角形的面积可求出，由勾股定理可求出，由垂径定理可得．
【详解】解：如图，连接，，，，，分别交于点，点，过点作于点，
则，，
，，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
，，
，，
即，，
解得，，
，，
，
，即，
，
在中，
，
，
故选：D
二、填空题：每小题3分，共24分。
7．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，整数150000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：整数150000000用科学记数法表示为，
故答案为：．
8．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，先进行平方差公式，二次根式的除法，特殊角的三角函数值的运算，再合并同类二次根式即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案为：1．
9．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算．先去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为：．
10．如图，被称为“天下黄河第一桥”的兰州中山桥是兰州历史最悠久的古桥，为增加坚固性，后来又增加了五座弧形钢架拱梁，其中拱梁采用了三角形结构，应用的数学道理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形，熟练掌握三角形的特性是解题的关键，根据三角形的特性“三角形具有稳定性”即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：三角形的特性：“稳定性”，
故答案为：三角形的稳定性．
11．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了作图基本作图，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质．过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过作交的延长线于，
则，
由作图知，平分，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案为：5．
12．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列分式方程；客车由高速公路从甲地到乙地需小时，则走普通公路需小时，结合两条路的全长可得到各自的速度；接下来，根据“某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快”可得到方程．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
13．如图，花园围墙上有一宽的矩形门，量得门框对角线的长为．现准备打掉部分墙体，使其变为以为直径的圆弧形门，则要打掉墙体的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及勾股定理、含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式、圆面积公式及不规则图形面积的间接表示等知识，先利用勾股定理得到矩形长、宽，在判定是等边三角形，求出，间接表示不规则图形面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及扇形面积公式是解决问题的关键．
【详解】解： ，，
在中，由可知，则勾股定理可得，
，
连接交于，如图所示：
由矩形性质可知，则是等边三角形，
，
要打掉墙体的面积是，
故答案为：．
14．如图，中，，点D是边上的一点，连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查折叠的性质，分两种情况：当时，根据直角三角形的性质可得，当时，即E在外时，由折叠可得：，，平分，即，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．
【详解】解：分两种情况：如图：
当时，
由折叠可得，，
，
三点在同一条直线上，
；
如图，当时，即E在外部时，
由折叠可得，
，
,
，
，
故答案为：或．
三、解答题：每小题5分，共20分。
15．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．
【详解】解∶原式
，
由(1)解得∶；
由(2)解得∶，
不等式的解集为，
当时，原式．
16．秦腔，别称“梆子腔”，是中国汉族最古老的戏剧之一，也是国家级非物质文化遗产之一．小博和小雅两位同学都是秦腔的爱好者，准备一起参加学校的文艺汇演，他们共同熟悉的曲目有《八义图》《和氏璧》《临潼山》《三娘教子》，他们设计了如下活动：在四张卡片的正面分别写有A：《八义图》，B：《和氏壁》，C：《临潼山》，D：《三娘教子》（这四张卡片除正面标记外，其余都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)小博从这四张卡片中随机抽出一张卡片，这张卡片的正面所写的曲目是C：《临潼山》的概率为 ；
(2)小博和小雅通过活动决定若两人抽出同一个曲目，则两人共同出演此节目．小博从这四张卡片中随机抽出一张，记下卡片正面所写曲目后，放回，背面朝上，洗匀．然后小雅从中随机抽出一张，请用画树状图或列表的方法，求小博和小雅共同出演的概率为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，简单的概率计算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）根据题意列出表格得出共有16种等可能的结果，其中小博和小雅抽到同一个曲目的结果有4种，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，且每张卡片被抽取的可能性相同，
∴随机抽出一张卡片，卡片的正面所写的曲目是C：《临潼山》的概率为；
故答案为：；
（2）解：由题意，列表为：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中小博和小雅抽到同一个曲目的结果有4种，
∴小博和小雅共同出演的概率为．
17．如图所示，在中，，是上一点，是延长线上一点，且，连接，交于点，那么是否与相等？
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作交于点，得到，，由和，可得，可证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
在和中，
，
，
．
18．某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价．
【答案】这批童装降价后每件的售价为100元或110元
【分析】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可．
【详解】解：设这批童装每件降了x元，
由题意得
解得：．
所以（元）或（元）．
答：这批童装降价后每件的售价为100元或110元．
四、解答题：每小题7分，共28分。
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题：
(1)将向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的；
(2)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使与的相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握平移规律，位似变换的性质是解题的关键．
（1）根据“横坐标：左减右加，纵坐标：上加下减”的平移规律，得到平移后的点坐标，描点，连接即可；
（2）根据位似的性质，将横坐标，纵坐标都按照位似比进行变化，得到变换后的点坐标，描点，连接即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点，，，为点，，分别向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得，
，，，
，，，
如图所示，连接，，组成的即为所求．
（2）解： ，，，与的相似比为，原点O为位似中心，
，，，即，，，
如图所示，连接，，，组成的即为所求．
20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式．
(2)若为1.5米，求B，C之间的水平距离的长度
(3)若高度不超过1米，则B，C之间的水平距离的长度至少为多少米？
【答案】(1)
(2)B，C之间的水平距离的长度为6米
(3)B，C之间的水平距离的长度至少为10米
【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C的纵坐标为1.5，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解；
（3）另点C的纵坐标为1，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
段滑梯所在双曲线的解析式为：，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴当时，，
，
∴=，
答：B，C之间的水平距离的长度为6米；
（3）解：∵，
∴当时，，
，
∴的长度至少为：，
答：B，C之间的水平距离的长度至少为10米．
21．某校“综合与实践”小组的同学把“太阳能如何安装才能达到最大利用率”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：
课题 太阳能如何安装才能达到最大利用率
调查方式 资料查阅、电力部门走访、实地查看了解
调查内容 功能 怎么安装太阳能板才能达到最大利用率
材料 所需材料为光伏板，支架等
太阳能板安装示意图 图1是一个太阳能面板，其侧面如图2所示，是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面的夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高．求支架端离地面的高度．
计算结果 …
安装展示 …
【答案】支架端离地面的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形中正余弦的计算方法是解题的关键．
根据中点可求出的值，过点作于点，在中，根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，太阳光线，过点作于点，
∴，，
∴
∵是的中点，，
∴，
在中，，，
∴，
∴支架端离地面的高度为．
22．“疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是，9，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 9
八年级 10
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】(1)40，，9和
(2)八年级学生掌握自我防护知较好，理由见解析
(3)416人
【分析】（1）首先确定八年级10名学生的竞赛成绩在组和组的人数，进而求得的值；将八年级10名学生的成绩从小到大排列，结合中位数的定义即可确定的值；根据众数的定义，即可确定的值；
（2）根据方差确定答案即可；
（3）利用该校七、八年级参加此次网上答题竞赛活动的总人数乘以七、八年级随机抽取的20人中优秀人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：根据题意，八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生有3人，
∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的有人，
∴八年级10名学生的竞赛成绩在组的学生占比，
即；
∵八年级10名学生的竞赛成绩中，组有人，组有人，组有3人，组有4人，
∴将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，
因此中位数是，即；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是9和，因此众数是9和，
即和．
故答案为：40，，9和；
（2）八年级学生掌握自我防护知较好，理由：
∵七年级的方差为，八年级的方差是，而，
∴八年级学生的成绩较为稳定，
∴八年级学生掌握自我防护知较好（答案不唯一，有道理即可）；
（3）（人），
答：参加竞赛活动成绩优异的学生人数是416人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
`五、解答题：每小题8分，共16分。
23．某市今年猕猴桃喜获丰收．元旦这天甲超市进行猕猴桃优惠促销活动，猕猴桃销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
(1)当时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式；
(2)乙超市猕猴桃的标价为8元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买12千克猕猴桃，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
【答案】(1)当时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：
(2)乙超市更划算，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键；
（1）当时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）分别计算在两个超市的费用，再比较即可．
【详解】（1）解：当时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为，
将，代入得，
，
解得，
∴当时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：；
（2）依题意，甲超市：（元），
乙超市：（元），
∵，
∴乙超市更划算．
24．（1）【问题发现】
如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）与的数量关系不会发生变化；证明见解析．
（3）或；
【分析】（1）本题考查勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理直接求出，从而得到，结合正方形的性质即可得到即可得到答案；
（2）本题考查解直角三角形的应用及相似三角形判定与性质，根据解直角三角形得到，即可得到，即可得到答案；
（3）本题考查勾股定理的应用及线段的加减，根据题意分点在线段上，当点在线段的延长线上两类讨论求解即可得到答案；
【详解】解：（1），理由如下，
在中，，
根据勾股定理，得，
为的中点，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）与的数量关系不会发生变化，
证明：在中，，
，
，
，
中，，
，
又，
，即，
，
，
，
与的数量关系不会发生变化；
（3）①当点在线段上时，如题图②．
由题意可知，，
在中，，，
根据勾股定理，得，
，
由（2）知，
；
②当点在线段的延长线上时，
．
同理可得，
，
由（2）知，
，
综上所述，当正方形旋转到B，E，F三点共线时，线段的长为或．
六、解答题：每小题10分，共20分。
25．如图1和图2，在四边形中，，，，，，，点E是上一动点．
(1)________；
(2)如图1，当平分时，求的面积；
(3)如图2，点E从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时，点F从点C出发，以的速度沿边在C，B间往返运动．当点E到达点D时停止运动，点F也随之停止．连接，，，设与交于点G，点E的运动时间为．
①当时，判断的外心与的位置关系，并说明理由；
②若，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①的外心在上，见解析；②或或
【分析】（1）过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，可得到四边形ABPD是矩形，从而得到BP=AD=5cm，PD=AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）先证得．再利用的面积为，即可求解；
（3）①根据题意可得当时，，．可得到，从而得到四边形是矩形．进而得到是直角三角形．即可求解；
②先证得△DEG∽△FCG，可得，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，
∵，，
∴AB⊥AD，
∴∠A=∠B=∠BPD=90°，
∴四边形ABPD是矩形，
∴BP=AD=5cm，PD=AB，
∴PC=BC-BP=2cm，
∴；
故答案为：；
（2）解：，
．AD⊥PD，
∵平分，
∴．
．
．
的面积为．
（3）解：①的外心在上．理由如下：
当时，，．
．
∴AE=BF，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，即是直角三角形．
的外心在上；
②∵AD∥BC，
∴△DEG∽△FCG，
∴，
∵，
∴，
根据题意得：点F从点C运动到点B的所用的时间为，点E运动到D的所用的时间为5s， AE=tcm，
∴DE=（5-t）cm，
当时，CF=，
∴，解得：；
当时，CF=（14-4t）cm，
∴，解得：；
当时，CF=（4t-14）cm，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外心的位置，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
26．如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．
(1)求出抛物线解析式；
(2)如图，过轴上点作的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或 ；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去；
（）分两种情况讨论：
如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；
本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的性质，锐角三角函数、图形的折叠变换、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想．
【详解】（1）将，代入表达式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∵，，
∴直线：，
设，，
∴或，
∴或，
解得：，，，，
或或或
其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，
∴点的坐标为或 ；
（3）分两种情况讨论：
如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
则四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
由折叠可知：，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
由得： ，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
2024年中考数学模拟卷（吉林）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
1．下列各组数中的互为相反数的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
2．鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
6．如图，中，，，，半径为5的与，分别相切于点，，与交于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每小题3分，共24分。
7．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，整数150000000用科学记数法表示为 ．
8．计算： ．
9．不等式的解集为 ．
10．如图，被称为“天下黄河第一桥”的兰州中山桥是兰州历史最悠久的古桥，为增加坚固性，后来又增加了五座弧形钢架拱梁，其中拱梁采用了三角形结构，应用的数学道理是 ．
11．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，，则 ．
12．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是 ．
13．如图，花园围墙上有一宽的矩形门，量得门框对角线的长为．现准备打掉部分墙体，使其变为以为直径的圆弧形门，则要打掉墙体的面积是 ．
14．如图，中，，点D是边上的一点，连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的度数为 ．
三、解答题：每小题5分，共20分。
15．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
16．秦腔，别称“梆子腔”，是中国汉族最古老的戏剧之一，也是国家级非物质文化遗产之一．小博和小雅两位同学都是秦腔的爱好者，准备一起参加学校的文艺汇演，他们共同熟悉的曲目有《八义图》《和氏璧》《临潼山》《三娘教子》，他们设计了如下活动：在四张卡片的正面分别写有A：《八义图》，B：《和氏壁》，C：《临潼山》，D：《三娘教子》（这四张卡片除正面标记外，其余都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．
(1)小博从这四张卡片中随机抽出一张卡片，这张卡片的正面所写的曲目是C：《临潼山》的概率为 ；
(2)小博和小雅通过活动决定若两人抽出同一个曲目，则两人共同出演此节目．小博从这四张卡片中随机抽出一张，记下卡片正面所写曲目后，放回，背面朝上，洗匀．然后小雅从中随机抽出一张，请用画树状图或列表的方法，求小博和小雅共同出演的概率为多少？
17．如图所示，在中，，是上一点，是延长线上一点，且，连接，交于点，那么是否与相等？
18．某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价．
四、解答题：每小题7分，共28分。
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题：
(1)将向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的；
(2)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使与的相似比为．
20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式．
(2)若为1.5米，求B，C之间的水平距离的长度
(3)若高度不超过1米，则B，C之间的水平距离的长度至少为多少米？
21．某校“综合与实践”小组的同学把“太阳能如何安装才能达到最大利用率”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支架端离地面的高度．（结果精确到．参考数据：
课题 太阳能如何安装才能达到最大利用率
调查方式 资料查阅、电力部门走访、实地查看了解
调查内容 功能 怎么安装太阳能板才能达到最大利用率
材料 所需材料为光伏板，支架等
太阳能板安装示意图 图1是一个太阳能面板，其侧面如图2所示，是的中点，，支架可绕点旋转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高．当太阳光与地面的夹角为时，为了让太阳能面板吸收光能的效率最高．求支架端离地面的高度．
计算结果 …
安装展示 …
22．“疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动 共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，，，，，10，，．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是，9，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 9
八年级 10
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
`五、解答题：每小题8分，共16分。
23．某市今年猕猴桃喜获丰收．元旦这天甲超市进行猕猴桃优惠促销活动，猕猴桃销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
(1)当时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式；
(2)乙超市猕猴桃的标价为8元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买12千克猕猴桃，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
24．（1）【问题发现】
如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．
六、解答题：每小题10分，共20分。
25．如图1和图2，在四边形中，，，，，，，点E是上一动点．
(1)________；
(2)如图1，当平分时，求的面积；
(3)如图2，点E从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时，点F从点C出发，以的速度沿边在C，B间往返运动．当点E到达点D时停止运动，点F也随之停止．连接，，，设与交于点G，点E的运动时间为．
①当时，判断的外心与的位置关系，并说明理由；
②若，直接写出t的值．
26．如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．
(1)求出抛物线解析式；
(2)如图，过轴上点作的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．
