九年级 2023—2024 学年第二学期第一次绿色素质测试数学卷
（命题范围:九年级上下册)
注意事项:
1.本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共 4 页,“答题卷”共 6 页.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷” 一并交回.
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2Sin45° 的值等于( )
A. B. 2 C. 1 D. 2
2.我国已经进入 5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
3.如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是( )
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥
4.下列成语所描述的事件属于必然事件的是( )
A. 拔苗助长 B. 瓜熟蒂落 C. 竹篮打水 D. 百步穿杨
5.如图，△ ABC内接于⊙O，∠B = 65° ，∠C = 70° .若BC = ，则的长为( )
A. π B. 2π C. 2π D. 2 2π
6.小明向图中的格盘中随意挪一棋子，使之落在三角形内的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图， ⊙O的半径为 3 ，点P是弦AB延长线上的一点，连接0P ，若0P = 4 ，∠P = 30° ，则弦AB的长为( )
A. B. 2 3 C. 5
8. 如图，边长为 1 的小正方形网格中，点A 、B 、C 、E在格点上，连接AE 、BC ，点D在BC上且满足AD ⊥ BC ，则∠AED的正切值是( )
A. B. 7 C. D.
9.如图，在△ ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且∠1 = ∠2 = ∠3 ，则与△ ADE相似的三角形的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.如图，一次函数y1 = x与二次函数y2 = x2 + bx + c的图象相交于P 、Q两点，则函数y = x2 + (b 1)x + c的图象可能是( )
二、填空题：本题共 4 小题，共 20 分。
11.将抛物线y = x2 + 2x + 3 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后得到新抛物线的解析式为 ．
12.如图，在△ ABC中，∠C = 90° ，sinA = ，则cosB = ．
13.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？ ”译文： “如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股(长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的半径是多少步？ ”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为_______步．
14.如图 ，直线 y= x 与双曲线 y=(x>0)交于点 A，将直线 y= x 向下平移 6 个单位长度后，与双曲线 y=(x>0)交于点 B ，与 X 轴交于点 C.
(1)点 C 的坐标为___________. (2)若 ，则 k=__________.
三、解答题：本题共 4 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.计算：
16. (本小题 8 分)如图，抛物线y = x2 + bx + c经过点A(0, 5) ，B(5,0)．
(1)求b ，c 的值；
(2)连接AB ，与该抛物线的对称轴相交于点M ，求点M的坐标．
17.(本小题 8 分)如图在平面直角坐标系中，△ ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A( 2, 4) ，B( 6, 2)，C( 4, 6) .
(1)做出△ ABC关于x轴对称的图形△ A1B1 C1；
(2)以原点0为位似中心，在y轴右侧画出△ ABC的位似图形△ A2B2 C2 ，使它与△ ABC的相似比是 1：2 .
18.(本小题 8 分)如图，小丽家住在河畔的电梯公寓AD内，河对岸新建了一座大厦BC.为了测量大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60 , 楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30 . 已知小丽所住的电梯公寓AD高 82m ，请你帮助小丽算一算大厦的高度BC及两楼之间AC的距离.
四、解答题（本大题共 2 题，每题 10 分）
19.如图，在 OABC中，点O为坐标顶点，点A(3,0) ，C(1,2) ，反比例函数的图象经过定C .
(1)求k的值及直线OB的函数表达式；
(2)试探究此反比例函数的图象是否经过 OABC的中心.
已知A ，B ，C ，D ，E五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；若该地区有 1000 名中学生参加研学活动，则愿意去A基地的大约有______人；
(3)甲、乙两所学校计划从A ，B ，C三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率.
五、解答题(本大题共2题，每题12分)
21.如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上异于A,B的两点，连接CD.过点D作DE⊥CF,垂足为点E,直线AB与CE相交于F点.
(1)若∠ABD=2∠BAC,求证：CF为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为√3, tan∠BDC =, 求AC的长，
22. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 30 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x 的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 150 元/件.若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 150 元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(10 m 60) ，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请求出m 的取值范围.
(件) 10000 9500 9000
C
五、解答题（本大题共 2 题，每题 12 分）
21.如图，AB为⊙ 0的直径，C，D为⊙ 0上异于A，B的两点，连接CD.过点D作DE ⊥ CF，垂足为点E，直线AB与CE
相交于F点.
(1)若∠ABD = 2∠BAC ，求证：CF为⊙ 0的切线；
(2)若⊙ 0半径为 3 ，tan∠BDC = ，求AC的长.九年级 2023—2024 学年第二学期第一次绿色素质测试数学卷
答案和解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. D 8. D 9. 10.
11. = 2 12. 45 13. 2 14. (4.5, 0 ) 12
15. 解：原式= 2 2 1 4 × 22 + 9(2 分)
= 2 2 1 2 2 + 9……………………………………………………(4 分)
= 8．…………………………………………………… (8 分)
16. 解：(1)将 (0, 5)， (5,0)代入 = 2 + + 5 = 得 0 = 25 + 5 + ，
= 4
解得 = 5；……………………………………………………(4 分)
(2) ∵ = 2 4 5，
∴ 4抛物线对称轴为直线 = 2 = 2，
设 所在直线为 = + ，
把 (0, 5) 5 = ， (5,0)代入 = + 得 0 = 5 + ，
= 1
解得 = 5，
∴直线解析式为 = 5，……………………………………………………(6 分)
把 = 2 代入 = 5 得 = 3，
∴ (2, 3)．……………………………………………………(8 分)
17. 解：(1)如图所示，△ 1 1 1即为所求；……………………………………………………(4 分)
(2)如图所示，△ 2 2 2即为所求；……………………………………………………(8 分)
第 1页，共 6页
{#{QQABQYSAggAgQBIAAQgCQwnKCgAQkAECCCoOxAAMIAAAyQNABCA=}#}
18. 设 = ( )，则 = ( 3 82) ，
= 3 82由 tan30 ，得 = 3 ，
3
解得 = 41 3，
即 = 123 ， = 41 3 ……………………………………………………(8 分)
19. 解：(1) 将点 (1,2)代入反比例函数 = ，
得 = 2，
∵ (3,0)，
∴ = 3，
在 中， // ，且 = ，
∴点 坐标是(4,2)，
设直线 的解析式： = 1 ，
将 (4,2)代入，
得 4 1 = 2，
解得 1 =
1
2，
∴直线 1解析式是： = 2 ；……………………………………………………(5 分)
(2) ∵ 的中心就是 中点，且 的中点坐标(2,1)，
∴ 2将 = 2 代入 = ，
可得 = 1，
∴反比例函数的图象经过 的中心．…………………………………………………… (5 分)
20. 解：(1)本次抽取的学生有：14 ÷ 28% = 50(人)，
其中选择 的学生有：50 10 14 2 8 = 16(人)，
补全的条形统计图如图所示；
……………………………………………………(4 分)
(2)14.4°；200……………………………………………………(6 分)
第 2页，共 6页
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(3)树状图如下所示：
由上可得，一共有 9 种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有 3 种，
∴ 3 1两校恰好选取同一个基地的概率为9 = 3．…………………………………………………… (10 分)
21. (1)证明：如图，连接 ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ⊥ ，
∵ 是⊙ 的半径，
∴ 为⊙ 的切线．……………………………………………………(6 分)
(2)解：连接 ，
第 3页，共 6页
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∵ ∠ = ∠ ，
∴ tan∠ = tan∠ = = 1 3，
设 = ，则 = 3 ，
∵⊙ 半径为 3，
∴ = 2 3，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ (3 )2 + 2 = (2 3)2，
∴ = 30，5
∴ = 3 30． ……………………………………………………(12 分)5
22. 解：(1)设 与 的函数关系式为： = + ( ≠ 0)，
把 = 40， = 10000 和 = 50， = 9500 代入得，
40 + = 10000
50 + = 9500 ，
= 50
解得， = 12000，
∴ = 50 + 12000；……………………………………………………(4 分)
(2)根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 150 元/件．若某一周该商品的销售量不少
于 6000 件，”得，
≥ 30
≤ 150 ，
50 + 12000 ≥ 6000
解得，30 ≤ ≤ 120，
设利润为 元，根据题意得，
= ( 30)
= ( 30)( 50 + 12000)
= 50 2 + 13500 360000
= 50( 135)2 + 551250，
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∵ 50 < 0，
∴当 < 135 时， 随 的增大而增大，
∵ 30 ≤ ≤ 120，且 为正整数，
∴当 = 120 时， 取最大值为： 50 × (120 135)2 + 551250 = 540000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 540000 元，售价为 120 元；……………(8 分)
(3)根据题意得， = ( 30 )( 50 + 12000)
= 50 2 + (13500 + 50 ) 360000 12000 ，
∴对称轴为直线 = 13500+50 2×( 50) = 135 + 0.5 ，
∵ 50 < 0，
∴当 < 135 + 0.5 时， 随 的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于 150 元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大
而增大．
对称轴为 = 135 + 0.5 ，且 取正整数，
只需保证 = 150 时利润大于 = 149 时即可满足要求，
所以对称轴要大于 149.5 就可以了，
∴ 135 + 0.5 > 149.5，解得 > 29，
∵ 10 60，
∴ 29 < ≤ 60．…………………………………………………… (12 分)
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23
4
9
12
14
第 6页，共 6页
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